Parte 1 de 6. Funciones singulares, definición formal y convenciones de uso

1.1. Funciones singulares en el análisis de circuitos

Las funciones singulares son herramientas matemáticas utilizadas para representar cambios abruptos, eventos instantáneos o discontinuidades idealizadas dentro de un sistema físico. En análisis de circuitos, señales y sistemas dinámicos, estas funciones permiten describir fenómenos como la conexión repentina de una fuente, la apertura de un interruptor, la aplicación súbita de una tensión o la aparición de una excitación concentrada en un intervalo de tiempo muy pequeño.

Dentro de este grupo se destacan dos funciones fundamentales: la función escalón unitario y la función impulso unitario. La función escalón unitario representa un cambio súbito que permanece después del instante de activación. La función impulso unitario representa una acción idealmente instantánea, concentrada en un solo punto del tiempo. Ambas son idealizaciones, pero su utilidad es enorme porque permiten estudiar de manera ordenada la respuesta temporal de circuitos y sistemas dinámicos.

En circuitos eléctricos, la función escalón unitario se usa para modelar la aplicación repentina de una fuente de voltaje o de corriente. Por ejemplo, cuando un interruptor conecta una batería a una red eléctrica, la fuente no estaba actuando antes de la conmutación y comienza a actuar después de ella. Ese cambio puede representarse matemáticamente mediante un escalón. Aunque en la realidad ningún interruptor cambia de estado en tiempo exactamente cero, el modelo es válido cuando el tiempo de conmutación es muy pequeño frente a las constantes de tiempo del circuito.

En señales y sistemas, el escalón unitario también permite construir señales más complejas. Mediante desplazamientos, sumas, restas y cambios de amplitud pueden representarse pulsos rectangulares, ventanas temporales, señales definidas por tramos y fuentes que se activan o desactivan en instantes determinados. Por esta razón, el escalón no debe verse como una función aislada, sino como una pieza básica para describir fenómenos temporales en ingeniería.

1.2. Definición de la función escalón unitario

La función escalón unitario se denota usualmente como u(t). Su comportamiento básico es sencillo: vale cero antes del instante de activación y vale uno después de ese instante. En este capítulo se adoptará como convención principal que la función no está definida exactamente en el punto de discontinuidad.

Tabla 1. Definición de la función escalón unitario adoptada en este capítulo

Condición sobre el tiempo	Valor de la función
Si t < 0	u(t) = 0
Si t = 0	u(t) no se define bajo esta convención
Si t > 0	u(t) = 1

Esta definición significa que la señal permanece apagada antes del origen y se activa inmediatamente después del origen. El valor en t = 0 no se fija porque allí ocurre el salto de la función. Esta decisión evita contradicciones cuando se estudian límites laterales, identidades entre escalones o valores exactos en los puntos de conmutación.

La función escalón unitario también recibe el nombre de función de Heaviside. En algunos textos se usa la notación H(t) en lugar de u(t), especialmente en matemáticas, física e ingeniería de señales. En análisis de circuitos es común emplear u(t), porque esta notación permite escribir de forma compacta fuentes activadas en el tiempo, como voltajes y corrientes escalón.

Figura 1. Función escalón unitario bajo la convención u(0) no definida.
Nota. Elaboración propia. La gráfica debe mostrar una línea horizontal en cero para t < 0, una línea horizontal en uno para t > 0 y un círculo abierto en t = 0 para indicar que el valor de la función no se define en el punto de discontinuidad.

1.3. Discontinuidad en el origen

La función escalón unitario es discontinua en t = 0 porque su comportamiento cambia bruscamente al cruzar el origen. Antes de t = 0, la función vale cero. Después de t = 0, la función vale uno. Ese salto impide que exista un único valor límite en el origen.

Tabla 2. Límites laterales de la función escalón unitario en el origen

Límite analizado	Resultado	Interpretación
Límite cuando t se acerca a 0 por la izquierda	0	La señal todavía está apagada antes del origen.
Límite cuando t se acerca a 0 por la derecha	1	La señal ya está activa después del origen.
Límite bilateral en t = 0	No existe	Los límites laterales son diferentes.

Como los límites laterales no coinciden, la función escalón unitario no es continua en el origen. Esta discontinuidad no es un defecto de la función, sino precisamente la característica que la hace útil para representar cambios repentinos. En un circuito, el salto puede representar el instante ideal en que una fuente comienza a actuar sobre una red eléctrica.

Desde el punto de vista físico, el salto instantáneo debe entenderse como una idealización. Un interruptor real, un relé, un transistor o cualquier dispositivo de conmutación necesita un tiempo finito para cambiar de estado. Sin embargo, si ese tiempo es despreciable frente al tiempo característico del circuito, el escalón unitario ofrece una aproximación adecuada y simplifica el análisis.

1.4. Convenciones para el valor de u(0)

El valor de u(0) no es universal. Diferentes áreas adoptan convenciones distintas según el propósito del análisis. Por eso, un tratamiento académico riguroso debe declarar desde el comienzo qué convención utilizará.

Tabla 3. Convenciones habituales para el valor de la función escalón unitario en el origen

Convención	Valor asignado en t = 0	Uso frecuente	Comentario académico
Convención de discontinuidad	No definido	Análisis matemático y funciones por tramos	Evita asignar un valor arbitrario donde los límites laterales no coinciden.
Convención de encendido inmediato	u(0) = 1	Algunos textos de circuitos y control	Interpreta que la señal ya está activa desde el instante de conmutación.
Convención simétrica	u(0) = 1/2	Fourier y procesamiento de señales	Trata el salto de forma equilibrada entre el valor anterior y posterior.
Convención causal estricta	u(0) = 0	Algunos tratamientos discretos o causales	Interpreta que la activación ocurre inmediatamente después del origen.

En este capítulo se usará la convención de discontinuidad: u(0) no definida. Cuando sea necesario usar otra convención, se indicará de manera explícita. Esta decisión permite analizar los puntos de salto sin confundir el valor de la función con sus límites laterales.

La elección de una convención no cambia el comportamiento de la función antes ni después del origen. Lo único que cambia es el valor asignado exactamente en el punto de discontinuidad. En muchos problemas de circuitos, ese punto aislado no altera la respuesta física general; sin embargo, sí puede afectar expresiones algebraicas evaluadas exactamente en el instante de conmutación.

1.5. Interpretación física del escalón unitario

El escalón unitario es una función adimensional. Esto significa que, por sí solo, u(t) no representa voltios, amperios, ohmios ni ninguna otra magnitud física. Para que represente una señal eléctrica real, debe multiplicarse por una amplitud con unidades.

Si una fuente de voltaje se activa súbitamente en t = 0 y alcanza el valor constante Vs, puede escribirse así:

v(t) = Vs u(t)

En esta expresión, u(t) indica el instante de activación y Vs aporta la unidad física de voltaje. Antes de t = 0, la fuente vale cero. Después de t = 0, la fuente vale Vs.

De manera semejante, si una fuente de corriente se activa súbitamente en t = 0 y alcanza el valor constante Is, puede escribirse así:

i(t) = Is u(t)

En este caso, u(t) sigue siendo una función adimensional, mientras que Is aporta la unidad de corriente. La forma matemática es la misma; lo que cambia es la magnitud física representada.

Tabla 4. Uso del escalón unitario para representar fuentes eléctricas

Señal física	Expresión	Interpretación
Voltaje escalón	v(t) = Vs u(t)	Una fuente de voltaje pasa de 0 a Vs en t = 0.
Corriente escalón	i(t) = Is u(t)	Una fuente de corriente pasa de 0 a Is en t = 0.
Señal adimensional	u(t)	Modelo matemático de activación temporal.

Figura 2. Fuente eléctrica activada mediante una función escalón unitario.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar dos señales paralelas: una de voltaje, v(t) = Vs u(t), y otra de corriente, i(t) = Is u(t). En ambas, la señal debe valer cero antes de t = 0 y tomar un valor constante después de t = 0.

1.6. Relación entre el escalón unitario y el impulso unitario

La función impulso unitario se denota como delta(t). En el análisis de señales y sistemas, el impulso unitario puede entenderse como la derivada generalizada del escalón unitario. Esta relación no debe interpretarse como una derivada ordinaria, porque el escalón tiene una discontinuidad en el origen. Se trata de una relación válida en el sentido de las distribuciones.

En términos conceptuales, el escalón representa una acción que aparece y permanece. El impulso representa una acción concentrada idealmente en un instante. Por eso, el escalón es adecuado para estudiar entradas que se aplican repentinamente y luego continúan actuando, mientras que el impulso es útil para caracterizar la respuesta elemental de un sistema.

