Cuando se realiza una medición aislada de una magnitud, la incertidumbre está principalmente asociada con la resolución (apreciación) del instrumento utilizado.
Por ejemplo, supongamos que se mide el ancho l de una hoja A4 utilizando una regla escolar de 30 cm de longitud. Luego de la medición podremos decir que l = 210,0 ± 0,5 mm, teniendo en cuenta el valor de la mínima división de escala de la regla (1 mm) y nuestra capacidad visual.
Sin embargo, cuando se realizan mediciones múltiples, se observa que el resultado no toma siempre el mismo valor. Por el contrario, se observan fluctuaciones dentro de un rango varias veces mayor a la resolución del instrumento. En este caso ya no puede suponerse que la incertidumbre de la medición está relacionada con la incertidumbre de tipo instrumental.
Este tipo de fluctuaciones pueden estar asociadas:
-
- al procedimiento con el que se realiza la medición,
- al propio experimentador,
- y a fluctuaciones intrínsecas del sistema bajo estudio.
En el caso del ejemplo, el traslado sucesivo de la regla produce fluctuaciones por exceso y defecto al azar con respecto a un valor central. Las fluctuaciones al azar dan lugar a lo que se conoce como incertidumbre estadística.
El tratamiento práctico de las incertidumbres debidas a las fluctuaciones se basa rigurosamente en la teoría de probabilidades. Sin embargo, los aspectos esenciales pueden comprenderse recurriendo a un análisis intuitivo.
Supongamos que una magnitud x (por ejemplo, una longitud) tiene un valor verdadero desconocido, µ. Cada vez que medimos la magnitud obtenemos un valor xi.
Luego de n mediciones ya podemos construir un histograma.
Si en este punto nos preguntamos, antes de realizar la medición n + 1, en qué intervalo de clase podría caer la medición n+1 con mayor probabilidad, seguro elegiremos el intervalo de clase con mayor altura de barra, es decir, con mayor frecuencia relativa.
Más aún, si nos preguntamos en qué intervalos de clase van a caer las próximas 100 mediciones, es decir, cómo se distribuirán, seguro diremos que lo harán de acuerdo a las frecuencias relativas correspondientes a cada intervalo.
Estas frecuencias, que han sido obtenidas a partir de los datos experimentales, nos permiten predecir con qué probabilidad el resultado de una medición podrá caer en alguno de los intervalos posibles.
Más formalmente, lo que estamos diciendo es que si el intervalo de clase i tiene límites xi y xi+1, entonces la probabilidad de que la próxima medición caiga dentro de este intervalo está dada por su frecuencia relativa hi:
donde hi es la frecuencia relativa correspondiente al intervalo de clase i.
La teoría de probabilidades indica que el símbolo ≈ se convierte en el símbolo = cuando el número n de mediciones es infinito, es decir:
Claramente, es imposible en condiciones reales que esto ocurra (un número de mediciones infinito). Sin embargo, en muchísimos casos la teoría de probabilidades permite encontrar expresiones matemáticas para la probabilidad de que un evento azaroso ocurra (por ejemplo, el resultado de una medición, tirar un dado, una moneda, etc.), basándose en hipótesis adecuadas y sin necesidad de realizar infinitos experimentos aleatorios.
Como dijimos, cuando n crece las frecuencias relativas tienden a las probabilidades, es decir:
Distribución Normal o de Gauss
Se mide n veces una magnitud, cuyo valor verdadero desconocido es µ. Por distintos factores de perturbación, cada vez que medimos se obtiene un valor xi, el cual es probablemente distinto al anterior y, además, probablemente distinto a µ.
En primer lugar, si los factores de perturbación no existieran, el resultado de cada medición seria µ. En segundo lugar, asumamos que la perturbación puede ocurrir con igual probabilidad en cualquiera de los dos sentidos, es decir:
Finalmente, consideremos que es más probable que xi caiga cerca de µ que lejos. La magnitud de los alejamientos observados dependerá de cuán importante sea el nivel de la perturbación.
Variable aleatoria continua: es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango. Por ejemplo, el peso de una persona podría ser 80,5; 80,52; 80,525; dependiendo de la precisión de la báscula.
Ejemplos de fenómenos con distribución normal
Muchos fenómenos se distribuyen normalmente.
Ejemplos:
- Edad
- Peso y talla de personas por edad y género
- Mediciones biométricas (Presión arterial, frecuencia cardíaca, temperatura etc.)
- Análisis de sangre
https://es.slideshare.net/MariclaudiaVsquezChacn/1-valores-normalesrapetti
- Estudios de la función pulmonar (espirometría)
https://www.aepap.org/sites/default/files/pags._359-372_espirometria.pdf
- Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco
- Resultados en exámenes
- Caracteres sociológicos como los votos por un candidato
- Caracteres psicológicos como el cociente intelectual
- Nivel de ruido en telecomunicaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
Esto significa que, si uno toma al azar un número suficientemente grande de casos y construye una curva de frecuencias con alguna variable continua, se obtendrá una curva de características particulares, llamada distribución normal. Es la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.
