2.3.6 Sistema Métrico Decimal SMD (1791)

Parte 1 – Gabriel Mouton y la primera intuición (1670)

1670 – La propuesta del vicario de Lyon

En 1670, el vicario de Lyon Gabriel Mouton propuso una idea revolucionaria para su tiempo: que las unidades de medida debían basarse en la Tierra misma, y no en objetos arbitrarios o costumbres locales. Mouton sugirió tomar como referencia la distancia correspondiente a un minuto de arco de meridiano. ¿Qué significaba esto? Que si un círculo completo se divide en 360 grados, y cada grado en 60 minutos, entonces recorrer un minuto de latitud en la superficie terrestre equivalía a una longitud real —aproximadamente 1850 metros en Lyon, expresados en aquel entonces en toises (unas 950). Este valor era conocido gracias a cálculos astronómicos y geodésicos que desde la Antigüedad, con Eratóstenes, y en la Europa moderna, con los Cassini, habían permitido estimar la circunferencia terrestre en unos 40 000 km. La genialidad de Mouton fue imaginar que a partir de ese segmento natural podía construirse un sistema decimal de medidas, subdividiendo un minuto de arco en 10, 100 o 1000 partes. Aunque su propuesta no prosperó en su tiempo, sembró la semilla de un concepto universal: que el patrón de las medidas debía estar ligado a la naturaleza y no a caprichos humanos.

La Revolución Francesa y el caos de las medidas (1789–1790)

Un siglo después de Mouton, Francia vivía una crisis profunda. En vísperas de la Revolución Francesa (1789), en el país coexistían más de 250 000 unidades de medida diferentes. Cada región, cada gremio e incluso cada aldea tenía sus propias varas, pies, fanegas y libras. El pie de París no equivalía al de Burdeos, y una fanega de trigo en Normandía podía contener un volumen distinto que en Aragón. Este desorden generaba fraude en el comercio, desigualdades en los impuestos y obstáculos para la ciencia. En ese contexto de exigencias de igualdad y racionalidad, la Asamblea Nacional Constituyente encargó en 1790 a la Academia de Ciencias de París la creación de un sistema nuevo: debía ser universal, es decir, basado en un fenómeno natural accesible a todos; coherente, con todas las unidades derivadas de una sola magnitud fundamental; y decimal, para facilitar el cálculo y el aprendizaje. Era el momento perfecto para que la antigua intuición de Mouton se convirtiera en la base de un sistema revolucionario.

La Comisión de Sabios y el debate del patrón (1790–1791)

Para dar forma al nuevo sistema, la Academia de Ciencias nombró en 1790 a un grupo excepcional de científicos, conocidos como la Comisión de Sabios. Entre ellos estaban Jean-Charles de Borda, Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace, Gaspard Monge y Nicolas de Condorcet; más tarde se sumaron figuras como Antoine Lavoisier, Jean-Baptiste Delambre y Pierre Méchain. Su misión era clara: hallar una unidad de longitud universal. El primer gran dilema fue decidir entre dos opciones: el péndulo de segundos, cuya longitud se definía por el tiempo que tardaba en oscilar (2 segundos ida y vuelta), o el meridiano terrestre, retomando la idea de Mouton de basar la medida en la propia Tierra. El péndulo tenía la ventaja de ser fácil de reproducir en cualquier lugar, pero su longitud variaba según la gravedad local, que cambia con la latitud y la altitud. En cambio, el meridiano ofrecía una base ligada al planeta entero, inmutable y común a toda la humanidad, aunque exigía una expedición geodésica monumental. Tras intensas discusiones, la Comisión recomendó en 1791 la opción del meridiano de París, definiendo el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante terrestre, es decir, de la distancia entre el Ecuador y el Polo Norte.

La expedición Dunkerque–Barcelona: medir la Tierra en toises

Definido el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante terrestre, quedaba un problema: no se conocía con precisión cuánto medía realmente ese cuadrante. Para resolverlo, se organizó la gran expedición geodésica entre Dunkerque y Barcelona. Este arco, de más de 1 000 km, atravesaba el paralelo 45° —punto medio del cuadrante— y servía como muestra representativa. Los astrónomos Delambre (tramo norte) y Méchain (tramo sur) midieron bases cortas en toises de París, levantaron una inmensa red de triángulos con el círculo repetidor de Borda y fijaron posiciones astronómicas en ciudades y montañas. Tras años de dificultades políticas y personales, lograron calcular en toises la longitud del arco y, a partir de él, deducir cuántas toises correspondían a un grado de meridiano. Con ese valor, podían escalar al cuadrante entero y, finalmente, obtener la equivalencia del metro teórico en la unidad antigua.

De la triangulación al valor del metro

El procedimiento fue matemáticamente elegante. Si el arco Dunkerque–Barcelona cubría aproximadamente 9°40′ de latitud, y medía unas 550 000 toises, entonces un grado resultaba ser ≈ 57 000 toises. Multiplicado por 90, el cuadrante terrestre quedaba en ≈ 5 130 000 toises. Como el metro debía ser la diezmillonésima parte de ese cuadrante, la conversión fue inmediata:

1 metro=5130000/10000000 toises≈0,513074 toises

De esta manera, la definición universal del metro quedó vinculada a una equivalencia concreta en la antigua unidad francesa, lo que permitió construir un patrón físico con exactitud. Este paso fue crucial: tradujo un concepto astronómico y filosófico en una medida práctica, susceptible de reproducirse en laboratorios y talleres.

El mètre des Archives y el triunfo del nuevo sistema (1799)

Tras años de trabajo agotador, en 1798 Delambre presentó a la Academia los resultados de la expedición, armonizando incluso los datos incompletos de Méchain. Con estas cifras se fabricó en platino la primera barra patrón del mètre des Archives y el cilindro del kilogramme des Archives, que representaba la masa de un decímetro cúbico de agua pura a 4 °C. Depositados en los Archivos Nacionales en 1799, se convirtieron en las referencias oficiales del nuevo Sistema Métrico Decimal. A partir de entonces, el metro dejó de ser un cálculo astronómico y pasó a ser una realidad tangible, reproducible y estable, base de la ciencia, el comercio y la vida cotidiana. Este acto tuvo también un profundo valor simbólico: consagraba el triunfo de la razón ilustrada sobre la anarquía de las viejas medidas feudales, y ofrecía a todos los ciudadanos una misma unidad de referencia, idéntica desde Dunkerque hasta Marsella, desde París hasta Barcelona.

Parte 1 – Introducción y génesis del proyecto

El Sistema Métrico Decimal (SMD) constituye un hito en la historia de la ciencia y de la organización social. Nacido durante de la Revolución Francesa, respondió a la necesidad de un sistema de unidades universal, racional y práctico, capaz de superar la confusión generada por la coexistencia de miles de sistemas de pesos y medidas (Alder, 2002). La estandarización no solo buscaba favorecer el comercio y la administración, sino también ofrecer a la ciencia un lenguaje común que trascendiera fronteras.

Antes de 1789, el panorama metrológico en Francia y gran parte de Europa era caótico. Más de 250 000 unidades diferentes coexistían en el territorio (Kula, 1986), variando entre regiones, ciudades, gremios e incluso localidades vecinas. Esta heterogeneidad provocaba:

  • Obstáculos al comercio: la necesidad constante de conversiones entre unidades locales incrementaba los costos y los conflictos (Witthoft, 1998).
  • Facilitación del fraude: la falta de estandarización permitía adulterar medidas en perjuicio de consumidores y comerciantes honestos (Alder, 2002).
  • Limitaciones científicas: la ausencia de un lenguaje común en la medición entorpecía la colaboración entre científicos y frenaba el avance del conocimiento (Berriman, 1953).

En este contexto, varios pensadores de la Ilustración propusieron reformas. Uno de los precursores más notables fue Gabriel Mouton, vicario de Lyon, quien en 1670 planteó un sistema decimal basado en una constante natural: la longitud de un minuto de arco de meridiano terrestre (Mouton, 1670). Aunque su idea no prosperó en su tiempo, anticipó el principio de fundar las medidas en fenómenos universales, que más tarde definiría el metro.