Tabla 5. Comparación entre la función escalón unitario y la función impulso unitario

Función	Símbolo usual	Interpretación temporal	Uso principal
Escalón unitario	u(t)	Cambio súbito que permanece después de la activación	Modelar encendido de fuentes, conmutaciones y señales por tramos.
Impulso unitario	delta(t)	Evento idealmente instantáneo concentrado en un punto	Caracterizar sistemas mediante su respuesta impulsiva.
Relación formal	delta(t) es la derivada generalizada de u(t)	El impulso concentra el salto del escalón	Conectar discontinuidades con análisis de sistemas lineales.

En sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la respuesta al impulso tiene especial importancia porque permite describir la respuesta del sistema ante entradas más generales. La respuesta al escalón, por su parte, permite observar cómo el sistema evoluciona desde un estado inicial hacia un nuevo estado de equilibrio después de una activación súbita.

1.7. Importancia del escalón unitario en circuitos transitorios

El análisis de circuitos transitorios estudia el comportamiento de voltajes y corrientes después de una conmutación. En circuitos con resistencias, capacitores e inductores, la respuesta no depende únicamente de la fuente aplicada, sino también de la energía almacenada antes del cambio. La función escalón unitario permite representar con precisión el instante a partir del cual cambia la excitación del circuito.

En un circuito RC, una entrada escalón puede producir una carga o descarga exponencial del capacitor. En un circuito RL, puede producir el crecimiento o decrecimiento gradual de la corriente en el inductor. En ambos casos, el escalón describe la causa externa del cambio, mientras que la respuesta del circuito depende de sus elementos y condiciones iniciales.

Por esta razón, estudiar la función escalón unitario no es un trámite previo, sino una condición necesaria para comprender los circuitos en estado transitorio. Sin una definición clara del escalón, las expresiones de voltaje, corriente, energía y respuesta temporal pueden volverse ambiguas.

1.8. Criterio gráfico para las imágenes del capítulo

Todas las imágenes de este capítulo deben dibujarse con una misma convención visual. El eje horizontal representará el tiempo t. El eje vertical representará la amplitud de la señal. Los puntos de discontinuidad se marcarán de forma explícita para evitar ambigüedades.

Tabla 6. Convención gráfica adoptada para representar funciones escalón

Elemento gráfico	Significado
Línea horizontal en cero	Señal inactiva antes del instante de activación.
Línea horizontal en uno	Señal activa después del instante de activación.
Salto vertical	Cambio ideal e instantáneo entre dos estados.
Círculo abierto	Valor no definido en el punto de discontinuidad.
Punto cerrado	Valor definido por una convención explícita.
Línea vertical discontinua	Instante de conmutación o discontinuidad.

Cuando una figura represente un escalón desplazado, debe indicarse el instante exacto de discontinuidad. En u(t – t0), la discontinuidad ocurre en t = t0. En u(t + t0), la discontinuidad ocurre en t = -t0. Esta regla será esencial en las partes siguientes, donde se construirán pulsos, ventanas temporales y fuentes escalón desplazadas.

Figura 3. Convención gráfica para representar discontinuidades en funciones escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe comparar un punto abierto, usado cuando el valor no está definido, con un punto cerrado, usado cuando se adopta un valor específico por convención.

1.9. Referencias de la Parte 1

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

MIT OpenCourseWare. (2011). Unit Step and Unit Impulse Response. Massachusetts Institute of Technology.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

Parte 2 de 6. Desplazamiento, inversión y cambio de amplitud

2.1. El argumento de la función escalón

La expresión que aparece dentro de la función escalón recibe el nombre de argumento. En la función u(t), el argumento es t. En la función u(t − t₀), el argumento es t − t₀. En la función u(t + t₀), el argumento es t + t₀. Esta diferencia es decisiva porque el escalón cambia de valor cuando su argumento pasa de negativo a positivo.

El punto donde el argumento se hace cero corresponde al instante de discontinuidad. Para u(t), la discontinuidad ocurre en t = 0. Para u(t − t₀), la discontinuidad ocurre cuando t − t₀ = 0; por tanto, ocurre en t = t₀. Para u(t + t₀), la discontinuidad ocurre cuando t + t₀ = 0; por tanto, ocurre en t = −t₀.

Tabla 7. Argumento e instante de discontinuidad de funciones escalón básicas

Función	Argumento	Condición de discontinuidad	Instante de discontinuidad
u(t)	t	t = 0	t = 0
u(t − t₀)	t − t₀	t − t₀ = 0	t = t₀
u(t + t₀)	t + t₀	t + t₀ = 0	t = −t₀
u(−t)	−t	−t = 0	t = 0
u(−t + t₀)	−t + t₀	−t + t₀ = 0	t = t₀
u(−t − t₀)	−t − t₀	−t − t₀ = 0	t = −t₀

Figura 4. Papel del argumento en la ubicación del salto de una función escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar tres gráficas en la misma escala: u(t), u(t − t₀) y u(t + t₀). Debe marcarse con línea vertical discontinua el instante de discontinuidad en cada caso.

2.2. Escalón unitario desplazado hacia la derecha

La función u(t − t₀) representa un escalón desplazado hacia la derecha cuando t₀ es positivo. Esto significa que la señal permanece apagada hasta el instante t = t₀ y se activa después de ese instante.

Tabla 8. Definición por tramos de u(t − t₀), con t₀ > 0

Condición sobre el tiempo	Valor de u(t − t₀)	Interpretación
Si t < t₀	0	La señal aún no se ha activado.
Si t = t₀	No definida bajo esta convención	En ese instante ocurre la discontinuidad.
Si t > t₀	1	La señal ya está activa.

Esta función es útil para representar una fuente, una señal o una acción que no comienza en el origen, sino en un instante posterior. En circuitos eléctricos, puede describir una fuente conectada después de un retardo. Por ejemplo, si una fuente de voltaje de amplitud Vs se conecta en t = t₀, su expresión temporal puede escribirse como:

v(t) = Vs u(t − t₀)

En esta expresión, Vs determina la amplitud física del voltaje, mientras que u(t − t₀) determina el instante de activación.

Figura 5. Escalón unitario desplazado hacia la derecha.
Nota. Elaboración propia. La señal debe valer cero para t < t₀, tomar valor uno para t > t₀ y presentar un círculo abierto en t = t₀ bajo la convención adoptada en este capítulo.

2.3. Escalón unitario desplazado hacia la izquierda

La función u(t + t₀) representa un escalón desplazado hacia la izquierda cuando t₀ es positivo. En este caso, la activación ocurre antes del origen, exactamente en t = −t₀.

Tabla 9. Definición por tramos de u(t + t₀), con t₀ > 0

Condición sobre el tiempo	Valor de u(t + t₀)	Interpretación
Si t < −t₀	0	La señal aún no se ha activado.
Si t = −t₀	No definida bajo esta convención	En ese instante ocurre la discontinuidad.
Si t > −t₀	1	La señal ya está activa.

Este tipo de desplazamiento aparece cuando se necesita representar una señal cuya activación ocurrió antes del instante tomado como referencia. En análisis de señales, elegir el origen de tiempo no siempre significa que allí empezó el fenómeno; a veces el origen se toma por conveniencia matemática o experimental.

Figura 6. Escalón unitario desplazado hacia la izquierda.
Nota. Elaboración propia. La gráfica debe mostrar el salto en t = −t₀. Antes de ese instante la señal vale cero; después de ese instante la señal vale uno.

2.4. Comparación entre u(t − t₀) y u(t + t₀)

Las funciones u(t − t₀) y u(t + t₀) suelen confundirse. La diferencia se aclara resolviendo el argumento igual a cero. En u(t − t₀), el salto ocurre en t = t₀. En u(t + t₀), el salto ocurre en t = −t₀. Por eso, restar t₀ dentro del argumento desplaza el escalón hacia la derecha, mientras que sumar t₀ lo desplaza hacia la izquierda.

Tabla 10. Comparación entre desplazamiento hacia la derecha y hacia la izquierda

Función	Dirección del desplazamiento si t₀ > 0	Instante de activación	Lectura correcta
u(t − t₀)	Hacia la derecha	t = t₀	La señal se activa después del origen.
u(t + t₀)	Hacia la izquierda	t = −t₀	La señal se activó antes del origen.

Una regla práctica consiste en buscar cuándo el argumento se hace cero. Esa regla es más segura que memorizar signos. En funciones desplazadas, el error típico consiste en pensar que el signo “+” siempre significa desplazamiento hacia la derecha. En realidad, dentro del argumento ocurre lo contrario: t − t₀ desplaza hacia la derecha y t + t₀ desplaza hacia la izquierda.

