Es frecuente que un alumno que está resolviendo un problema numérico:

• Pregunte por el número de decimales que debe escribir como resultado de una operación aritmética.
• Escriba todos los decimales que la calculadora le ofrece. Sin embargo, más dígitos no hacen más exacta la respuesta.

El principal objetivo que se plantea este tema es definir las reglas que permiten cumplir con una correcta utilización de las cifras significativas de un número cuando se realizan operaciones matemáticas, o cuando son producto de resultados experimentales. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas.

Cifras significativas: Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información. En una medición se da la medida como una serie de cifras correctas y más la última cifra que es aproximada, incierta o estimada.

La presentación del resultado numérico de una medida directa, por ejemplo, de la longitud de una mesa, tiene poco valor si no se conoce algo de la exactitud de dicha medida, es decir, del instrumento usado para medir. Hay instrumentos más exactos que otros.

Es suficiente conservar sólo una cifra significativa de la incertidumbre y el número de cifras significativas del resultado no debe ir más allá del número de decimales de la incertidumbre. Así, el resultado de la medición de una longitud se puede escribir, por ejemplo, como:

Convenio de cifras significativas

La convención de enunciar el resultado de una medida con las cifras significativas es adoptada de manera general, no solo en la medición de longitudes, sino también en la de masas, temperaturas, fuerzas, etc. Esta convención también es empleada al expresar los resultados de cálculos o de operaciones matemáticas en los que interviene la medición de las magnitudes.

Dos medidas o cálculos expresados como 42 y 42,0 no representan exactamente lo mismo ya que el dos en el primer caso es estimado, y en el segundo caso es correcto.

Los resultados 7,67 y 7,65 no son fundamentalmente distintos pues solo difieren en el número estimado.

Lo más común es utilizar el llamado convenio de cifras significativas.

Asume que: “cuando un número se expresa con sus cifras significativas, todas las cifras son correctas y la última cifra es siempre incierta o aproximada”.

Cifras correctas: Son cifras de las que se tiene certeza de su valor en una medición.

Cifras aproximadas: No podemos estar seguros de su valor, y otra persona podría estimarla de forma diferente. El uso de las cifras significativas considera que el último dígito de aproximación es incierto. También reciben el nombre de cifras dudosas, inciertas o estimadas.

Supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo, como:

Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas. Cumplen con la definición pues tienen un significado real y aportan información.

De esas tres cifras sabemos que dos son correctas y una es aproximada, Esto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la última cifra que puede apreciar es incierta.

Quedando claro que la última cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma más correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de ±1 mm), es:

Esto significa que el instrumento es capaz de resolver solo hasta las milésimas de metro.

Un resultado para la misma medida anotado como 0,8530 m, no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilésimas de metro.

No obstante, lo más “normal” es omitir el término ± 0,001 y asumir que la última cifra de un número siempre es incierta si éste está expresado con todas sus cifras significativas.

En general, cuando el resultado de una medición se presenta sin hacer referencia a su incertidumbre, se asume que la misma es del orden de una unidad en la última cifra significativa.

Ejemplo 1: si el resultado de la medición de una longitud es L = 3,75 mm, se asume que en realidad es:

Ejemplo 2: si L = 2,30 micrones, entonces está implícito que:

Normas para conocer el número correcto de cifras significativas

En un trabajo o artículo científico siempre se debe tener cuidado con que las cifras sean adecuadas. Para conocer el número correcto de cifras significativas, se siguen las siguientes normas:

Número correcto de cifras significativas

Para saber cuál es el número correcto de cifras significativas de una medición podemos

• Conocer la resolución del instrumento de medición si se hace una medición directa.
• Utilizar la teoría de propagación de errores si se hace una medición indirecta.

Resolución del instrumento de medición

Resolución (de un dispositivo indicador): es la diferencia más pequeña entre las indicaciones de un dispositivo indicador que puede ser distinguido significativamente. Mínima apreciación de un instrumento de medición. Para un dispositivo indicador digital, este es el cambio en la indicación cuando el dígito significativo más pequeño cambia un paso, (o da un salto). Este concepto se aplica también a un dispositivo registrador.

El número de cifras significativas de una medición dependen del instrumento de medida utilizado.

Ejemplo 1: al determinar el volumen de un líquido con una probeta 1 cuya resolución es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que un volumen de 6 ml estará en el intervalo de 5,5 ml a 6,5 ml, donde se ha repartido la resolución de 1 ml con 0,5 hacia arriba y 0,5 ml hacia abajo. El volumen anterior se representará entonces como (6,0 ± 0,5) ml.

Medición: (6,0 ± 0,5) ml

Escala de incertidumbre; 0,5 ml

Resolución: 1 ml

Ejemplo 2: En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros instrumentos de mayor resolución, por ejemplo, una probeta 2 de divisiones más finas y así obtener (6,0 ± 0,05) ml o algo más satisfactorio según la resolución requerida.

Medición: (6,00 ± 0,05) ml

Escala de incertidumbre; 0,05 ml

Resolución: 0,1 ml

Reglas del redondeo

Una vez determinado el número de cifras significativas del resultado a conservar, impuesto por la incertidumbre adoptaremos las siguientes reglas de redondeo:

Operaciones con cifras significativas

Las reglas que se darán a continuación no son rigurosas, y lo que buscan es no perder tiempo operando con muchos números.

Suma y resta de cifras significativas

Se observa cual cantidad tiene menos cifras significativas, y las demás se modifican tal que tengan el mismo número de decimales que aquella, aplicando la regla del redondeo.

Multiplicación y división de cifras significativas

Se opera de forma normal, pero para dar el resultado (producto o cociente) se observa cual es el número con menor número de cifras significativas y se conservará un número de cifras igual al de dicho número.

Lecturas Recomendadas

1. Cifras significativas. FELIPE MORENO ROMERO

http://www.escritoscientificos.es/trab21a40/cifrassignificativas/00cifras.htm

Descargarlo de: Cifras significativas

2.Cifras significativas. Diego Luis Aristizabal, Roberto Fabián Restrepo, Carlos Alberto Ramirez. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA.

Descargarlo de: cifras-significativas

Videos recomendados

1. Cifras significativas. Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/sig-figs-pre-alg/v/multiplying-and-dividing-with-significant-figures