La crisis política y social de 1789 abrió la oportunidad. El rey Luis XVI, consciente del problema, encargó a la Academia de Ciencias de París un estudio para crear un sistema unificado (Bigourdan, 1901). La Revolución, con sus ideales de razón, igualdad y universalidad, dio a esta iniciativa un carácter transformador. La Asamblea Nacional Constituyente asumió el proyecto con el objetivo de establecer un sistema válido “para todos los pueblos y para todos los tiempos” (BIPM, s.f.).

Línea de tiempo ampliada (1670–1799)

  • 1670 → Gabriel Mouton propone un sistema decimal basado en el meridiano terrestre.
  • 1789 → Revolución Francesa: se plantea la igualdad en todos los aspectos de la vida social, incluyendo pesos y medidas. Luis XVI encarga a la Academia de Ciencias un sistema unificado.
  • 1790 → La Asamblea Nacional ordena un informe oficial: se busca un sistema universal.
  • 1791 → La Comisión de Sabios aprueba el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.
  • El 19 de marzo de 1791, la comisión presentó su primer informe a la Asamblea Nacional Constituyente, proponiendo un sistema decimal basado en la naturaleza. Se adoptó el término «metro» (del griego métron , que significa «medida») para la unidad de longitud, definiéndolo como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre (Alder, 2002). También se propuso el «grave» como unidad fundamental de peso.

  • 1792 → Inicia la expedición geodésica Dunkerque–Barcelona a cargo de Delambre (tramo norte) y Méchain (tramo sur).
  • 1793–1794 → Durante el Terror, Lavoisier es ejecutado; Delambre enfrenta arrestos; Méchain sufre enfermedades y errores en Barcelona.
  • 1795 → La Convención aprueba provisionalmente el Sistema Métrico Decimal con tres unidades fundamentales: metro, litro y grave (kilogramo). La Definición Provisional y la Ley del 18 de Germinal del Año III (7 de Abril de 1795):

Metro, kilogramo y litro de 1795

Al pie de estos aparece textual:

Ley del 18 de Germinal del año III (7 de abril de 1795). Artículo 5: “Llamaremos metro a la medida de longitud equivalente a la diezmillonésima parte del arco del meridiano terrestre comprendido entre el polo boreal y el ecuador; litro (la pinte), a la medida de capacidad, tanto de líquidos como de materias secas (sólidos), cuyo contenido será el cubo de la décima parte de un metro (1dm3); gramo, al peso absoluto de un volumen de agua pura equivalente al cubo de la centésima parte de un metro (1 cm3) y a la temperatura de fusión del hielo”.

  • 1799 → Concluye la misión geodésica. Se depositan en los Archivos Nacionales de Francia los patrones de platino del mètre des Archives y el kilogramme des Archives. Francia adopta oficialmente el sistema.

En 1799, tras el regreso de Delambre y Méchain y la finalización de la medición del meridiano, se desarrolló la definición definitiva del metro como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, calculando en los resultados de la expedición (Alder, 2002). Se fabricó un patrón de platino del metro, llamado Mètre des Archives , que se depositó en los Archivos Nacionales de Francia.

Simultáneamente, se definió el kilogramo como la masa de un decímetro cúbico de agua pura a 4 °C (temperatura de máxima densidad del agua) (Bigourdan, 1901). Se fabricó un cilindro de platino que representaba esta masa, llamado Kilogramo des Archives , que también se depositó en los Archivos Nacionales.

Metro y kilogramo de 1799

El 10 de diciembre de 1799 (19 de Frimario del Año VIII), una ley de la República Francesa, firmada por Napoleón Bonaparte, adoptó oficialmente el sistema métrico decimal, estableciendo el metro como patrón de medida «para todos los pueblos y para todos los tiempos». Este sistema se convirtió en el único legal de pesos y medidas en Francia a partir de 1801 (BIPM, sf).

1875: La Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) y el Tratado del Metro: Un hito crucial en la internacionalización del sistema métrico fue la firma del Tratado del Metro en 1875 en París. Este tratado inició una organización intergubernamental, la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), encargada de mantener los prototipos internacionales del metro y el kilogramo y de asegurar la uniformidad de las mediciones a nivel mundial (BIPM, sf). La CGPM, que se reúne periódicamente, es el órgano supremo de decisión en materia de metrología.

2.3.6 Sistema Métrico Decimal (1791)

Parte 2 – La Comisión de Sabios original (1790–1791)

En 1790, la Asamblea Nacional Constituyente encargó a la Academia de Ciencias de París crear un sistema universal de medidas. La Academia nombró a una comisión central de cinco miembros, conocida históricamente como la Comisión de Sabios, integrada por algunos de los científicos más brillantes de la época. Su misión: diseñar un sistema basado en fenómenos naturales, decimalizado y aplicable en cualquier nación.

1. Antoine Lavoisier (1743–1794)

  • Químico, considerado el padre de la química moderna.
  • Aunque no fue miembro titular de los cinco designados inicialmente, sí integró las primeras deliberaciones de la Academia en 1790.
  • Su aporte decisivo: proponer que la unidad de masa se definiera como la de un decímetro cúbico de agua pura a 4 °C, base del futuro kilogramo.
  • Su ejecución en 1794 interrumpió su trabajo, pero su idea sobrevivió en el sistema.

2. Jean-Charles de Borda (1733–1799)

  • Marino, matemático e inventor.
  • Fue uno de los miembros oficiales de la Comisión original.
  • Defensor radical de la decimalización.
  • Inventó el círculo repetidor, instrumento esencial para medir ángulos con precisión en la expedición Dunkerque–Barcelona.
  • El Círculo de Repetición de Borda-Lenoir:
    El círculo de repetición es un instrumento de medición de ángulos de alta precisión, fundamental para la geodesia y la astronomía, cuyo principio fue ideado por Jean-Charles de Borda (1733-1799) , un destacado matemático, físico, astrónomo, marino y militar. francés. Borda concibió la idea de minimizar los errores de medición mediante la repetición de las observaciones y el cálculo de un promedio.
    La construcción y el perfeccionamiento de este instrumento se deben al talento del relojero e instrumentista científico francés Étienne Lenoir (1744-1822) , quien colaboró ​​estrechamente con Borda. La pericia de Lenoir en la fabricación de instrumentos de precisión fue esencial para la materialización del diseño de Borda.
    El círculo de repetición permitía realizar múltiples mediciones de un mismo ángulo, acumulando las pequeñas rotaciones del instrumento. Al dividir la suma total de las mediciones por el número de repeticiones, se obtendría un valor promedio con una precisión significativamente mayor, reduciendo los errores sistemáticos y aleatorios. Este método revolucionó la precisión de las mediciones angulares, siendo crucial para proyectos como la medición del arco de meridiano de Dunkerque a Barcelona, ​​fundamental para la definición del metro en el sistema métrico decimal.

3. Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

  • Matemático de origen italiano, uno de los más influyentes de la época.
  • Miembro oficial de la Comisión.
  • Garantizó la coherencia matemática del sistema, asegurando que todas las unidades derivadas pudieran definirse a partir del metro.

4. Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

  • Astrónomo y matemático, apodado el “Newton francés”.
  • Miembro oficial de la Comisión.
  • Defendió con éxito que el metro debía basarse en el meridiano terrestre y no en el péndulo de segundos.
  • Diseñó métodos astronómicos para fijar latitudes y longitudes en la triangulación.

5. François Arago (1786–1853)

  • Importante científico francés, pero no fue miembro de la Comisión original de 1791 (nació en 1786, tenía apenas 5 años en ese momento).
  • Su papel fue posterior: en el siglo XIX, con Biot, prolongó el meridiano de París hasta las Islas Baleares y defendió el sistema ante la comunidad internacional.
  • En esta etapa de 1790–1791 aún no tenía participación.
  • A principios del siglo XIX, entre 1806 y 1808, el joven François Arago participó, junto con Jean-Baptiste Biot, en la extensión de las mediciones del meridiano hacia el sur, hasta España y las Islas Baleares. Esta experiencia formativa lo vinculó desde temprano con el proyecto del SMD.
  • El siglo XIX vio a Arago consolidarse como una figura clave en la ciencia francesa. Sus contribuciones a la astronomía, la física y la geodesia fueron significativas, y su labor como director del Observatorio de París dejó una huella imborrable.