2.5. Inversión temporal del escalón unitario

La función u(−t) representa una inversión temporal de u(t). Mientras u(t) vale cero antes del origen y uno después del origen, u(−t) vale uno antes del origen y cero después del origen. En otras palabras, u(−t) describe una señal que está activa antes de t = 0 y se apaga después de ese instante.

Tabla 11. Definición por tramos de u(−t)

Condición sobre el tiempo	Valor de u(−t)	Interpretación
Si t < 0	1	La señal está activa antes del origen.
Si t = 0	No definida bajo esta convención	En ese instante ocurre la discontinuidad.
Si t > 0	0	La señal queda apagada después del origen.

La inversión temporal cambia el sentido de activación de la señal. Ya no se trata de una señal que se enciende, sino de una señal que se apaga. Este comportamiento es útil para representar procesos que terminan en un instante determinado, como una fuente que se desconecta, una excitación que cesa o una ventana temporal que se cierra.

Figura 7. Inversión temporal de la función escalón unitario.
Nota. Elaboración propia. La figura debe comparar u(t) y u(−t). La primera se activa después del origen; la segunda está activa antes del origen y se desactiva después del origen.

2.6. Escalones invertidos y desplazados

La inversión temporal también puede combinarse con desplazamientos. Por ejemplo, u(−t + t₀) se apaga en t = t₀, mientras que u(−t − t₀) se apaga en t = −t₀. Para evitar errores, conviene resolver siempre el argumento igual a cero.

Tabla 12. Escalones invertidos y desplazados

Función	Instante de discontinuidad	Valor antes de la discontinuidad	Valor después de la discontinuidad
u(−t)	t = 0	1	0
u(−t + t₀)	t = t₀	1	0
u(−t − t₀)	t = −t₀	1	0

La función u(−t + t₀) puede interpretarse como una señal activa antes de t₀ y apagada después de t₀. Esto la convierte en un modelo adecuado para señales que terminan en un instante positivo. De manera semejante, u(−t − t₀) describe una señal que se apaga antes del origen, específicamente en t = −t₀.

Figura 8. Escalones invertidos y desplazados.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar u(−t), u(−t + t₀) y u(−t − t₀), indicando claramente el instante en que cada señal pasa de uno a cero.

2.7. Cambio de signo de la función escalón

Multiplicar una función escalón por −1 no cambia el instante de discontinuidad, pero sí cambia su amplitud. La función −u(t) vale cero antes del origen y vale −1 después del origen. Su salto ocurre en el mismo instante que el de u(t), pero hacia abajo.

Tabla 13. Definición por tramos de −u(t)

Condición sobre el tiempo	Valor de −u(t)	Interpretación
Si t < 0	0	La señal aún no actúa.
Si t = 0	No definida bajo esta convención	En ese instante ocurre la discontinuidad.
Si t > 0	−1	La señal actúa con amplitud negativa.

Este cambio de signo es importante porque en circuitos no solo interesa saber cuándo se activa una fuente, sino también con qué polaridad o sentido lo hace. Un voltaje escalón positivo puede representarse como Vs u(t). Un voltaje escalón negativo puede representarse como −Vs u(t). La diferencia no está en el instante de activación, sino en la dirección de la amplitud.

Figura 9. Escalón unitario con cambio de signo.
Nota. Elaboración propia. La gráfica debe comparar u(t) y −u(t). Ambas tienen discontinuidad en t = 0, pero u(t) salta de 0 a 1, mientras −u(t) salta de 0 a −1.

2.8. Cambio de amplitud de la función escalón

La función escalón unitario tiene amplitud uno. Cuando se multiplica por una constante A, se obtiene una señal escalón de amplitud A. Si A es positiva, la señal salta de 0 a A. Si A es negativa, la señal salta de 0 a un valor negativo.

Tabla 14. Efecto de multiplicar el escalón por una constante

Expresión	Valor antes del salto	Valor después del salto	Interpretación
u(t)	0	1	Escalón unitario básico.
A u(t), con A > 0	0	A	Escalón positivo de amplitud A.
A u(t), con A < 0	0	A	Escalón negativo de amplitud A.
Vs u(t)	0	Vs	Fuente de voltaje escalón.
Is u(t)	0	Is	Fuente de corriente escalón.

Este principio permite transformar la función escalón en una señal física. Por ejemplo, si A = 5, la señal 5u(t) salta de 0 a 5. Si se trata de voltaje, representa 5 V después del instante de activación. Si se trata de corriente, representa 5 A después del instante de activación. La función u(t) controla el tiempo; la constante A controla la magnitud.

Figura 10. Escalones de diferente amplitud.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar u(t), 2u(t), 5u(t) y −3u(t) en ejes comparables, indicando que la discontinuidad ocurre en el mismo instante pero la amplitud final cambia.

2.9. Combinación de desplazamiento, inversión y amplitud

Una señal escalón general puede combinar tres operaciones: desplazamiento temporal, inversión temporal y cambio de amplitud. Una forma frecuente es A u(t − t₀), donde A es la amplitud y t₀ es el instante de activación. Si A es positiva, el salto es hacia arriba. Si A es negativa, el salto es hacia abajo.

Tabla 15. Interpretación de señales escalón combinadas

Expresión	Instante de discontinuidad	Valor antes del salto	Valor después del salto	Interpretación
A u(t)	t = 0	0	A	Escalón de amplitud A activado en el origen.
A u(t − t₀)	t = t₀	0	A	Escalón de amplitud A activado en t₀.
A u(t + t₀)	t = −t₀	0	A	Escalón de amplitud A activado en −t₀.
A u(−t)	t = 0	A	0	Señal de amplitud A apagada en el origen.
A u(−t + t₀)	t = t₀	A	0	Señal de amplitud A apagada en t₀.

Esta tabla resume el criterio más importante: primero se localiza la discontinuidad resolviendo el argumento igual a cero; luego se analiza si la función se enciende o se apaga; finalmente se aplica la amplitud. Este procedimiento evita errores de signo y permite interpretar cualquier escalón desplazado sin depender de la memoria.

Figura 11. Operaciones básicas sobre la función escalón unitario.
Nota. Elaboración propia. La figura debe integrar cuatro casos: desplazamiento hacia la derecha, desplazamiento hacia la izquierda, inversión temporal y cambio de amplitud. Cada caso debe aparecer con su expresión y su gráfica correspondiente.

2.10. Errores frecuentes al interpretar escalones desplazados

Un error común consiste en afirmar que u(t + t₀) se desplaza hacia la derecha porque aparece un signo positivo dentro del argumento. Esa interpretación es incorrecta. Para conocer la dirección del desplazamiento se debe resolver el argumento igual a cero. Si t + t₀ = 0, entonces t = −t₀; por tanto, el salto ocurrió antes del origen.

Otro error frecuente consiste en confundir cambio de signo con inversión temporal. La función −u(t) no es igual a u(−t). La primera cambia la amplitud de la señal; la segunda cambia el sentido temporal de activación. En −u(t), la señal pasa de 0 a −1. En u(−t), la señal pasa de 1 a 0.

Tabla 16. Diferencias entre operaciones que suelen confundirse

Expresión	Operación realizada	Resultado conceptual
u(t − t₀)	Desplazamiento hacia la derecha	La señal se activa en t = t₀.
u(t + t₀)	Desplazamiento hacia la izquierda	La señal se activa en t = −t₀.
−u(t)	Cambio de signo	La señal salta de 0 a −1.
u(−t)	Inversión temporal	La señal pasa de 1 a 0.
−u(t − t₀)	Desplazamiento y cambio de signo	La señal salta de 0 a −1 en t = t₀.
u(−t + t₀)	Inversión temporal y desplazamiento	La señal se apaga en t = t₀.

Distinguir estas operaciones es indispensable para construir señales por tramos y para modelar fuentes temporales en circuitos. Un signo ubicado fuera de la función modifica la amplitud. Un signo ubicado dentro del argumento modifica el comportamiento temporal. Esa diferencia, pequeña en apariencia, cambia por completo la gráfica.

2.11. Criterio recomendado para dibujar escalones

Para dibujar correctamente una función escalón, conviene seguir un procedimiento fijo. Primero se identifica el argumento. Segundo, se calcula el instante en que el argumento vale cero. Tercero, se determina si la señal está activa antes o después de ese instante. Cuarto, se aplica la amplitud correspondiente. Quinto, se marca la discontinuidad según la convención adoptada.

Tabla 17. Procedimiento para graficar una función escalón

Paso	Pregunta guía	Acción
1	¿Cuál es el argumento del escalón?	Identificar la expresión dentro de u( ).
2	¿Cuándo el argumento vale cero?	Resolver la ecuación argumento = 0.
3	¿La señal se enciende o se apaga?	Evaluar un tiempo antes y otro después de la discontinuidad.
4	¿Cuál es la amplitud?	Multiplicar por la constante externa.
5	¿Qué ocurre en el punto de salto?	Usar círculo abierto si el valor no está definido.