Bajo las hipótesis anteriores (y algunas más) es posible proponer una Ley de Probabilidad para los alejamientos que sufre el resultado de una medición con respecto al valor verdadero µ debido a fluctuaciones al azar que perturban la medición.
Esta distribución, llamada Distribución Normal, Distribución de Gauss, o Función de Densidad tiene la siguiente expresión:
Como la gráfica de la distribución normal tiene la forma de una campana, por este motivo también es conocida como la Campana de Gauss.
Características de la distribución normal
Sus características principales son las siguientes:
- La distribución normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución.
- La distribución de Gauss corresponde a una variable aleatoria continua x
- Es una distribución simétrica alrededor de µ. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.
http://matepedia-estadistica.blogspot.com/2016/09/caracteristicas-de-una-distribucion.html
- Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden a infinito. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.
- En el centro o pico de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda y son iguales.
https://slideplayer.es/slide/11618303/
- La distribución de Gauss depende de dos parámetros: la media µ y la desviación estándar σ. Es decir, las características de la distribución normal están totalmente dadas por los valores de su media µ y su desviación estándar σ.
- El ancho de la distribución depende del valor del parámetro σ, el cual a su vez depende de cuán importantes son las perturbaciones. Si se asume que una medición está afectada por fluctuaciones al azar que están bien modeladas por la distribución de Gauss, es posible sacar conclusiones muy útiles a partir de los datos experimentales. Recordemos que el objetivo por el cual tomamos las n mediciones es obtener una estimación del valor de la magnitud sin perturbación (µ). Para una desviación estándar el ancho es 68,27%, para dos desviaciones estándar, el ancho es 95,45% y para tres desviaciones estándar el ancho es 99,73%.
https://www.tuotromedico.com/temas/rdw-analisis-sangre.htm
Para indicar que una variable aleatoria x sigue una distribución normal de media µ y desviación estándar σ usaremos la expresión:
- Al ser x una variable aleatoria continua, P(x=a)=0.
- El área total bajo la curva representa el 100% de los casos.
Es decir,
Demostración 1:
Debemos calcular el determinante de la matriz jacobiana
El integrando interno en r no depende de theta.
Demostración 2:
https://www.youtube.com/watch?v=4E_Qfk9WP0I
Dijimos que la distribución de probabilidades de un experimento aleatorio se puede estimar a partir del histograma obtenido con n muy grande.
https://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/ManualCPE04.htm
¿Qué ocurre con los otros parámetros que se obtienen de una muestra de tamaño n, a medida que n aumenta? Es decir, ¿cuál es la expresión de la media aritmética y de la desviación estándar cuando las frecuencias relativas se convierten en probabilidades?
Las expresiones anteriores son válidas para cualquier Ley de Probabilidad, y no sólo para la distribución normal.
La puntuación z
Es la cantidad de desviaciones estándar que una proporción determinada se aleja de la media. Para encontrar la puntuación z adecuada, consulta la tabla a continuación:
Uso de la Ley de Gauss y la Distribución normal estándar
¿Cómo se utiliza la ley de Gauss para estimar la probabilidad de que la próxima medición caiga dentro del intervalo de clase i?
Hay que realizar la integral:
Si bien cualquier valor de p(x) puede calcularse con facilidad, no ocurre así con su integral, pues p(x) no tiene primitiva P(x). Una función P(x) es una primitiva de p(x) si se cumple que:
Por ese motivo está tabulada la integral de la distribución gaussiana normalizada o estándar, P(z).
La distribución normal estándar: se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) y una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ.
Fuente: http://www.incertitudes.fr/book.pdf
Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución normal estándar, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar.
Primero, convertimos la distribución real o no estándar en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado z, o estadístico o puntuación z que será la distancia entre un valor cualquiera x y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.
z se distribuye según una distribución normal de media 0 y desviación estándar 1,
De esta manera, un valor z mide la distancia entre un valor especificado de x y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar.
En estadística, la puntuación Z (o puntuación estándar) de una observación es el número de desviaciones estándar que hay por encima o por debajo de la media de población.
Al determinar el valor z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes.
Calculadora de puntajes Z
http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html
https://www.socscistatistics.com/tests/ztest/zscorecalculator.aspx
Como regla general, las puntuaciones Z inferiores a -1,96 o superiores a 1,96 se consideran poco corrientes e interesantes. Es decir, son valores atípicos significativos desde el punto de vista estadístico.
https://help.tableau.com/current/pro/desktop/es-es/calculating_z_scores.htm
¿Cómo se utiliza la tabla de áreas bajo la curva?