6. Nicolas de Condorcet (1743–1794)

  • Matemático, filósofo y político ilustrado.
  • Miembro oficial de la Comisión.
  • Fue el portavoz del espíritu universalista, defendiendo que el sistema debía servir “para todos los pueblos y todos los tiempos”.
  • Murió en prisión en 1794, pero su ideal influyó decisivamente en la filosofía del SMD.

7. Gaspard Monge (1746–1818)

  • Fundador de la geometría descriptiva.
  • Miembro oficial de la Comisión.
  • Defendió la derivación natural de las unidades: del metro → metro cuadrado, metro cúbico, litro, kilogramo.
  • Su visión estructural garantizó la coherencia del sistema.

👉 Así, la Comisión original quedó conformada formalmente por cinco sabios oficiales: Borda, Lagrange, Laplace, Monge y Condorcet.
A ellos se sumaron en los primeros meses figuras de gran peso como Lavoisier, que aunque no fue designado oficialmente en 1791, sí participó en las discusiones iniciales y dejó aportes decisivos.

Es importante destacar que la imagen pretende mezclar figuras que trabajaron en el sistema métrico en diferentes momentos. La comisión original se inició a finales del siglo XVIII, mientras que Arago y Biot trabajaron en el tema principalmente en el siglo XIX.

2.3.6 Sistema Métrico Decimal (1791)

Parte 3 – Los sabios designados para la ejecución del proyecto

Además de la Comisión de Sabios original (Borda, Lagrange, Laplace, Monge y Condorcet), la Academia de Ciencias de París confió la ejecución práctica del proyecto a otros hombres de ciencia con competencias específicas en astronomía, geodesia y organización técnica. Ellos fueron los responsables de materializar la definición del metro, llevando la teoría al terreno.

1. Pierre Méchain (1744–1804)

  • Astrónomo perfeccionista, designado para el tramo sur de la medición geodésica, desde Barcelona hasta Rodez.
  • Realizó observaciones en montañas como Montserrat y Montjuïc, y en localidades del Rosellón.
  • Descubrió una discrepancia en las coordenadas de Barcelona; no logró resolverla y la ocultó, lo que le causó profunda angustia hasta su muerte.
  • Su rigor, aunque obsesivo, fue clave para la precisión de la misión.

2. Jean-Baptiste Delambre (1749–1822)

  • Astrónomo pragmático, encargado del tramo norte de la triangulación, desde Dunkerque hasta Rodez.
  • Midió la línea base de Melun–Lieusaint (~6 km), punto inicial de la red.
  • Durante la Revolución fue arrestado varias veces bajo sospecha de espionaje, pues los lugareños creían que sus instrumentos eran armas.
  • Con disciplina y paciencia logró completar su parte con gran exactitud y, tras la muerte de Méchain, asumió la presentación final de los resultados.

3. Antoine Lavoisier (1743–1794)

  • Aunque formó parte de las discusiones iniciales de la Academia, fue apartado tras su arresto y ejecución en 1794.
  • Su legado en este contexto: la propuesta de definir la unidad de masa como el peso de un decímetro cúbico de agua pura a 4 °C, base del kilogramo.
  • No participó en la expedición geodésica, pero dejó un aporte fundamental para la coherencia del sistema.

4. Mathieu Tillet (1714–1791)

  • Ingeniero y administrador de minas, miembro de la Academia de Ciencias.
  • Su papel fue más logístico y organizativo que científico:
    • Coordinó la fabricación de instrumentos y reglas metálicas para medir las bases.
    • Supervisó aspectos técnicos de la expedición antes de fallecer en 1791.
  • Aunque su muerte temprana limitó su influencia, su trabajo preparatorio fue esencial para el éxito posterior.

Resumen de la participación de los designados

  • Delambre y Méchain → ejecutores de la misión geodésica Dunkerque–Barcelona.
  • Lavoisier → definió la base científica de la unidad de masa, aunque murió antes de ver concretado el sistema.
  • Tillet → apoyo técnico y organizativo en la fase inicial.

Con ellos, el proyecto avanzó de la teoría a la práctica, abriendo paso a la medición del arco y al establecimiento de los patrones definitivos en 1799.

2.3.6 Sistema Métrico Decimal (1791)

Parte 4 – Otros científicos y colaboradores del proyecto

El desarrollo del Sistema Métrico Decimal no se limitó a la Comisión de Sabios original ni a los designados para ejecutar la misión. A lo largo del siglo XVIII y XIX, varios científicos aportaron ideas, métodos y verificaciones que consolidaron el proyecto. Sus contribuciones, aunque externas o posteriores, fueron decisivas para la definición, difusión y perfeccionamiento del sistema.

1. Gabriel Mouton (1618–1694)

  • Vicario de Lyon.
  • En 1670, propuso un sistema decimal de medidas basado en una constante natural: la longitud de un minuto de arco del meridiano terrestre.
  • Aunque su idea no fue adoptada en su tiempo, anticipó el principio fundamental del metro: un patrón derivado de la Tierra.

2. Pierre Bouguer (1698–1758) y Charles-Marie de La Condamine (1701–1774)

  • Científicos franceses participantes en la expedición geodésica al Ecuador (1735–1744).
  • Midieron un arco de meridiano en el ecuador junto con Louis Godin.
  • Sus observaciones confirmaron el achatamiento de la Tierra en los polos, dato crucial para sustentar la definición del metro.

3. César-François Cassini de Thury (1714–1784)

  • Astrónomo y cartógrafo de la célebre familia Cassini.
  • Dirigió la elaboración del mapa de Francia a gran escala, basado en triangulación.
  • Su trabajo cartográfico fue la base logística de la expedición Dunkerque–Barcelona.

4. Alexis-Claude Clairaut (1713–1765)

  • Matemático y astrónomo.
  • Autor de La Théorie de la figure de la Terre (1743), donde estudió la gravedad y la forma del planeta.
  • Sus ideas fueron retomadas en el debate entre el péndulo de segundos y el meridiano terrestre como referencia para definir el metro.

5. Adrien-Marie Legendre (1752–1833)

  • Matemático francés.
  • Contribuyó con su método de los mínimos cuadrados, aplicado para ajustar los datos de triangulación y reducir errores.
  • Aseguró la fiabilidad matemática de los cálculos de la expedición.

6. François Arago (1786–1853)

  • Astrónomo, físico y político francés.
  • Con Jean-Baptiste Biot, prolongó el meridiano de París hasta las Islas Baleares en el siglo XIX.
  • Gran divulgador y defensor del sistema métrico, facilitó su aceptación internacional.
  • Los Medallones de Arago: Huellas de un Meridiano y un Sistema Universal
  • medallones de arago
  • ¿Sabías que…?
  • En la escena final de la película «El código da Vinci» (Ron Howard, 2006) el protagonista de la historia, encarnado por Tom Hanks, recorre las calles de París siguiendo los medallones de Arago, hasta el museo del Louvre. Si alguna vez vas a París y ves alguno en el suelo, recuerda cuál es su significado.
  • Casi dos siglos después de las primeras mediciones, en 1994, el artista conceptual holandés Jan Dibbets creó «Homenaje a Arago». Esta obra, concebida como un «monumento invisible», consiste en 135 medallones de bronce de aproximadamente 12 cm de diámetro, incrustados en el pavimento de París. Estos medallones marcan el trazado del Meridiano de París a su paso por la ciudad, creando una línea discontinua que invita a la reflexión.
  • Estos discretos discos, a menudo inadvertidos por los transeúntes, constituyen el foco de nuestra historia. Son la manifestación física de una línea imaginaria que jugó un papel fundamental en la creación de un sistema de medidas que usamos hasta hoy. Los Medallones de Arago no solo conmemoran a un científico, sino que también nos conectan con un momento crucial en la historia de la ciencia y la búsqueda de la universalidad.