Este método es más confiable que intentar memorizar todas las variantes posibles. Además, permite analizar expresiones más complejas, como las que aparecerán en la construcción de pulsos rectangulares, ventanas temporales y fuentes de excitación definidas por intervalos.

2.12. Referencias de la Parte 2

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

Parte 3 de 6. Pulsos, ventanas temporales y combinaciones de escalones

3.1. Construcción de señales mediante funciones escalón

La función escalón unitario no solo sirve para representar señales que se activan y permanecen encendidas. También permite construir señales que existen únicamente durante un intervalo de tiempo. Para lograrlo, se combinan dos escalones: uno que activa la señal y otro que la desactiva. Esta idea es fundamental en análisis de circuitos, procesamiento de señales y sistemas de control, porque muchas excitaciones reales no permanecen indefinidamente, sino que actúan durante un tiempo limitado.

Una señal temporal limitada puede interpretarse como una señal encendida entre dos instantes. Si el primer escalón activa la señal en t = t1 y el segundo escalón la apaga en t = t2, con t2 > t1, entonces la diferencia entre ambos escalones produce un pulso rectangular. La expresión básica es:

p(t) = u(t − t1) − u(t − t2)

Esta señal vale cero antes de t1, vale uno entre t1 y t2, y vuelve a valer cero después de t2. En los puntos exactos t = t1 y t = t2 se mantiene la convención adoptada en este capítulo: la función no se define en las discontinuidades, salvo que se indique otra convención.

Tabla 18. Pulso rectangular unitario construido con dos escalones

Intervalo de tiempo	Valor de u(t − t1)	Valor de u(t − t2)	Valor de p(t) = u(t − t1) − u(t − t2)
Si t < t1	0	0	0
Si t1 < t < t2	1	0	1
Si t > t2	1	1	0
En t = t1	No definido	0	No definido
En t = t2	1	No definido	No definido

Figura 12. Pulso rectangular unitario generado por diferencia de escalones.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una señal que vale cero antes de t1, uno entre t1 y t2, y cero después de t2. Los puntos t1 y t2 deben marcarse con círculos abiertos bajo la convención de discontinuidad adoptada.

3.2. Pulso rectangular de amplitud arbitraria

Cuando el pulso unitario se multiplica por una constante A, se obtiene un pulso rectangular de amplitud A. La expresión general es:

p(t) = A[u(t − t1) − u(t − t2)]

La constante A determina la altura del pulso. Si A es positiva, el pulso se eleva por encima del eje horizontal. Si A es negativa, el pulso queda por debajo del eje horizontal. La duración del pulso no depende de A, sino de la diferencia entre t2 y t1.

Tabla 19. Parámetros principales de un pulso rectangular

Parámetro	Significado	Expresión
Instante de activación	Momento en que el pulso comienza	t = t1
Instante de desactivación	Momento en que el pulso termina	t = t2
Duración	Tiempo durante el cual el pulso permanece activo	t2 − t1
Amplitud	Valor constante del pulso mientras está activo	A
Expresión general	Pulso rectangular de amplitud A	A[u(t − t1) − u(t − t2)]

El pulso rectangular es una herramienta especialmente útil para representar fuentes que se aplican durante un intervalo finito. Por ejemplo, una fuente de voltaje que vale Vs desde t = t1 hasta t = t2 puede escribirse como:

v(t) = Vs[u(t − t1) − u(t − t2)]

Esta expresión dice dos cosas al mismo tiempo: la fuente se conecta en t1 y se desconecta en t2. El primer escalón enciende la fuente; el segundo escalón, al restarse, la apaga.

Figura 13. Pulso rectangular de voltaje de amplitud Vs.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar v(t) = Vs[u(t − t1) − u(t − t2)]. El eje vertical debe marcar Vs como amplitud. La señal debe estar activa solo en el intervalo t1 < t < t2.

3.3. Pulso rectangular negativo

Un pulso rectangular negativo se obtiene cuando la amplitud A es menor que cero. También puede representarse colocando un signo negativo delante de la diferencia de escalones. Su expresión típica es:

p(t) = −A[u(t − t1) − u(t − t2)], con A > 0

En este caso, el pulso vale cero antes de t1, vale −A entre t1 y t2, y vuelve a cero después de t2. Esta forma aparece cuando la señal activa tiene polaridad negativa, dirección opuesta o valor inferior al nivel de referencia.

Tabla 20. Pulso rectangular positivo y negativo

Expresión	Valor antes de t1	Valor entre t1 y t2	Valor después de t2	Interpretación
A[u(t − t1) − u(t − t2)]	0	A	0	Pulso positivo de amplitud A.
−A[u(t − t1) − u(t − t2)]	0	−A	0	Pulso negativo de amplitud A.

En circuitos, un pulso negativo puede representar una fuente aplicada con polaridad contraria, una caída de voltaje temporal o una corriente definida en sentido opuesto al sentido de referencia. Por eso, el signo de la amplitud debe interpretarse siempre junto con la polaridad o dirección elegida en el circuito.

Figura 14. Comparación entre pulso rectangular positivo y pulso rectangular negativo.
Nota. Elaboración propia. La figura debe presentar dos señales con los mismos instantes t1 y t2. La primera debe tener amplitud A; la segunda debe tener amplitud −A.

3.4. Ventana temporal

La expresión u(t − t1) − u(t − t2) también recibe el nombre de ventana temporal, porque permite seleccionar un intervalo específico del eje del tiempo. Multiplicar una señal cualquiera f(t) por esa ventana hace que la señal exista solo entre t1 y t2.

La forma general es:

g(t) = f(t)[u(t − t1) − u(t − t2)]

Esta expresión conserva f(t) únicamente en el intervalo t1 < t < t2. Fuera de ese intervalo, la señal resultante vale cero. La ventana temporal no cambia la forma interna de f(t); solo limita el tiempo durante el cual esa señal está presente.

Tabla 21. Efecto de una ventana temporal sobre una señal f(t)

Intervalo de tiempo	Valor de la ventana u(t − t1) − u(t − t2)	Valor de g(t)
Si t < t1	0	0
Si t1 < t < t2	1	f(t)
Si t > t2	0	0

Esta idea permite representar señales acotadas en el tiempo, como un pulso senoidal, una excitación experimental, una ráfaga de corriente o un intervalo de muestreo. En lugar de definir la señal con varias frases, la ventana temporal permite escribirla en una sola expresión compacta.

Figura 15. Señal f(t) limitada por una ventana temporal.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una señal cualquiera f(t) y, debajo, la señal g(t) = f(t)[u(t − t1) − u(t − t2)], activa solo entre t1 y t2.

3.5. Pulso senoidal limitado por escalones

Una aplicación importante de la ventana temporal es el pulso senoidal. Si una señal senoidal solo actúa durante un intervalo determinado, puede escribirse como una senoide multiplicada por una ventana temporal:

v(t) = Vm sen[ω(t − t1)] [u(t − t1) − u(t − t2)]

En esta expresión, Vm es la amplitud máxima, ω es la frecuencia angular y la diferencia de escalones limita la señal al intervalo t1 < t < t2. La forma sen[ω(t − t1)] hace que la senoide comience desde su fase inicial en t = t1. Si se escribe sen(ωt) en lugar de sen[ω(t − t1)], la señal no necesariamente inicia en cero cuando comienza el pulso.

Tabla 22. Elementos de un pulso senoidal limitado temporalmente

Elemento	Significado
Vm	Amplitud máxima de la senoide.
ω	Frecuencia angular de la señal.
t1	Instante de inicio del pulso.
t2	Instante de finalización del pulso.
u(t − t1) − u(t − t2)	Ventana temporal que activa y desactiva la senoide.
sen[ω(t − t1)]	Senoide medida desde el instante inicial del pulso.

La precisión en la fase es importante. Dos expresiones pueden parecer parecidas, pero representar señales distintas. La forma sen[ω(t − t1)] describe una senoide cuyo argumento se reinicia en el instante de activación. La forma sen(ωt) describe una senoide referida al origen global del tiempo. La elección correcta depende del fenómeno físico que se quiera modelar.

Figura 16. Pulso senoidal construido mediante una ventana de escalones.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una senoide activa solo entre t1 y t2. Debe indicarse que la ventana temporal es u(t − t1) − u(t − t2).

