Circuitos RL con aplicación súbita de fuentes

Vamos a obtener la respuesta i (t) a partir de la ecuación de un circuito RL serie cuando se le aplica súbitamente una fuente de voltaje de corriente directa. Esta ecuación se resuelve por separación de variables e integración.

Luego, vamos a analizar las dos partes que componen la respuesta, es decir, la respuesta natural y la respuesta forzada. Así, podremos aplicar los principios generales que respaldan este método para obtener soluciones rápidas a cualquier problema que implique la aplicación súbita de cualquier fuente.

Circuito RL serie con aplicación súbita de fuentes de C.C.

El circuito consta de un resistor, un inductor, una fuente  de voltaje de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t =0.

El inductor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de corriente.

Como el interruptor está abierto antes de t=0, la corriente a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Vs y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de voltaje escalón de la forma

Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t=0.

Esto significa que descargamos la bobina para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor.

El circuito con la fuente de voltaje escalón es:

Solución:

Primero obtenemos la respuesta para t<0 y luego para t>0.

En t<0 el interruptor está abierto.

En t>0 el interruptor está cerrado.

Ahora vamos a separar las variables corriente y tiempo para hallar la respuesta i(t):

Integramos a ambos lados de forma indefinida:

Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:

Calculamos la constante a partir de la condición inicial:

Para ver el efecto de la corriente inicial en la ecuación no la haremos cero hasta el final. En t = 0, se tiene:

De aquí despejamos i:

Tomando exponencial a ambos lados:

Vemos que la corriente inicial afecta la amplitud del término exponencial. La bobina es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.

Ahora hacemos cero la corriente inicial:

Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple.

Para establecer un método más directo analizaremos los dos términos de la respuesta.

Análisis de la respuesta: primer término

Si la fuente es un voltaje escalón la respuesta es un término constante diferente de cero.

El circuito se comporta como un resistor y un inductor en serie con una batería, por lo que fluye una corriente directa Vs/R, ya que el inductor se comporta como un cortocircuito.

Esta corriente es parte de la respuesta debida directamente a la función de excitación y recibe el nombre de respuesta forzada.

La respuesta forzada es la solución de un CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA, donde la fuente es una fuente de VOLTAJE constante, no dependiente del tiempo.

La respuesta forzada es la respuesta que está presente mucho tiempo después de que se ha cerrado el interruptor.

La respuesta forzada tiene las características de la función de excitación, y se calcula suponiendo que todos los interruptores fueron cerrados hace mucho tiempo, de tal forma que la respuesta natural ha desaparecido.

Análisis de la respuesta: segundo término

Si la corriente inicial es cero, el término exponencial es un exponencial negativo que tiende a cero conforme t aumenta y la energía se disipa gradualmente. El término exponencial está caracterizado por la constante de tiempo L/R.

Es una respuesta que depende de las características del circuito, es decir, del resistor, del inductor y de la fuente. Además, se supone que el inductor está descargado inicialmente.

El término exponencial tiene la forma funcional que corresponde a la respuesta natural del circuito RL libre de fuentes.

La respuesta natural se puede calcular tomando en cuenta sólo el circuito sin fuentes, y su amplitud depende de la amplitud inicial de la fuente y de la condición inicial.

Respuesta completa

Circuito RL serie con aplicación súbita de fuentes de C.C.

Argumentos físicos

En un momento determinado, una vez que desaparezca la respuesta natural, el circuito sólo tendrá la respuesta forzada.

En el momento antes de accionar el interruptor, la corriente inicial del inductor tendrá valores que dependen solo de la energía almacenada. No puede esperarse que esta corriente inicial de la bobina sea la misma que la corriente producida por la respuesta forzada.

Por tanto deberá haber un tiempo transitorio durante el cual la corriente cambie de su valor inicial Io dado a su valor final cero. Por eso, esta parte de la respuesta durante este tiempo se llama respuesta transitoria o respuesta natural o respuesta sin fuentes.

La respuesta forzada en un circuito serie RL sin fuentes vale cero. La respuesta natural en estos circuitos se hace cero a la larga, excepto en algunos circuitos donde quedan corrientes atrapadas. En estos la respuesta natural no desaparece, sino que alcanza un valor constante.

Argumentos matemáticos

La solución de toda ecuación diferencial lineal puede expresarse como la suma de dos partes: la solución complementaria o respuesta natural y la solución particular o respuesta forzada. Hallemos esas dos partes.

Ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes en forma estándar:

Que tiene la forma:

Se puede identificar a Q (t) como una función de excitación que en general depende del tiempo. P en este caso es una constante positiva, pero en general es una función del tiempo.

Multiplicando ambos lados por un factor integrante, la ecuación se convierte en una ecuación diferencial exacta que se resuelve por integración.

El factor integrante es:

El primer miembro es la diferencial exacta:

Por lo cual:

Se integra cada miembro:

Donde A es una constante de integración que toma en cuenta la constante de ambas de integrales.

Despejando la corriente se tiene:

Si Q (t) es conocida, es decir, si se conoce la fuente se puede evaluar la integral.

Observaciones:

• Para un circuito libre de fuentes Q vale cero y la respuesta es solo la correspondiente a la respuesta natural.

• El valor de P depende de los elementos pasivos del circuito, y en general es positiva.

• El primer término depende de la forma funcional de la función de excitación Q (t).
• Si Q (t) es una constante se trata de problemas de fuentes de corriente directa.

• Para el circuito RL en serie con fuente constante se tiene:

• La respuesta forzada pudo haberse obtenido sin necesidad de evaluar la integral, ya que esta debe ser la respuesta cuando el tiempo es infinito y la respuesta natural ha desaparecido. Como se tiene una fuente de corriente directa, la respuesta forzada es simplemente el voltaje de la fuente dividido por la resistencia en serie. Así, la respuesta forzada se obtiene a simple vista.