Sobre los Medallones de Arago y el Meridiano de París:

  1. Geografía Infinita. (2017, 26 de mayo). Los medallones de Arago: el meridiano de París marcado en el suelo [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=wF1alO1IpQc
  2. Hambly, J. (2017). The Arago Medallions: A Walk Along the Paris Meridian. Amberley Publishing.
  3. Mateturismo. (2015, 12 de octubre). Medallones de Arago: recorrer París por su meridiano. https://mateturismo.wordpress.com/2015/10/12/medallones-de-arago-recorrer-paris-por-su-meridiano/
  4. O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2003). François Dominique Arago. MacTutor History of Mathematics archive.

7. Jean-Baptiste Biot (1774–1862)

  • Matemático y físico.
  • Colaborador de Arago en la extensión del meridiano.
  • Consolidó las observaciones astronómicas y reforzó la exactitud del sistema.

François Arago y Jean-Baptiste Biot no formaron parte de la comisión original que se inició a finales del siglo XVIII. Arago nació en 1786, por lo que era demasiado joven para haber participado en la comisión original. Él y Biot trabajaron juntos posteriormente, en el siglo XIX, en la continuación de las mediciones del meridiano y en otros trabajos relacionados con la geodesia y la física.

8. Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)

  • Astrónomo alemán.
  • Perfeccionó las correcciones por refracción atmosférica y curvatura terrestre, aplicadas en geodesia.
  • Su trabajo influyó en la precisión de las mediciones posteriores, reafirmando la validez del metro.

Síntesis

  • Precursores: Mouton, Bouguer, La Condamine, Cassini, Clairaut.
  • Colaboradores contemporáneos: Legendre.
  • Continuadores del siglo XIX: Arago, Biot, Bessel.

Ellos formaron una cadena multigeneracional de aportes, sin la cual el Sistema Métrico Decimal no habría alcanzado la solidez científica ni el impacto global que hoy posee.

2.3.6 Sistema Métrico Decimal (1791)

Parte 5 – El debate decisivo: péndulo o meridiano

Una de las decisiones más trascendentales en la creación del Sistema Métrico Decimal fue la definición de la unidad fundamental de longitud. La pregunta central era:

👉 ¿Debía basarse el metro en el péndulo de segundos o en el meridiano terrestre?

Este debate, abierto desde 1790 y resuelto en 1791, definió el rumbo del sistema.

1. La opción del péndulo de segundos

  • Definición: la longitud de un péndulo que, en cierto lugar, tardara exactamente un segundo en oscilar de ida y vuelta.
  • Ventajas:
    • Era relativamente fácil de reproducir en cualquier país con un péndulo y un cronómetro.
    • Tenía un vínculo claro con la unidad de tiempo (el segundo).
  • Problemas:
    • La gravedad varía según la latitud y altitud.
      • En París, el péndulo mide aprox. 0,994 m.
      • En Quito, sería unos 3 mm más largo.
    • Por tanto, no era universal: diferentes regiones obtendrían diferentes valores de metro.
  • Conclusión: no cumplía el requisito de unidad válida “para todos los pueblos y para todos los tiempos”.

2. La opción del meridiano terrestre

  • Definición: el metro sería la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, es decir, la distancia desde el Ecuador hasta el Polo Norte, medida sobre el meridiano de París.
  • Ventajas:
    • Universalidad: representaba a toda la Tierra, y por ende a toda la humanidad.
    • Inmutabilidad: a diferencia de los objetos artificiales, la Tierra no podía alterarse.
    • Legitimidad filosófica: encarnaba el ideal ilustrado de igualdad y unidad.
  • Problemas:
    • Su medición exigía una expedición geodésica monumental, con triangulación precisa a lo largo de cientos de kilómetros.
    • La tarea resultó larga, costosa y llena de dificultades técnicas y políticas.
  • Conclusión: garantizaba una base sólida, natural y universal, aunque requiriera grandes esfuerzos.

3. La decisión de 1791

El 26 de marzo de 1791, la Academia de Ciencias recomendó a la Asamblea Nacional:

  • Definir el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.
  • Usar el meridiano de París, entre Dunkerque y Barcelona, como base de la medición.

La Asamblea aprobó esta definición, desechando definitivamente la opción del péndulo.

1. “El cuadrante del meridiano terrestre” (esfera con arco Ecuador–Polo)

  • Comentario: muestra la definición teórica del metro: la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, es decir, la cuarta parte de la circunferencia terrestre que va del Ecuador al Polo Norte. Aquí se visualiza la idea original de un patrón basado en la Tierra misma.

2. “Latitudes y paralelos de referencia” (esfera con paralelos y meridianos marcados)

Comentario: muestra cómo la medición del meridiano de París se relaciona con las latitudes. El arco Dunkerque–Barcelona cruza aproximadamente el paralelo 45°, considerado un punto de referencia clave porque se ubica en la mitad del cuadrante entre el Ecuador y el Polo Norte. Esto reforzaba la idea de que el tramo medido podía extrapolarse con mayor equilibrio y representatividad al cálculo del cuadrante terrestre completo (10 000 km).

3. “El arco Dunkerque–Barcelona sobre el meridiano de París” (mapa satelital de Francia–España)

  • Comentario: localiza el tramo real medido en la expedición (1792–1799). Se ve el arco entre Dunkerque al norte y Barcelona al sur, atravesando el paralelo 45° como punto medio aproximado. Representa la dimensión práctica y geográfica del proyecto.

4. “Esquema cartográfico del arco geodésico” (mapa lineal con ciudades: Dunkerque–París–Rodez–Barcelona)

  • Comentario: simplifica el trayecto en una línea meridiana con las ciudades principales que marcaron los tramos de la triangulación. Sirve como referencia didáctica para identificar los vértices principales y el recorrido de Delambre (norte) y Méchain (sur).

4. Comparación práctica

OpciónDefiniciónProblema claveValor aproximadoResultado
Péndulo de segundosLongitud del péndulo con periodo = 2 sVaría con la gravedad local0,994 m en ParísRechazado
Meridiano terrestre1/10 000 000 del cuadrante (Ecuador–Polo)Necesidad de expedición geodésica~1,000 km por grado → 10 000 km cuadranteAprobado (1791)

👉 Con esta decisión, el metro se convirtió en una unidad verdaderamente universal, aunque la elección obligó a realizar una de las empresas científicas más audaces de su tiempo: la medición del arco Dunkerque–Barcelona.

5. Recursos didácticos

Videos:

  1. https://www.youtube.com/watch?v=FmALcak6MFo&ab_channel=MideBien
  2. https://www.youtube.com/watch?v=6RTnQwHdW8Q&ab_channel=Profefisica
  3. https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=dasGBnQBHPA&utm_source=chatgpt.com&ab_channel=AlejandroJoseCroce

2.3.6 Sistema Métrico Decimal (1791)

Parte 5 – Cómo se hizo la triangulación

La imagen muestra un mapa esquemático de Francia en el que se ha trazado la línea meridiana que va desde Dunkerque, en el extremo norte, hasta Barcelona, en el extremo sur. Sobre ese meridiano se representan con un trazo en zig‑zag las líneas de triangulación que utilizaron Delambre y Méchain para medir la longitud del arco entre esas dos ciudades. A lo largo de la línea aparecen destacados lugares clave: Dunkerque en la parte superior, París en el centro y Barcelona al final. También se indican otras estaciones de triangulación, como Amiens, Orléans, Carcassonne o Perpiñán, así como varias cumbres montañosas, marcadas con pequeños textos. En el margen izquierdo se incluye una rosa de los vientos y una leyenda que explica el significado de cada tipo de línea (líneas de triangulación, meridiano de París, estaciones en ciudades y estaciones en montañas). El conjunto ilustra el recorrido de la famosa “chaîne des triangles” que permitió determinar el metro como unidad de medida

Las figuras “Planche I” a “Planche VIII” del Base du système métrique décimal recogen la cadena de triangulación de Delambre y Méchain entre Dunkerque y Barcelona.

Las planchas I–III del libro no muestran la cadena completa sino diagramas instrumentales y triángulos auxiliares

Las planchas IV–VIII representan la méridienne de Dunkerque a Barcelona en cinco segmentos. La plancha IV cubre el tramo norte (Dunkerque–París) y la plancha VIII el tramo final (Perpignan–Barcelona), con las planchas V–VII uniendo los segmentos intermedios.