Ejemplo 1
Supongamos que una magnitud presenta fluctuaciones estadísticas de acuerdo a la distribución normal:
¿En qué intervalo de z, y de x caerá el 90% de las mediciones?
Tenemos que encontrar a qué valor de z corresponde el valor
Esto ocurre para:
por lo tanto:
Ejemplo 2
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Solución:
Es decir, que aproximadamente el 68,26% de los valores de x están a menos de una desviación típica de la media.
Fuente: http://www.incertitudes.fr/book.pdf
Ejemplo 3
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Es decir, que aproximadamente el 95,44% de los valores de x están a menos de dos desviaciones típicas de la media.
Fuente: http://www.incertitudes.fr/book.pdf
Ejemplo 4
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Es decir, que aproximadamente el 99,74% de los valores de x están a menos de tres desviaciones típicas de la media.
Fuente: http://www.incertitudes.fr/book.pdf
Ejemplo 5
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
Como junio tiene 30 días, entonces:
Por tanto, se espera que haya 13 días en los cuales la temperatura esté entre 21 y 27 grados.
Ejemplo 6
La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación típica es de 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan:
- Entre 60 y 75 kg:
Por tanto, se estima que 476 estudiantes tienen pesos comprendidos entre 60 Kg. y 75 Kg.
- Más de 90 kg:
Por tanto, no hay probabilidad de hallar estudiantes con más de 90 kg.
- Menos de 64 kg:
Por tanto, se estima que 11 estudiantes tienen un peso menor de 64 kg
- 64 kg:
Como la distribución normal es continua, al tomar valores puntuales la probabilidad de ocurrencia para ese valor es 0.
Incertidumbre
Cotas o límites para ∆x: cada vez que realizamos una medición directa o indirecta, no obtenemos el verdadero valor µ de la magnitud de interés, sino un valor cercano Xmedia. Dado que µ es desconocido, también es desconocido el error ∆x.
Más aún, si la medición se repite es posible que Xmedia tome un valor distinto que en la medición anterior. Sin embargo, casi siempre es posible estimar cotas o límites para ∆x, no necesariamente iguales, aunque en general se consideran iguales:
Por ejemplo,
Intervalo de confianza y nivel de confianza
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números z1 y z2 entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido (por ejemplo, la media) con una determinada probabilidad de acierto.
Estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.
z1<media<z2
La probabilidad de éxito p en la estimación se representa con 1 – α y se denomina nivel de confianza.
La probabilidad de fracaso q se representa por α es el llamado error aleatorio o nivel de significación o nivel de significancia, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que, para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.
Habitualmente se manejan intervalos de confianza del 95 (dos desviaciones estándar) y del 99 por ciento (tres desviaciones estándar).
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar (por ejemplo, la media). Es habitual que el parámetro presente una distribución normal.
Un intervalo de confianza al 1 – α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional, como la media, que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo:
donde P es la función de distribución de probabilidad de µ.
En una distribución, z ~ p (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que:
donde (1 – α) x100 es el porcentaje deseado.
Para ello se necesita calcular a y b: Estos valores delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la anterior imagen:
o su versión estandarizada (z1, z2):
Dicho punto es el número tal que:
Aproximaciones para el valor de z:
Es decir:
Por ejemplo, si la diferencia de potencial entre los bornes de una pila ha arrojado el valor V = 2,62 voltios (valor experimental), y la incertidumbre de la medición se ha estimado en ±2% con una probabilidad de éxito del 95%, tendremos que:
Cómo calcular el tamaño de la muestra
Cosas que debes tener en cuenta a la hora de calcular el tamaño de tu muestra
- Si deseas un margen de error más pequeño, debes tener un tamaño de muestra más grande para la misma población.
- Cuanto más alto desees que sea el nivel de confianza, más grande tendrá que ser el tamaño de la muestra.
- La regla general es que mientras más grande sea el tamaño de la muestra, más estadísticamente significativa será esta, lo que significa que hay menos probabilidades de que los resultados sean una coincidencia.
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA CONOCIENDO EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
¿Te preguntas cómo se calcula el tamaño de la muestra? Si deseas hacer el cálculo por tu cuenta, usa la siguiente fórmula:
- N = tamaño de la población
- e = margen de error (%), precisión, nivel de precisión, error de muestreo, error máximo admisible.
- z = puntuación zeta asociada a un nivel de confianza 1-alfa
- p = probabilidad de éxito, 1 – alfa
- q = probabilidad de fracaso, alfa
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA DESCONOCIENDO EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
La fórmula para calcular el tamaño de muestra cuando se desconoce el tamaño de la población es la siguiente:
Z = nivel de confianza, asociada a un nivel de confianza 1-alfa.
p = probabilidad de éxito, 1-alfa
q = probabilidad de fracaso, alfa
e = margen de error
Margen de error: también llamado precisión, tasa de precisión, nivel de precisión, error de muestreo o error máximo admisible. Es un porcentaje que te dice en qué medida puedes esperar que los resultados de tu encuesta reflejen la opinión de la población general. Entre más pequeño sea el margen de error, más cerca estarás de tener la respuesta correcta en un determinado nivel de confianza.