3.6. Suma de escalones complementarios

Dos escalones pueden ser complementarios cuando uno está activo exactamente donde el otro está inactivo. El ejemplo más básico es la relación entre u(t) y u(−t). Bajo la convención adoptada en este capítulo, la igualdad siguiente es válida para t distinto de cero:

u(t) + u(−t) = 1, para t ≠ 0

La restricción t ≠ 0 es indispensable porque en t = 0 ambas funciones tienen discontinuidad. Si se adopta la convención simétrica u(0) = 1/2, la igualdad también puede mantenerse en t = 0. Si se adopta otra convención, la igualdad puede fallar exactamente en el origen.

Tabla 23. Complementariedad entre u(t) y u(−t)

Intervalo de tiempo	u(t)	u(−t)	u(t) + u(−t)
Si t < 0	0	1	1
Si t > 0	1	0	1
Si t = 0	No definida	No definida	No definida

Esta relación muestra por qué no basta con escribir identidades entre escalones sin indicar la convención usada. En señales discontinuas, el comportamiento en los puntos de salto debe tratarse con cuidado. Un punto aislado puede parecer insignificante, pero es suficiente para hacer falsa una igualdad escrita sin condiciones.

Figura 17. Escalones complementarios u(t) y u(−t).
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar que u(t) está activa para t > 0 y u(−t) está activa para t < 0. Debe incluir la advertencia: la suma vale uno para t ≠ 0.

3.7. Complementariedad con desplazamiento temporal

La complementariedad también puede aplicarse a escalones desplazados. Para un instante t0, las funciones u(t − t0) y u(−t + t0) se complementan fuera del punto t = t0. La primera se activa después de t0; la segunda está activa antes de t0. Por tanto:

u(t − t0) + u(−t + t0) = 1, para t ≠ t0

Esta identidad es útil para describir señales que cambian de un estado a otro en un instante determinado. Una parte de la expresión representa el estado anterior y la otra representa el estado posterior. El punto de cambio debe tratarse de acuerdo con la convención declarada.

Tabla 24. Complementariedad entre escalones desplazados

Intervalo de tiempo	u(t − t0)	u(−t + t0)	Suma
Si t < t0	0	1	1
Si t > t0	1	0	1
Si t = t0	No definida	No definida	No definida

Este tipo de relación permite escribir señales por tramos de forma compacta. Por ejemplo, una señal que vale A antes de t0 y B después de t0 puede expresarse como:

x(t) = A u(−t + t0) + B u(t − t0)

Bajo esta forma, el primer término representa el valor anterior al cambio y el segundo término representa el valor posterior al cambio. La expresión es clara siempre que se indique qué ocurre exactamente en t = t0.

Figura 18. Cambio de nivel usando escalones complementarios desplazados.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una señal que vale A antes de t0 y B después de t0, construida como x(t) = A u(−t + t0) + B u(t − t0).

3.8. Señales por tramos construidas con escalones

Una señal por tramos puede construirse sumando cambios sucesivos. Si una señal cambia de valor en varios instantes, cada cambio puede representarse mediante un escalón desplazado. Esta técnica evita escribir una larga definición por intervalos y permite expresar la señal mediante una suma compacta.

Supóngase una señal que vale 0 antes de t1, luego vale A entre t1 y t2, luego vale B después de t2. Una forma eficiente de escribirla es:

x(t) = A u(t − t1) + (B − A)u(t − t2)

La interpretación es directa. En t1, la señal sube de 0 a A. En t2, la señal cambia de A a B. El segundo término no agrega B completo; agrega solamente el cambio necesario para pasar de A a B.

Tabla 25. Construcción de una señal por cambios sucesivos

Intervalo de tiempo	A u(t − t1)	(B − A)u(t − t2)	Valor total x(t)
Si t < t1	0	0	0
Si t1 < t < t2	A	0	A
Si t > t2	A	B − A	B

Esta técnica es poderosa porque permite describir señales escalonadas complejas mediante la suma de cambios. En lugar de escribir cada intervalo desde cero, se identifica cuánto cambia la señal en cada discontinuidad. Cada cambio se multiplica por un escalón activado en el instante correspondiente.

Figura 19. Señal por tramos construida mediante cambios sucesivos.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una señal que pasa de 0 a A en t1 y de A a B en t2. Debajo de la gráfica debe aparecer la expresión x(t) = A u(t − t1) + (B − A)u(t − t2).

3.9. Método general para escribir señales escalonadas

Para construir una señal escalonada mediante funciones u(t), conviene identificar los niveles de la señal y los instantes donde cambia. El primer nivel se representa directamente si la señal existe antes del primer cambio. Luego, cada salto se representa como la diferencia entre el nuevo valor y el valor anterior, multiplicada por un escalón desplazado.

Tabla 26. Procedimiento para representar una señal por escalones

Paso	Acción	Resultado
1	Identificar los instantes de cambio	t1, t2, t3, …
2	Determinar el valor de la señal en cada intervalo	Niveles A0, A1, A2, …
3	Calcular cada salto	A1 − A0, A2 − A1, A3 − A2, …
4	Asociar cada salto con un escalón	(A1 − A0)u(t − t1), etc.
5	Sumar el valor inicial y todos los cambios	Expresión completa de la señal

La forma general para una señal que comienza en A0 y cambia en t1, t2, t3, … puede escribirse como:

x(t) = A0 + (A1 − A0)u(t − t1) + (A2 − A1)u(t − t2) + (A3 − A2)u(t − t3) + …

Esta expresión muestra que una señal escalonada puede entenderse como una acumulación de cambios. Cada escalón agrega o resta exactamente la cantidad necesaria para alcanzar el nuevo nivel.

3.10. Errores frecuentes al construir pulsos y ventanas

Un error común consiste en escribir un pulso rectangular como si bastara un solo escalón. Un solo escalón activa una señal y la mantiene indefinidamente. Para obtener un pulso limitado, se necesitan dos escalones: uno para encender y otro para apagar. Por eso, la estructura correcta del pulso rectangular es una diferencia de escalones.

Otro error frecuente consiste en escribir una expresión como u(t1 − t2) para representar un pulso. Esa expresión no depende de t; por tanto, no describe una señal temporal. Una función temporal debe conservar la variable t en su argumento. En un pulso rectangular, los argumentos correctos son t − t1 y t − t2.

Tabla 27. Errores comunes y correcciones

Expresión problemática	Problema	Forma corregida
A u(t − t1) como pulso finito	La señal se activa en t1 pero no se apaga.	A[u(t − t1) − u(t − t2)]
A[u(t1 − t2)]	No depende de t; no representa una señal temporal.	A[u(t − t1) − u(t − t2)]
u(t) + u(−t) = 1 sin restricción	Falla o queda ambigua en t = 0 según la convención.	u(t) + u(−t) = 1 para t ≠ 0
sen(ωt)[u(t − t1) − u(t − t2)] sin aclarar fase	La senoide no necesariamente inicia con fase cero en t1.	sen[ω(t − t1)][u(t − t1) − u(t − t2)], si se desea reiniciar la fase en t1

Estas correcciones no son detalles de estilo. Cambian el significado matemático y físico de la señal. Una expresión sin la variable t no puede representar evolución temporal; una identidad sin restricción puede ser falsa en el punto de discontinuidad; y una senoide mal referida puede iniciar con una fase distinta de la que se pretende modelar.

3.11. Importancia de las combinaciones de escalones en circuitos

En análisis de circuitos, las combinaciones de escalones permiten representar fuentes que se conectan y desconectan en instantes específicos. Una fuente de voltaje puede estar apagada antes de t1, activa entre t1 y t2, y apagada después de t2. Una fuente de corriente puede cambiar de nivel varias veces durante un experimento. Una señal de control puede habilitar una rama del circuito solo durante cierto intervalo.

Estas representaciones serán necesarias al resolver circuitos transitorios con fuentes por tramos. En un circuito RC o RL, cada cambio de la fuente puede iniciar una nueva respuesta transitoria. Por eso, escribir correctamente los escalones no es una formalidad: es el punto de partida para plantear ecuaciones correctas y obtener respuestas físicamente interpretables.

Las sumas y diferencias de escalones permiten convertir una descripción verbal en una expresión matemática precisa. Esta precisión será indispensable en las partes siguientes, donde se analizarán fuentes escalón ideales, fuentes físicas aproximadas, interruptores y ejemplos de circuitos excitados por señales temporales.

3.12. Referencias de la Parte 3

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

MIT OpenCourseWare. (2011). Unit Step and Unit Impulse Response. Massachusetts Institute of Technology.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

Esta es la Parte 4 de 6. Reescribe la sección de la matriz, la codificación por cuadrantes y la tabla de 81 combinaciones, corrigiendo el problema principal del documento original: no debe presentarse como “todas las posibilidades del escalón unitario”, sino como un sistema didáctico de codificación de señales escalonadas de cuatro tramos. El documento original introduce la matriz, los códigos numéricos, la relación entre tramos y combinaciones, y el cálculo de 81 casos posibles bajo restricciones específicas.