Plancha IV: Cadena de triángulos desde Dunkerque hasta París: muestra los vértices Dunkerque, Watten, Cassel, Fiefs, Amiens, París y otras estaciones con el meridiano perpendicular.

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26001383/f4.item

La siguiente ilustración representa el segundo tramo de la triangulación histórica, desde París hasta Cullan, dejando ver claramente cómo se encadenaron los vértices de observación en ese recorrido.

Plancha V: Cadena de triángulos desde París hasta Cullan: muestra puntos como Paris, Belle‑Assise, Brie, Melun, Chapelle, Pithiviers, Bois-Commun, Chatillon, Orléans, entre otras, hasta Cullan

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26001383/f5.item

La siguiente ilustración representa el tercer tramo de la triangulación histórica, desde Cullan hasta Rodez, dejando ver claramente cómo se encadenaron los vértices de observación en ese recorrido.

Plancha VI: Cadena desde Cullan hasta Rodez: incluye estaciones como Sermur, Bordes, La Bastide, entre otras.

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26001383/f6.item

La siguiente ilustración representa el cuarto tramo de la triangulación histórica, desde Rodez hasta Vernet, dejando ver claramente cómo se encadenaron los vértices de observación en ese recorrido.

Plancha VII: Cadena de triángulos desde Rodez hasta la Vernet: estaciones como La Gaste, Puy de Cambatjou, Montalet, Carcassonne, etc.

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26001383/f7.item

La siguiente ilustración representa el quinto y último tramo de la triangulación histórica, desde Vernet hasta Barcelona, dejando ver claramente cómo se encadenaron los vértices de observación en ese recorrido.

Plancha VII: Cadena final desde Vernet hasta Barcelona: abarca Perpignan, Fort de la Trinité, Montserrat y culmina en Barcelona; es el extremo sur de la méridienne.

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26001383/f8.item

Muchos relatos dicen que “Delambre comienza en Dunkerque” porque él tenía a cargo el tramo norte del arco, que iba de Dunkerque a Rodez. Así quedó definido oficialmente:

  • Delambre = tramo norte Dunkerque–Rodez
  • Méchain = tramo sur Barcelona–Rodez

Pero la primera línea base, es decir, la que dio la escala a toda la red, no estaba en Dunkerque. En realidad se encontraba al sur de París, entre Melun y Lieusaint. Esa base, junto con su equivalente en el sur (Vernet–Salses), fue la referencia fundamental para controlar las medidas.

Entonces, ¿dónde comenzó realmente?

  • En la práctica, el trabajo de campo arrancó midiendo la línea base Melun–Lieusaint. Desde allí se propagó la triangulación hacia el norte y hacia el sur. En materiales didácticos aparece expresado así: “Base AB = 6000 m (Melun–Lieusaint)”, punto de partida del primer triángulo del tramo norte.
  • En lo astronómico, también se hicieron observaciones en Dunkerque (igual que en París, Rodez y Barcelona) para fijar la red en coordenadas. Por eso muchos textos colocan simbólicamente el inicio en Dunkerque.

En resumen:

  • El inicio geográfico del tramo norte se identifica con Dunkerque.
  • El inicio metrológico y operativo de la triangulación estuvo en la línea base Melun–Lieusaint.

De ahí la aparente contradicción: se habla de Dunkerque como “comienzo”, pero la primera medición crítica se hizo mucho más al sur, en Melun–Lieusaint.

La imagen muestra de forma esquemática cómo funciona la triangulación geodésica proyectada sobre el meridiano:

  • Cada triángulo (A–B–C, C–D–E, etc.) se construye con un lado conocido y ángulos medidos.
  • Los vértices se proyectan perpendicularmente sobre el meridiano central (línea negra).
  • Cada proyección (ab, bc, cd, … hi) corresponde al avance norte-sur de un lado, calculado con la fórmula: ΔY=L⋅cos⁡(θ)
  • En conjunto, la suma de todas esas proyecciones parciales da el avance meridiano total a lo largo de la cadena.

👉 En resumen: el diagrama explica cómo, a partir de lados oblicuos de los triángulos, se obtiene paso a paso la componente meridiana (N–S) que permite medir el arco de Dunkerque a Barcelona.

Arrancamos la triangulación exactamente “a la manera de Delambre”, con la base Melun–Lieusaint y el tercer vértice en Malvoisine. El propósito es construir los triangulos necesarios para ir desde Lieusaint hasta llegar a S martin du tertre, al norte, para aprender el proceso de triangulación con unos cuantos triángulos.

Paso 1 — Triángulo inicial Melun–Lieusaint–Malvoisine

1) Vértices

A = Lieusaint (extremo boreal o norte de la base).

B = Melun (extremo austral o sur de la base).

C = Malvoisine (estación visible desde A y B, tercer vértice del primer triángulo).

Tomamos el meridiano de París como referencia para rumbos/azimutes (lo usaremos al proyectar tramos más adelante).

El rumbo es un ángulo agudo (<90°) medido desde el Norte o el Sur hacia el Este o el Oeste, y se expresa con los cuadrantes cardinales (ej. N30°E)

El azimut (o acimut) es un ángulo medido en sentido horario desde el Norte geográfico hasta la línea de dirección, con valores de 0° a 360° y sin necesidad de indicar el cuadrante

2)Lieusaint–Melun: Lado conocido (línea base medida)

La línea base Lieusaint–Melun fue la referencia inicial que fijó la escala de todos los triángulos del tramo norte. Más adelante, su valor se contrastó con otra base medida en el extremo sur, cerca de Perpiñán, para garantizar la coherencia de la red.

La longitud de esta base, medida cuidadosamente por Delambre y reducida al nivel del mar, fue:

  • AB = 6 075,90 toises
  • Con la conversión utilizada en la época (1 toise = 1,949 m), corresponde a ≈ 11 841,93 m.

La “reducción al nivel del mar” significa que la distancia observada sobre el terreno se corrige como si hubiese sido medida a nivel del mar, eliminando el efecto de la altitud. Esto permitía comparar y usar las medidas en una misma escala de referencia.

En documentos posteriores aparece la cifra ajustada a 11 842,15 m, lo que refleja pequeñas correcciones aplicadas en la reducción oficial. Estas diferencias mínimas ilustran el cuidado con que se trabajó en la época para llevar la medida a su forma más precisa.

3) Ángulos observados en los vértices

Valores reportados en materiales docentes basados en la obra de Delambre (formato grados-minutos-segundos); los usaremos tal cual:

  • En A (Lieusaint): α = ∠CAB = 75° 39′ 29″. Perramond Physique
  • En C (Malvoisine): γ = ∠ACB = 40° 36′ 57″. Perramond Physique
  • En B (Melun) no es imprescindible medirlo si ya tenemos α y γ; se obtiene por cierre plano:
    β = 180° − α − γ = 63° 43′ 34″ (≈ 63,7261°).
    Como comprobación, otras fuentes docentes dan aproximaciones decimales muy próximas: α ≈ 75,66°, β ≈ 63,73°, γ ≈ 40,62°. MON COURS DE PHYSIQUE CHIMIE

4) Cálculo de los lados desconocidos (ley de senos)

Con AB conocido y α, β, γ definidos, aplicamos la ley de senos:

AB/sin⁡γ=AC/sin⁡β=BC/sin⁡α.

Usando AB = 11 841,93 m, α = 75° 39′ 29″, β = 63° 43′ 34″, γ = 40° 36′ 57″:

AC=AB sin⁡β/sin⁡γ

  • AC≈16 311,49 m≈8 369,16 toises

BC=AB sin⁡α/sin⁡γ

BC≈17 623,89 m≈9 042,53 toises

5) ¿Qué lado se “propaga”?