Es el rango en donde se estima que está el valor real de la población. Este rango se expresa en puntos porcentuales. Por lo tanto, si un investigador descubre que el 70% de los agricultores de la muestra han adoptado una tecnología recomendada con una tasa de precisión de +/- 5%, el investigador puede concluir que entre el 65% y el 75% de los agricultores de la población han adoptado la nueva tecnología.
https://explorable.com/es/tamano-de-la-muestra
El margen de error es el porcentaje de variación aceptable que existe en los resultados de la investigación. Es la manera de aceptar que los datos no son absolutamente exactos (que están lejos de la media) o precisos (que están dispersos).
Generalmente las encuestas se basan en información obtenida de una muestra de la población, es lógico que pueda ocurrir un error de muestreo.
¿Qué es el margen de error en una encuesta?
El margen de error te dice en qué medida puedes esperar que los resultados de tu encuesta reflejen las opiniones de la población general. Recuerda que encuestar es un acto de equilibrio donde utilizas un pequeño grupo (tus encuestados) para representar a una población mucho más grande (el mercado objetivo o población total).
Puedes imaginar el margen de error como una forma de medir cuán efectiva es tu encuesta. Cuanto menor sea el margen de error, más confianza puedes tener en los resultados. Cuanto mayor sea el margen de error, más se desviarán de las opiniones de la población total.
Como lo indica su nombre, el margen de error es el rango de valores por encima y por debajo de los resultados reales de una encuesta.
Por ejemplo, un 60 % de respuesta “sí” con un margen de error del 5 % significa que entre el 55 % y el 65 % de la población total cree que la respuesta es “sí”.
Cómo calcular el margen de error
- n = tamaño de la muestra
- σ = desviación estándar de la población
- z = puntuación z, asociada a un nivel de confianza 1-alfa
- Obtén la desviación estándar de la población (σ) y el tamaño de la muestra (n).
- Divide la desviación estándar de la población entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
- Multiplica el resultado por la puntuación z de acuerdo con el nivel de confianza deseado teniendo en cuenta la siguiente tabla:
Ejemplo:
Veamos cómo funciona la fórmula del margen de error con un ejemplo.
Imagina que intentas decidir entre el Nombre A y el Nombre B para un nuevo producto y tu mercado objetivo consta de 400000 clientes potenciales. Esta es tu población total.
Decides encuestar a 600 de esos clientes potenciales. Este es el tamaño de la muestra.
Cuando obtienes los resultados, el 60 % de los encuestados dice que prefiere el Nombre A. Necesitas ingresar un nivel de confianza en la calculadora de margen de error. Este número expresa cuánta certeza tienes de que la muestra refleja con precisión las actitudes de la población total.
Los investigadores generalmente establecen el margen de error en 90%, 95% o 99%
Prueba ingresar los números de este ejemplo en la calculadora de margen de error. La calculadora te proporciona un margen de error del 4 %.
¿Recuerdas que el 60 % de los encuestados eligió el Nombre A? Este margen de error significa que ahora sabes con un 95 % de probabilidad que entre el 56 % y el 64 % de la población total, tu mercado objetivo, prefiere el Nombre A para tu producto.
Obtenemos 56 y 64 al sumar y restar el margen de error de la respuesta de tu muestra.
https://es.surveymonkey.com/mp/margin-of-error-calculator/
Por lo regular el margen de error puede ser controlado eligiendo una muestra aleatoria y aumentando el tamaño de la muestra, lamentablemente el presupuesto puede llegar a ser un limitante.
Menor margen de error requiere un tamaño de muestra más grande. El incrementar el tamaño de la muestra aumenta el nivel de confianza. ¿Qué nivel de confianza se necesita? Las opciones típicas son 90%, 95%, o 99%.
Nivel de confianza: El intervalo de confianza es la medida estadística del número de veces de cada 100 que se espera que los resultados se encuentren dentro de un rango específico.
Por ejemplo, un intervalo de confianza de 90% significa que los resultados de una acción probablemente cubrirán las expectativas el 90% de las veces. En otras palabras, si un intervalo de confianza es del 95%, significa que 95 de 100 muestras tendrán el valor real de la población dentro del rango de precisión.
https://es.surveymonkey.com/mp/sample-size-calculator/
Bibliografía
- Estadística Descriptiva y Calculo de Probabilidades. https://issuu.com/utommaravatio/docs/230338717-estadistica-descriptiva-y
- Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas. https://issuu.com/clifforjerryherreracastrillo6181/docs/dossier_estad_stica
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