Parte 4 de 6. Representación finita de señales escalonadas constantes por tramos

4.1. Sentido académico de la representación por tramos

Las funciones escalón permiten construir señales constantes por tramos. Una señal constante por tramos es aquella que conserva un valor fijo durante cierto intervalo de tiempo y cambia de valor solo en instantes determinados. Este tipo de señal aparece de manera natural en circuitos con interruptores, fuentes que se activan o desactivan, señales de control, pulsos rectangulares y modelos idealizados de conmutación.

La representación de señales escalonadas puede hacerse de tres maneras complementarias. La primera es la representación gráfica, que permite observar los niveles de la señal y los instantes de cambio. La segunda es la representación por tramos, que indica el valor de la señal en cada intervalo. La tercera es la representación mediante funciones escalón, que expresa cada cambio como una suma de saltos activados en instantes específicos.

La codificación que se presenta en esta sección no pretende sustituir la notación formal de la teoría de señales. Su función es didáctica y organizativa: permite clasificar de manera compacta una familia finita de señales escalonadas y facilita su posterior traducción a funciones por tramos o a combinaciones de escalones unitarios. Por tanto, su valor académico no está en ser una convención universal, sino en conectar de manera ordenada la gráfica, la tabla de valores y la expresión matemática.

4.2. Señales constantes por tramos

Una señal escalonada puede entenderse como una señal constante por tramos. Para describirla, se divide el eje temporal mediante instantes de cambio. Cada división produce un intervalo, y en cada intervalo la señal toma un valor constante.

Si los instantes de cambio son τ₁, τ₂, τ₃, …, el eje temporal queda dividido en intervalos sucesivos. En cada intervalo la señal toma un valor: a₀, a₁, a₂, a₃, etc. La señal completa puede describirse mediante una secuencia ordenada de esos valores.

Tabla 28. Elementos generales de una señal constante por tramos

Elemento	Significado	Ejemplo
Instantes de cambio	Puntos donde la señal cambia de valor	τ₁, τ₂, τ₃
Intervalos temporales	Regiones donde la señal conserva un valor constante	t < τ₁, τ₁ < t < τ₂
Estados de la señal	Valores constantes tomados por la señal	a₀, a₁, a₂
Saltos	Cambios entre un estado y el siguiente	a₁ − a₀, a₂ − a₁
Escalones asociados	Funciones que activan cada salto	u(t − τ₁), u(t − τ₂)

Esta forma de mirar las señales es más general que cualquier codificación particular. Los códigos son útiles, pero el fundamento matemático está en la división del tiempo, la asignación de estados y la reconstrucción mediante saltos.

Figura 20. Señal constante por tramos y sus instantes de cambio.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una señal que conserva valores constantes en varios intervalos y cambia únicamente en los instantes τ₁, τ₂ y τ₃.

4.3. Representación mediante vector de estados

Una vez dividido el eje temporal, la señal puede representarse mediante un vector de estados. Este vector contiene, en orden, los valores que toma la señal en cada intervalo. Por ejemplo, si una señal vale cero en el primer intervalo, cero en el segundo, uno en el tercero y uno en el cuarto, puede representarse como:

Vector de estados: (0, 0, +1, +1)

Esta representación es más clara que un código numérico aislado, porque muestra directamente el valor real de la señal en cada tramo. No depende de cuadrantes ni de reglas visuales particulares. Solo requiere conocer el orden de los intervalos.

Tabla 29. Representación de señales mediante vectores de estado

Señal descrita	Vector de estados	Interpretación
Señal nula en todos los tramos	(0, 0, 0, 0)	La señal nunca se activa.
Señal positiva después del origen	(0, 0, +1, +1)	La señal se activa positivamente después de t = 0.
Señal positiva antes del origen	(+1, +1, 0, 0)	La señal estaba activa antes del origen y luego se apaga.
Señal negativa después del origen	(0, 0, −1, −1)	La señal se activa negativamente después de t = 0.
Pulso positivo alrededor del origen	(0, +1, +1, 0)	La señal se activa antes de t = 0 y se apaga después.
Señal alternante	(+1, −1, +1, −1)	La señal cambia de signo en cada intervalo.

El vector de estados debe considerarse la representación académica principal de esta sección. La codificación con dígitos será una forma abreviada de ese vector, útil para construir tablas, matrices y catálogos visuales.

4.4. Partición temporal de cuatro tramos

Para construir una familia finita de señales escalonadas, se usará una partición temporal de cuatro tramos. Dos tramos estarán antes del origen y dos después del origen. Esta elección permite representar señales activas antes de t = 0, señales activas después de t = 0, pulsos alrededor del origen y cambios de signo.

Tabla 30. Partición temporal usada en la familia de cuatro tramos

Tramo	Intervalo de tiempo	Posición temporal	Valor asignado
Tramo 1	t < −t₀	Antes del origen	a₁
Tramo 2	−t₀ < t < 0	Antes del origen	a₂
Tramo 3	0 < t < t₀	Después del origen	a₃
Tramo 4	t > t₀	Después del origen	a₄

La señal queda descrita por el vector:

(a₁, a₂, a₃, a₄)

Cada componente del vector indica el valor de la señal en un tramo específico. Esta descripción es independiente del modo en que luego se decida codificarla. Por eso, el vector de estados es más universal que el código por dígitos.

Figura 21. División del eje temporal en cuatro tramos.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar los puntos −t₀, 0 y t₀, y los cuatro intervalos definidos por ellos.

4.5. Alfabeto de estados

Para obtener una familia finita de señales, se define un conjunto limitado de valores posibles. En esta sección se usará el alfabeto de estados:

{−1, 0, +1}

Este alfabeto permite clasificar señales negativas, nulas y positivas. No pretende cubrir todas las amplitudes posibles. Si una señal tiene valores como 5 V, −3 A o 12 unidades, esos valores deben escribirse explícitamente mediante amplitudes físicas. La familia {−1, 0, +1} sirve para estudiar estructura, signo y activación temporal, no magnitud física arbitraria.

Tabla 31. Alfabeto de estados para señales escalonadas normalizadas

Estado	Valor de la señal	Interpretación
−1	Negativo	La señal está activa con signo negativo.
0	Nulo	La señal no actúa en ese tramo.
+1	Positivo	La señal está activa con signo positivo.

Con cuatro tramos y tres posibles estados por tramo, el número total de señales de esta familia es:

Total de señales = 3⁴ = 81

Este resultado no significa que solo existan 81 señales escalonadas. Significa que, dentro de esta familia restringida de cuatro tramos y tres estados normalizados, existen 81 combinaciones posibles.

4.6. Vector de saltos y reconstrucción mediante escalones

El vector de estados describe los niveles de la señal. Para escribir la señal mediante funciones escalón, conviene pasar del vector de estados al vector de saltos. Un salto es la diferencia entre el nuevo valor y el valor anterior.

Si la señal cambia en τ₁, τ₂, τ₃, y sus estados son a₀, a₁, a₂, a₃, entonces los saltos son:

Primer salto: a₁ − a₀
Segundo salto: a₂ − a₁
Tercer salto: a₃ − a₂

La señal puede reconstruirse mediante la expresión:

x(t) = a₀ + (a₁ − a₀)u(t − τ₁) + (a₂ − a₁)u(t − τ₂) + (a₃ − a₂)u(t − τ₃)

Esta expresión resume la idea central: una señal constante por tramos puede escribirse como su valor inicial más la suma de los cambios que ocurren en cada instante de discontinuidad.

Tabla 32. Reconstrucción de una señal mediante saltos

Elemento	Función en la expresión
a₀	Valor inicial de la señal.
a₁ − a₀	Cambio aplicado en τ₁.
a₂ − a₁	Cambio aplicado en τ₂.
a₃ − a₂	Cambio aplicado en τ₃.
u(t − τₖ)	Escalón que activa el cambio en el instante τₖ.

Esta forma es académicamente más sólida que memorizar códigos, porque se aplica a cualquier señal constante por tramos. El código ayuda a clasificar; la fórmula de reconstrucción permite calcular, graficar y analizar.

4.7. Codificación didáctica de cuatro tramos

Después de establecer la representación mediante vectores de estado, se puede introducir una codificación compacta. En esta codificación, cada señal de cuatro tramos se identifica con cuatro símbolos. Cada símbolo indica el estado de la señal en el tramo correspondiente.

Para conservar la relación visual con los cuadrantes del plano, se usará una codificación posicional. Antes del origen, el valor positivo se marca con 2 y el valor negativo con 3. Después del origen, el valor positivo se marca con 1 y el valor negativo con 4. El valor cero se marca siempre con 0.