Históricamente, la distancia Lieusaint–Malvoisine (AC) se tomó como nueva base propagada para el siguiente triángulo cuyo vértice principal fue Montlhéry (continuación hacia París y luego al norte). lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr

Nota de contexto: esta es exactamente la mecánica de la época—base medida Melun–Lieusaint → tercer vértice Malvoisine → ley de senos → nueva base propagada—con la que Delambre fue encadenando los triángulos hacia París y, más tarde, hasta Saint-Martin-du-Tertre. rmspc.frclea-astro.eu

Paso 2 — Triángulo siguiente con base propagada (Lieusaint–Malvoisine–Montlhéry)

2.1 Vértices y lado conocido

A = Lieusaint

C = Malvoisine

D = Montlhéry (torre/fortaleza usada como estación) Maths History

Lado conocido (base propagada): AC. En el Paso 1 ya lo calculamos por ley de senos a partir de la base Melun–Lieusaint; esta distancia AC se utilizó como nueva base para el siguiente triángulo cuyo vértice sería Montlhéry. Les Manuels Libres

(Contexto histórico: tras medir la base Melun–Lieusaint, se visó Malvoisine; de esos ángulos salió AC, y con AC se formó el triángulo siguiente con Montlhéry.) RMSPC

2.2 Qué se observa exactamente (en campo)

  1. Instalación de instrumentos en A y en C (círculo repetidor/teodolito), nivelados y colimados.
  2. Señales en D (Montlhéry) y verificación de intervisibilidad A↔D y C↔D.
  3. Medición de ángulos interiores del triángulo A–C–D:
    • En A: medir el ángulo δA​=∠CAD (entre CA y DA).
    • En C: medir el ángulo δC​=∠ACD (entre AC y DC).
    • Cierre plano: δD=180∘−δA−δC (ángulo en D).
      Se hacen series repetidas (ida/vuelta) y se promedian para reducir error sistemático, como era práctica habitual.

Nota operativa: no hace falta medir δD​ en Montlhéry si la logística lo impide; basta con δA​,δC​ y el cierre.

2.3 Cálculo de los lados nuevos por ley de senos

Con el lado conocido AC y los ángulos en A y C:

AC/sin⁡δD=AD/sin⁡δC=CD/sin⁡δA.

De aquí se obtienen directamente:

AD=AC sin⁡δC/sin⁡δD, CD=AC sin⁡δA/sin⁡δD.

(Esta es exactamente la técnica descrita para la triangulación del meridiano: lado conocido + dos ángulos → lados restantes.) Wikipedia

2.4 Elección del “lado propagado” para el siguiente triángulo

  • Se compara la longitud y la calidad angular de AD y CD.
  • Se escoge como nueva base el lado más largo y mejor condicionado (menor sensibilidad a errores angulares).
  • Históricamente, desde Montlhéry se continuó la cadena hacia París y más al norte con estaciones como Panthéon/Invalides, Belle-Assise, Dammartin y Saint-Martin-du-Tertre (nuestro objetivo), encadenando triángulos que comparten un lado con el anterior. erenow.org

2.5 Rumbos y proyección meridiana (preparación)

Para acumular la distancia N-S:

  1. En el vértice de partida del lado propagado (por ej., desde C si se elige CD), observar el rumbo/azimut θ de ese lado respecto del meridiano de París.
  2. Proyección meridiana del tramo:

Δy=Lcos⁡θ,

donde L es el lado propagado (AD o CD).
3) Guardar Δy para la suma acumulada hacia Saint-Martin-du-Tertre.

Qué te dejo listo

  • El esquema de observación para el triángulo A–C–D con los ángulos a medir y las fórmulas explícitas para AD y CD.
  • La regla de propagación del lado y la proyección meridiana que usaremos en cada eslabón hasta Saint-Martin-du-Tertre.

Datos y vértices

  • A = Lieusaint
  • C = Malvoisine
  • D = Montlhéry
  • Lado conocido desde el paso 1: AC = 16 311,49 m.
  • Para fijar los rayos hacia C y D y reconstruir los ángulos en A y C, uso las posiciones actuales de los mismos puntos (prácticamente coinciden con las estaciones históricas):
    Lieusaint ≈ 48°38′05″ N, 2°32′53″ E; Malvoisine (ferme de Malvoisine, Brie) ≈ 48°30′49″ N, 2°25′09″ E; Tour de Montlhéry ≈ 48°38′23″ N, 2°16′16″ E. Latitudeenseignement-latin.hypotheses.orgMapcarta

Ángulos observados (reconstruidos con esas posiciones)

  • En A (∠CAD): δA = 55° 48′ 41.5″
  • En C (∠ACD): δC = 74° 42′ 55.1″
  • En D (∠CDA): δD = 180° − δA − δC = 49° 28′ 23.4″

(Comprobación para trazar en papel: desde A, el rumbo A→C ≈ 216° 55′ 43″ y A→D ≈ 272° 47′ 08″; el ángulo interior en A es justamente la separación entre esos rumbos). Latitudeenseignement-latin.hypotheses.orgMapcarta

Ley de senos (tal como en la época)

En el triángulo A–C–D, con AC y los tres ángulos ya fijados:

AC/sin⁡δD=AD/sin⁡δC=CD/sin⁡δA.

Cálculo numérico (senos con los ángulos anteriores):

  • sin⁡δA=0,8271936
  • sin⁡δC=0,9646279
  • sin⁡δD=0,7601017

Escala: k=AC/sin⁡δD=16 311,49/0,7601017

Lados buscados:

  • AD=ksin⁡δC=20 700,55 m=20,7006 km
  • CD=ksin⁡δA=17 751,26 m=17,7513 km

¿Hace falta trazar proyecciones?

Para aplicar la ley de senos, no. Si quieres verificar la construcción a escala, puedes bajar la perpendicular desde D a AC (proyección ortogonal de D sobre AC) para controlar la “altura” del triángulo, pero no interviene en el cómputo de longitudes por senos.

Con esto, el triángulo A–C–D queda completamente determinado con números (coherentes con la geometría real de las estaciones históricas), y ya tenemos las dos nuevas bases AD (Lieusaint–Montlhéry) y CD (Malvoisine–Montlhéry) para continuar hacia Saint-Martin-du-Tertre en el siguiente paso.

Aquí no proyectamos todavía: primero se encadena la triangulación hasta alcanzar el objetivo (Saint-Martin-du-Tertre). Las proyecciones al meridiano Lcos⁡θ se calculan después —o se van acumulando tramo a tramo— pero solo una vez fijadas las aristas y rumbos.

¿Cuál es el siguiente punto?

Panthéon (París). En 1793 el dome del Panthéon se tomó como punto fundamental en París y Delambre trianguló desde allí con las demás estaciones (Invalides, Belle-Assise, Dammartin, etc.). Wikipedia+1Wikipedia
Belle-Assise y Brie(-Comte-Robert) se usan como vértices auxiliares para cerrar triángulos hacia Dammartin; Tour de Croy fue una estación local de apoyo, no imprescindible para la cadena principal al norte. WikipediaHistory Stack Exchange

Paso 3 — Triángulo siguiente: C–D–E = Malvoisine–Montlhéry–Panthéon (con números) REVISADO

Vértices

  • C = Malvoisine
  • D = Montlhéry
  • E = Panthéon (París)

Lado conocido (base propagada del Paso 2)
CD=17 751,26 m≈9 107,88 toises.

Ángulos interiores (reconstruidos con las direcciones reales entre estaciones; equivalen a lo que se habría leído con el repetidor de Borda)

  • En C: δC=∠DCE≈29∘ 50′ 49′′
  • En D: δD=∠CDE≈128∘ 15′ 50′′
  • En E: δE=∠CED=180∘−δC−δD≈21∘ 53′ 20′′

Ley de senos (tal como en la época)

CD/sin⁡δE=DE/sin⁡δC=CE/sin⁡δD

Cálculo:

  • DE≈23 702 m≈12 161,35 toises
  • CE≈37 395 m≈19 186,56 toises

Con esto queda determinado el triángulo Malvoisine–Montlhéry–Panthéon. Elegimos como nueva base propagada el lado más conveniente (normalmente el más largo y mejor condicionado). Aquí, CE (Malvoisine–Panthéon) es el mayor; alternativamente puede tomarse DE (Montlhéry–Panthéon) si la geometría instrumental y visibilidad lo favorecen.

Qué sigue (plan corto y seguro)

  1. Encadenar desde Panthéon hacia Belle-Assise y Dammartin para llegar a Saint-Martin-du-Tertre; esa es la ruta histórica documentada. Wikipediacalameo.com
  2. Cuando fijemos cada lado útil, anotar su rumbo respecto al meridiano y calcular la proyección Lcos⁡θ. Sumaremos esas proyecciones al final para el avance N-S.

Paso 4 — Triángulo D–E–F = Montlhéry–Panthéon–Belle-Assise

4.1 Vértices y base propagada

  • D = Montlhéry (Tour de Montlhéry)
    Coord.: 48.635358 N, 2.272906 E. EsSonnetourisme
  • E = Panthéon (París)
    Coord.: 48.8462 N, 2.3464 E. guide.planetofhotels.com
  • F = Belle-Assise (Jossigny; chimenea/moulin geodésico)
    Coord.: 48.8262 N, 2.76602 E. ignrando.fr

Base conocida para este paso (lado compartido con el triángulo anterior):

DE=Montlhéry–Panthéon‾≈24 056.01 m (= 12 342.74 toises, usando 1 toise=1.949 m).

Este valor corresponde a la distancia geodésica entre las coordenadas anteriores. (En la práctica histórica, este lado entraba como “base propagada” proveniente del paso previo.)

4.2 Ángulos interiores observados en D y E (y cierre en F)

Con instrumentos (círculo repetidor/teodolito) se miden en D y E las direcciones hacia los otros dos vértices; el ángulo en F se obtiene por cierre:

  • En D: δD​=∠EDF= 46° 29′ 40.2″
  • En E: δE​=∠DEF= 98° 59′ 22.7″
  • En F (cierre): δF​=180∘−δD​−δE​= 34° 30′ 57.1″

(Estos valores salen de las direcciones entre las coordenadas de las tres estaciones; equivalen a lo que se habría leído en campo tras promediar series.)

4.3 Cálculo por ley de senos (exactamente como en la época)

En el triángulo D ⁣− ⁣E ⁣− ⁣F, el lado opuesto a cada ángulo es:

  • opuesto a δD​ → EF,
  • opuesto a δE​ → DF,
  • opuesto a δF​ → DE (la base).

Aplicamos:

DE/sin⁡δF=EF/sin⁡δD=DF/sin⁡δE.

Cálculo numérico con DE=24 056.01 m

sin⁡δD=0.7235, sin⁡δE=0.9870, sin⁡δF=0.5669

EF=DE sin⁡δD/sin⁡δF≈30 792.38 m (≈ 15 799.07 toises).

  • DF=DE sin⁡δE/sin⁡δF≈41 932.72 m (≈ 21 514.99 toises).

Con esto queda determinado el triángulo Montlhéry–Panthéon–Belle-Assise.

4.4 Elección del lado “propagado”

A la manera de Delambre, se adopta como nueva base el lado más largo y mejor condicionado (mejor relación respecto a los errores angulares). Aquí el mayor es:

  • DF = Montlhéry–Belle-Assise ≈ 41.933 km.
    También es válido usar EF (Panthéon–Belle-Assise) si la logística/visibilidad lo favorecen.

4.5 ¿Cuál es el siguiente punto para continuar hacia Saint-Martin-du-Tertre?

Desde Belle-Assise la cadena histórica se encamina hacia Dammartin y de allí a Saint-Martin-du-Tertre (véase el esquema con “Paris → Belle-Assise → Dammartin → St-Martin-du-Tertre”). yb-isn.fr.

Así que el PASO 5 será el triángulo E–F–G = Panthéon (o Montlhéry) – Belle-Assise – Dammartin usando como base propagada DF (o EF) y aplicando de nuevo la ley de senos.

Paso 5 — Triángulo E–F–G = Panthéon – Belle-Assise – Dammartin

5.1 Vértices y base adoptada

  • E = Panthéon (París)
    Coord. adoptadas: 48.846188 N, 2.346098 E. LatLong
  • F = Belle-Assise (colina/Château de Belle-Assise, Jossigny)
    Punto próximo (en la cresta de Belle-Assise) con EXIF georreferenciado: 48°49′9.32″ N, 2°44′55.39″ E → 48.819256 N, 2.748719 E. Wikimedia Commons
  • G = Dammartin (collégiale Notre-Dame, punto alto de estación)
    Coord. de la colegiata: 49°03′16″ N, 2°40′52″ E → 49.054444 N, 2.681111 E. Wikidata

Base propagada adoptada en este paso: el lado EF = Panthéon–Belle-Assise, calculado por coordenadas (equivalente a la “base propagada” de campo):

EF≈29621.67 m (≈15198.39 toises, 1 toise≈1.949 m)

Contexto histórico: desde la terraza/pabellón de Belle-Assise se avistaban, entre otros, el dome del Panthéon y el clocher de Dammartin; con esos tres puntos se componía el triángulo siguiente de la cadena al norte de París. Wikipedia

5.2 Observaciones angulares (interiores del triángulo E–F–G)

Tal como se hacía con el círculo repetidor de Borda, fijamos las direcciones en los vértices E y F; el ángulo en G sale por cierre plano. A partir de las direcciones geodésicas entre las tres estaciones (equivalentes a los haces de visuales de la época), los ángulos interiores son:

  • En E (Panthéon): δE=∠FEG≈49∘ 12′ 19.5″
  • En F (Belle-Assise): δF=∠EFG≈73∘ 22′ 41.0″
  • Cierre en G (Dammartin): δG=180∘−δE−δF≈57∘ 25′ 01.3″

(Suma δE+δF+δG≈180∘ dentro del redondeo, como debe ser.)

5.3 Cálculo de los lados EG y FG (ley de senos, como en la época)

Conocida la base EF y medidos δE,δF​ (y por cierre δG), aplicamos:

EF/sin⁡δG=EG/sin⁡δF=FG/sin⁡δE.

Cómputo numérico:

  • EG=EF sin⁡δ/Fsin⁡δG≈33 685.59 m  (≈17 283.52 toises)
  • FG=EF sin⁡δEsin⁡δG≈26 613.98 m  (≈13 655.20 toises)

Con esto el triángulo Panthéon–Belle-Assise–Dammartin queda determinado exactamente como lo hacían Delambre y su equipo: un lado conocido + dos ángulos interiores → lados restantes.

5.4 Elección del lado “propagado” y rumbo

Siguiendo el criterio clásico (usar el más largo y mejor condicionado hacia el siguiente vértice), podemos adoptar como nueva base FG = Belle-Assise–Dammartin para subir hacia Saint-Martin-du-Tertre.

  • Azimut F→G (respecto al Norte geográfico):
  • αFG≈349.332∘(es decir, 10.668° al oeste del Norte).

Proyección meridiana de este tramo (si deseas ir acumulándolas):

  • Δy=FGcos⁡(10.668∘) ≈ 26 154.00 m  (≈13 419.19 toises)

(La proyección Lcos⁡θL\cos\thetaLcosθ se usa para sumar el avance N-S de toda la cadena; puedes guardarla y seguir acumulando tramo a tramo.)

5.5 ¿Qué sigue?

La cadena histórica desde aquí sube hacia Dammartin y remata en Saint-Martin-du-Tertre. El siguiente triángulo “clásico” que documentan relatos técnicos es el Panthéon–Dammartin–Saint-Martin-du-Tertre, aunque también podemos cerrar desde Belle-Assise–Dammartin–Saint-Martin-du-Tertre; ambos aparecen en esquemas didácticos de la triangulación al norte de París. yb-isn.frbibnum.publimath.frWikipedia

Paso 6A — Triángulo E–G–H = Panthéon – Dammartin – Saint-Martin-du-Tertre

Vértices (coordenadas adoptadas)

  • E = Panthéon (París): 48.846188 N, 2.346098 E. LatLong
  • G = Dammartin (Collégiale): 49.05458 N, 2.68114 E. Mapcarta
  • H = Saint-Martin-du-Tertre (Val-d’Oise): 49.1075 N, 2.3464 E. Wikipedia

Base conocida (propagada del paso anterior):
EG=33 697.46 m (≈ 17 289.62 toises).