Tabla 33. Relación entre vector de estados y código didáctico

Tramo	Intervalo	Estado +1	Estado 0	Estado −1
Tramo 1	t < −t₀	2	0	3
Tramo 2	−t₀ < t < 0	2	0	3
Tramo 3	0 < t < t₀	1	0	4
Tramo 4	t > t₀	1	0	4

Esta codificación es didáctica, no universal. Su ventaja consiste en que conserva información visual sobre el signo y la posición temporal. Su límite consiste en que los dígitos no son valores matemáticos directos, sino etiquetas. Por eso, siempre debe acompañarse de una tabla de interpretación.

4.8. Conversión entre código didáctico y vector de estados

El código didáctico debe traducirse siempre a un vector de estados antes de hacer análisis matemático. Así se evita confundir una etiqueta con un valor de la señal.

Tabla 34. Ejemplos de conversión entre código y vector de estados

Código didáctico	Vector de estados	Descripción
0000	(0, 0, 0, 0)	Señal nula en todos los tramos.
0011	(0, 0, +1, +1)	Señal positiva después del origen.
2200	(+1, +1, 0, 0)	Señal positiva antes del origen.
0044	(0, 0, −1, −1)	Señal negativa después del origen.
3300	(−1, −1, 0, 0)	Señal negativa antes del origen.
0210	(0, +1, +1, 0)	Pulso positivo alrededor del origen.
0340	(0, −1, −1, 0)	Pulso negativo alrededor del origen.
2314	(+1, −1, +1, −1)	Señal alternante entre valores positivos y negativos.

Por ejemplo, el código 0210 no debe leerse como el número doscientos diez. Debe leerse como una señal que vale cero en el primer tramo, +1 en el segundo, +1 en el tercero y cero en el cuarto. Por eso representa un pulso positivo centrado alrededor del origen.

4.9. Matriz de 81 señales normalizadas

Como hay cuatro tramos y tres estados posibles por tramo, se obtienen 81 señales normalizadas. La matriz siguiente organiza esas combinaciones mediante el código didáctico. Las filas representan los dos primeros tramos y las columnas representan los dos últimos.

Tabla 35. Matriz de 81 códigos para señales escalonadas normalizadas de cuatro tramos

Primeros 2 dígitos	00	01	04	10	11	14	40	41	44
00	0000	0001	0004	0010	0011	0014	0040	0041	0044
02	0200	0201	0204	0210	0211	0214	0240	0241	0244
03	0300	0301	0304	0310	0311	0314	0340	0341	0344
20	2000	2001	2004	2010	2011	2014	2040	2041	2044
22	2200	2201	2204	2210	2211	2214	2240	2241	2244
23	2300	2301	2304	2310	2311	2314	2340	2341	2344
30	3000	3001	3004	3010	3011	3014	3040	3041	3044
32	3200	3201	3204	3210	3211	3214	3240	3241	3244
33	3300	3301	3304	3310	3311	3314	3340	3341	3344

Nota. Esta matriz es completa únicamente dentro de la familia definida: cuatro tramos temporales y tres estados normalizados por tramo. No representa todas las señales escalonadas posibles.

Figura 22. Matriz visual de señales escalonadas normalizadas de cuatro tramos.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una selección representativa de señales de la Tabla 35, agrupadas por comportamiento: señales nulas, señales positivas, señales negativas, pulsos y señales alternantes.

4.10. Traducción de códigos a funciones escalón

Después de convertir el código en vector de estados, se puede escribir la expresión con escalones. Para la partición usada en esta sección, los instantes de cambio son −t₀, 0 y t₀. Por tanto, una señal con estados (a₁, a₂, a₃, a₄) puede escribirse como:

x(t) = a₁ + (a₂ − a₁)u(t + t₀) + (a₃ − a₂)u(t) + (a₄ − a₃)u(t − t₀)

Esta fórmula es la pieza central de la sección. Permite reconstruir cualquier señal de la matriz a partir de sus cuatro estados.

Tabla 36. Conversión de códigos frecuentes a funciones escalón

Código	Vector de estados	Expresión con escalones
0000	(0, 0, 0, 0)	x(t) = 0
0011	(0, 0, +1, +1)	x(t) = u(t)
2200	(+1, +1, 0, 0)	x(t) = u(−t)
0044	(0, 0, −1, −1)	x(t) = −u(t)
3300	(−1, −1, 0, 0)	x(t) = −u(−t)
0210	(0, +1, +1, 0)	x(t) = u(t + t₀) − u(t − t₀)
0340	(0, −1, −1, 0)	x(t) = −u(t + t₀) + u(t − t₀)
2314	(+1, −1, +1, −1)	x(t) = 1 − 2u(t + t₀) + 2u(t) − 2u(t − t₀)

Las expresiones son válidas fuera de los puntos de discontinuidad. En los puntos exactos −t₀, 0 y t₀ debe aplicarse la convención adoptada para u(0). En este capítulo, esos puntos se consideran no definidos salvo que se indique otra convención.

4.11. Valor académico de la matriz

La matriz tiene valor académico si se presenta como una aplicación finita de un principio general: toda señal constante por tramos puede describirse mediante estados y reconstruirse mediante escalones. Su utilidad no está en reemplazar la teoría de señales, sino en facilitar el paso entre gráfica, tabla y fórmula.

La matriz también ayuda a comparar familias de señales. Por ejemplo, 0011 y 0044 tienen la misma estructura temporal, pero signos opuestos. Los códigos 0210 y 0340 representan pulsos con la misma duración, pero polaridad contraria. Los códigos 2200 y 3300 representan señales activas antes del origen, una positiva y otra negativa.

Tabla 37. Comparación de códigos con estructura semejante

Par de códigos	Semejanza	Diferencia principal
0011 y 0044	Ambos se activan después del origen.	0011 es positivo; 0044 es negativo.
2200 y 3300	Ambos están activos antes del origen.	2200 es positivo; 3300 es negativo.
0210 y 0340	Ambos forman pulsos alrededor del origen.	0210 es positivo; 0340 es negativo.
0000 y 0011	Ambos son cero antes del origen.	0011 se activa después del origen; 0000 permanece nulo.
2314 y 2341	Ambos alternan valores positivos y negativos.	Cambia el signo en los dos últimos tramos.

Esta comparación fortalece la lectura estructural de las señales. El estudiante aprende a reconocer activación, desactivación, inversión de signo y permanencia en cero antes de manipular fórmulas.

4.12. Alcances y límites de la codificación

La codificación propuesta tiene límites claros. No describe señales continuas, rampas, exponenciales, senoidales ni impulsos. Tampoco describe amplitudes arbitrarias. Solo clasifica señales escalonadas normalizadas de cuatro tramos con estados −1, 0 y +1.

Si se agregan más tramos, el número de combinaciones crece. Con n tramos y tres estados por tramo, el número total de señales normalizadas sería 3ⁿ. Si se permite un conjunto de m estados, el total sería mⁿ. Este crecimiento muestra que la matriz de 81 casos no es una frontera teórica, sino un ejemplo finito y manejable.

Tampoco debe afirmarse que estos códigos sean señales digitales en sentido estricto. Una señal digital exige un contexto de niveles lógicos, umbrales, codificación binaria y reglas de comunicación. Aquí los códigos son etiquetas didácticas para representar estados de señales escalonadas.

4.13. Aplicación en circuitos eléctricos

En circuitos eléctricos, esta representación puede ayudar a clasificar fuentes que se encienden, se apagan o cambian de polaridad en distintos intervalos. Una fuente de voltaje puede tener valor cero antes de una conmutación, valor positivo durante cierto intervalo y valor cero después. Una fuente de corriente puede cambiar de signo si se invierte el sentido de referencia. Un interruptor puede representarse mediante estados que indiquen conducción o no conducción.

La matriz no resuelve el circuito por sí sola. Su función es previa: ayuda a identificar el comportamiento temporal de las excitaciones. Después, cada señal debe escribirse como función por tramos o como combinación de escalones para poder aplicar las leyes de Kirchhoff, las ecuaciones diferenciales o la transformada de Laplace.

Figura 23. Flujo de trabajo para usar la codificación en circuitos.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar la secuencia: gráfica de la señal, vector de estados, código didáctico, expresión con escalones y análisis del circuito.

4.14. Recomendaciones para dibujar la matriz

La matriz visual debe redibujarse desde cero en formato vectorial. Cada señal debe tener la misma escala temporal y vertical. Los niveles −1, 0 y +1 deben aparecer claramente marcados. Los puntos de discontinuidad deben representarse con círculos abiertos cuando el valor no esté definido.

No conviene poner 81 señales pequeñas en una sola imagen si se pierde legibilidad. Para publicación web, es preferible mostrar una matriz compacta de códigos y, aparte, varias figuras con familias representativas: señales positivas, señales negativas, pulsos, señales nulas y señales alternantes.