Ángulos interiores (como se medirían con el repetidor de Borda)

  • En E: δE=∠GEH≈46∘ 23′ 09.5″

En G: δG=∠EGH≈57∘ 00′ 51.1″

Cierre en H: δH=180∘−δE−δG≈76∘ 36′ 01.2″

Ley de senos

EG/sin⁡δH=EH/sin⁡δG=GH/sin⁡δE

Cálculo:

  • EH=EGsin⁡δ/Gsin⁡δH≈29 056.58 m (≈ 14 908.45 toises).
  • GH=EGsin⁡δE/sin⁡δH≈25 079.75 m (≈ 12 868.01 toises).

Nota histórica: el Panthéon actuó como estación geodésica central de París desde la cual Delambre amarró la red del entorno. Wikipedia

Paso 6B — Triángulo F–G–H = Belle-Assise – Dammartin – Saint-Martin-du-Tertre

Vértices (coordenadas adoptadas)

  • F = Belle-Assise (Jossigny, chimenea geodésica): 48.826179 N, 2.766024 E. Cirkwi
  • G = Dammartin (Collégiale): 49.05458 N, 2.68114 E. Mapcarta
  • H = Saint-Martin-du-Tertre (Val-d’Oise): 49.1075 N, 2.3464 E. Wikipedia

Base conocida (propagada del paso 5):
FG=26142.79 m (≈ 13 413.44 toises).

Ángulos interiores

  • En F: δF=∠GFH≈30∘ 33′ 16.8″
  • En G: δG=∠FGH≈117∘ 26′ 47.4″
  • Cierre en H: δH≈31∘ 59′ 57.2″

Ley de senos

FG/sin⁡δH=FH/sin⁡δG=GH/sin⁡δF.

Cálculo:

  • FH=FGsin⁡δG/sin⁡δH≈43781.80 m (≈ 22 463.72 toises).
  • GH=FGsin⁡δF/sin⁡δH≈25079.75 m (≈ 12 868.01 toises).

Contexto: Belle-Assise figura en los relatos como punto elevado con visual al Panthéon y a Dammartin, utilizado por Delambre en 1792-1793 (colina, molino y hoy “cheminée géodésique”). Erenowmarneetgondoire.frCirkwi

¿Qué lado “propagamos” al cerrar en H?

En ambos triángulos, ya llegamos a H = Saint-Martin-du-Tertre. Si se quisiera continuar la cadena más al norte, se elegiría como nueva base el lado más largo y mejor condicionado (por ejemplo, FH en la variante por Belle-Assise o EH en la variante por Panthéon).

Paso 7: Calculo de las proyecciones sobre el meridiano

Ahora calculamos las proyecciones sobre el meridiano (avance Norte–Sur) tramo a tramo, exactamente como se hacía: para cada lado útil L tomamos su azimut θ (ángulo desde el Norte geográfico en el vértice de partida) y computamos Δy=Lcosθ. Signo: positivo si el tramo “sube” al norte; negativo si “baja” al sur.

Convenciones:
• L en metros y toises (1 toise = 1,949 m).
• θ = azimut desde el Norte (0°…360°).
• Δy y la Suma N–S quedan en metros.

Ruta A — vía Panthéon: A→C→D→E→G→H

SegmentoL (m)L (toises)θ (° desde N)L·cosθ (m)Suma N–S (m)
A->C16311.498369.16215.20-13328.97-13328.97
C->D17751.269107.88322.2214029.55704.58
D->E23702.0012161.1113.4423052.8323757.41
E->G33685.5917283.5246.4523210.8346968.24
G->H25079.7512868.01283.735952.9652917.22

Avance meridiano total Ruta A (Lieusaint → Saint-Martin-du-Tertre): 52 917,22 m.

Ruta B — vía Belle-Assise: A→C→D→F→G→H

SegmentoL (m)L (toises)θ (° desde N)L·cosθ (m)Suma N–S (m)
A->C16311.498369.16215.20-13328.97-13328.97
C->D17751.269107.88322.2214029.55704.58
D->F41932.7221514.9960.0820916.1921620.77
F->G26613.9813655.20346.3025856.9347477.70
G->H25079.7512868.01283.735952.9653426.67

Avance meridiano total Ruta B (Lieusaint → Saint-Martin-du-Tertre): 53 426,67 m.

Notas rápidas

  • El primer tramo A→C (Lieusaint→Malvoisine) es negativo (baja hacia el SSW), tal como esperábamos en el triángulo inicial.
  • Las pequeñas diferencias entre las dos rutas (≈ 0,5 km) son normales: cambian los lados propagados y hay redondeos de longitudes/azimutes.
  • Chequeo de plausibilidad: de 48.6347° N (Lieusaint) a 49.1075° N (St-Martin-du-Tertre) hay ~0.4728° de latitud → ~52.5 km de avance norte–sur; nuestras sumas (52.9–53.4 km) quedan dentro del margen esperable por redondeos y la adopción de longitudes históricas frente a azimutes modernos.

Paso 8 — Consolidado y hoja “lista para clase”

8.1 Tablas consolidadas de proyección meridiana

Ruta A — vía Panthéon: A→C→D→E→G→H

SegmentoL (m)θ (° desde Norte)L·cosθ (m)Suma N–S (m)
A→C (Lieusaint→Malvoisine)16 311.49215.20-13 328.97-13 328.97
C→D (Malvoisine→
Montlhéry)		17 751.26322.2214 029.55704.58
D→E (Montlhéry→
Panthéon)		23 702.0013.4423 052.8323 757.41
E→G (Panthéon→
Dammartin)		33 685.5946.4523 210.8346 968.24
G→H (Dammartin→
St-Martin-du-Tertre)		25 079.75283.735 952.9652 917.22

Avance N–S total Ruta A: 52 917.22 m

Ruta B — vía Belle-Assise: A→C→D→F→G→H

SegmentoL (m)θ (° desde Norte)L·cosθ (m)Suma N–S (m)
A→C (Lieusaint→
Malvoisine)		16 311.49215.20-13 328.97-13 328.97
C→D (Malvoisine→
Montlhéry)		17 751.26322.2214 029.55704.58
D→F (Montlhéry→
Belle-Assise)		41 932.7260.0820 916.1921 620.77
F→G (Belle-Assise→
Dammartin)		26 613.98346.3025 856.9347 477.70
G→H (Dammartin→
St-Martin-du-Tertre)		25 079.75283.735 952.9653 426.67

Avance N–S total Ruta B: 53 426.67 m

Coherencia rápida: entre Lieusaint (≈48.64° N) y St-Martin-du-Tertre (≈49.11° N) hay ~0.47° de latitud ≈ 52.5–53.0 km; nuestros totales (52.9–53.4 km) encajan perfecto dentro del margen de redondeo y las longitudes adoptadas.

8.2 Esquema mínimo de entrega (listo para pizarra/guía)

  1. Cadena de triángulos (nombres y vértices):
    A(Lieusaint) – B(Melun) – C(Malvoisine) – D(Montlhéry) – E(Panthéon) – F(Belle-Assise) – G(Dammartin) – H(Saint-Martin-du-Tertre).
  2. Método (repetir en cada triángulo):
    • Lado conocido + dos ángulos interiores medidos → ley de senos → lados nuevos.
    • Elegir lado propagado (más largo y mejor condicionado).
    • Medir/estimar azimut θ del lado propagado → proyección Lcos⁡θ.
  3. Resultado final (dos rutas históricas):
    • Ruta A (vía Panthéon): + 52917 m al Norte.
    • Ruta B (vía Belle-Assise): + 53427 m al Norte.

8.3 Actividad rápida para los estudiantes (opcional)

  • Dibujo a escala 1:500 000: traza los vértices y los lados propagados; rotula ángulos en cada triángulo.
  • Tabla de cálculo: cada equipo completa L, θ, Lcos⁡θ y la suma; comparan su total con el de la otra ruta.
  • Pregunta guía: ¿por qué conviene elegir el lado más largo como base propagada en una red triangular?

Alder, K. (2002). La medida de todas las cosas: La odisea de siete años que transformó el mundo. Free Press.

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