Figura 24. Organización recomendada de la matriz por familias de señales.
Nota. Elaboración propia. La figura debe agrupar señales según su comportamiento temporal: activación positiva, activación negativa, apagado, pulso positivo, pulso negativo y alternancia de signo.

4.15. Conclusión de la Parte 4

La representación por estados convierte las señales escalonadas en objetos fáciles de clasificar y comparar. El vector de estados ofrece una descripción directa de la señal en cada tramo. El vector de saltos permite reconstruirla mediante funciones escalón. La codificación didáctica resume esa información en una etiqueta breve.

El valor académico de esta sección depende de mantener claro el orden conceptual: primero está la teoría de señales constantes por tramos; después aparece la codificación como recurso pedagógico. Así, la matriz de 81 combinaciones no se presenta como una convención universal, sino como una aplicación finita, verificable y útil para enseñar a pasar de la gráfica a la fórmula.

4.16. Referencias de la Parte 4

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

MIT OpenCourseWare. (2011). Unit Step and Unit Impulse Response. Massachusetts Institute of Technology.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

Parte 5 de 6. Fuentes escalón ideales, fuentes reales y equivalencias físicas

5.1. Funciones de excitación en circuitos eléctricos

En análisis de circuitos, una función de excitación es una señal externa que actúa sobre una red eléctrica. Puede tratarse de una fuente de voltaje, una fuente de corriente o una señal de control que modifica el estado de un elemento del circuito. Cuando esa excitación aparece súbitamente en un instante determinado, puede representarse mediante una función escalón unitario.

Una fuente escalón no significa que la fuente física cambie de valor en tiempo exactamente cero. Significa que el tiempo de transición se considera despreciable frente al tiempo característico del circuito. Esta idealización permite estudiar con claridad la respuesta de resistencias, capacitores e inductores después de una conmutación.

En el análisis de circuitos transitorios, esta simplificación es fundamental. El escalón permite separar dos momentos: el estado anterior a la conmutación y el estado posterior a ella. Esa separación será decisiva para aplicar leyes de Kirchhoff, condiciones iniciales y ecuaciones diferenciales en circuitos RC, RL y RLC.

5.2. Fuente ideal de voltaje escalón

Una fuente ideal de voltaje escalón impone un voltaje determinado entre sus terminales después de un instante de activación. Si la fuente se activa en t = t0 y alcanza el valor Vs, puede representarse como:

v(t) = Vs u(t − t0)

Esta expresión indica que el voltaje vale cero antes de t0 y vale Vs después de t0. En el instante exacto t = t0 se mantiene la convención adoptada en este capítulo: el valor no se define, salvo que se indique expresamente otra convención.

Tabla 38. Fuente ideal de voltaje escalón activada en t = t0

Intervalo de tiempo	Valor de u(t − t0)	Voltaje v(t) = Vs u(t − t0)	Interpretación
Si t < t0	0	0	La fuente aún no aplica voltaje.
Si t = t0	No definido	No definido bajo esta convención	Instante ideal de conmutación.
Si t > t0	1	Vs	La fuente impone el voltaje Vs.

En una fuente ideal de voltaje, el voltaje está fijado por la fuente, pero la corriente no la determina la fuente por sí sola. La corriente depende de la red conectada a sus terminales. Esta distinción es esencial: una fuente ideal de voltaje impone voltaje; la corriente resultante la fija el circuito externo mediante sus elementos y conexiones.

Figura 25. Fuente ideal de voltaje escalón aplicada a una red general.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una fuente ideal de voltaje con valor v(t) = Vs u(t − t0) conectada a una red general. Debe indicarse que el voltaje es impuesto por la fuente y que la corriente depende de la red conectada.

5.3. Fuente real de voltaje escalón

Una fuente real de voltaje escalón puede aproximarse mediante una batería, una resistencia interna pequeña y un interruptor. Antes de cerrar el interruptor, la red no recibe la fuente. Después de cerrarlo, la red queda alimentada por la batería. Esta representación física se aproxima al comportamiento de una fuente escalón, pero no es idéntica a una fuente ideal.

La diferencia principal está en el instante de conmutación. En un circuito real, el interruptor no cambia de estado instantáneamente. Además, existen resistencia de contacto, capacitancias parásitas, inductancias de conexión, rebote mecánico y posibles fenómenos de arco eléctrico. Por tanto, la transición real tiene duración finita y puede producir efectos que el modelo ideal no incluye.

Tabla 39. Comparación entre fuente ideal y fuente real de voltaje escalón

Aspecto	Fuente ideal de voltaje escalón	Fuente real de voltaje escalón
Tiempo de conmutación	Cero en el modelo ideal	Finito, aunque puede ser muy pequeño.
Resistencia interna	Nula en el modelo ideal	Pequeña, pero distinta de cero.
Corriente máxima	No limitada por la fuente ideal	Limitada por resistencia interna, protección y capacidad física.
Contactos	No existen en el modelo matemático	Pueden presentar rebote, resistencia y arco.
Validez	Modelo matemático simplificado	Aproximación física dependiente del dispositivo.

El modelo real debe interpretarse como una aproximación útil, no como una equivalencia absoluta. En circuitos de baja frecuencia o cuando las constantes de tiempo son grandes, la diferencia entre una conmutación real muy rápida y un escalón ideal puede ser despreciable. En circuitos rápidos, de potencia o de alta frecuencia, esa diferencia puede ser importante.

Figura 26. Aproximación física de una fuente de voltaje escalón mediante batería e interruptor.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una batería conectada a una red mediante un interruptor que se cierra en t = t0. La señal asociada debe ser v(t) = Vs u(t − t0), aclarando que se trata de un modelo aproximado.

5.4. Primer equivalente aproximado de una fuente real de voltaje

Un primer modelo aproximado de una fuente real de voltaje escalón consiste en representar la aplicación de la fuente mediante un interruptor en serie. Cuando el interruptor está abierto, la red no queda conectada a la batería. Cuando el interruptor se cierra, la red recibe el voltaje de la fuente.

Este modelo es razonable para estudiar el comportamiento posterior a la conmutación, es decir, para t > t0. Sin embargo, no necesariamente describe de forma completa el estado del circuito antes de t0. Antes del cierre, el voltaje entre los terminales donde se conectará la fuente puede estar determinado por otros elementos de la red, por cargas almacenadas o por fuentes internas ya presentes en el circuito.

Tabla 40. Alcance del primer equivalente aproximado de voltaje

Región temporal	Validez del modelo	Razón
t < t0	Limitada	El voltaje entre terminales puede depender de la red previa y no necesariamente ser cero.
t = t0	Idealizada	El cambio se representa como instantáneo, aunque físicamente ocurre en tiempo finito.
t > t0	Buena aproximación en muchos casos	La fuente queda aplicada a la red y puede modelarse como Vs, si las no idealidades son despreciables.

El punto delicado es el estado anterior a la conexión. Si la red contiene capacitores cargados, inductores con corriente inicial o fuentes independientes, el voltaje en los terminales de conexión puede no ser cero. Por eso, el equivalente debe usarse con cuidado cuando se desconoce el estado previo de la red.

Figura 27. Primer equivalente aproximado de una fuente real de voltaje escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una batería, un interruptor en serie y una red general. Debe aclararse que el modelo es especialmente útil para t > t0, pero puede no representar completamente el voltaje previo en los terminales.

5.5. Segundo equivalente aproximado de una fuente real de voltaje

Un segundo modelo puede intentar forzar que el voltaje aplicado a la red sea cero antes de t0 y Vs después de t0. Para lograrlo, se pueden usar interruptores ideales que reconfiguran la conexión en el instante de conmutación. Este modelo permite obtener una forma matemática limpia, pero puede introducir condiciones no físicas en el instante exacto del cambio.

El error conceptual que debe evitarse es afirmar que, si una fuente ideal de voltaje queda momentáneamente en corto, entonces su voltaje se vuelve cero. Eso no es correcto. Una fuente ideal de voltaje no nula conectada directamente a un cortocircuito ideal produciría una corriente idealmente no acotada. El problema no es que Vs se anule; el problema es que el modelo ideal lleva a una condición físicamente imposible.

Tabla 41. Interpretación correcta de una fuente ideal de voltaje asociada a un corto ideal

Afirmación	Veredicto	Corrección conceptual
“La fuente está en corto; por tanto, Vs = 0.”	Incorrecta	Una fuente ideal mantiene su voltaje impuesto.
“El corto obliga a una corriente muy grande.”	Correcta en el modelo ideal	En el límite ideal, la corriente puede ser no acotada.
“El modelo deja de ser físicamente válido en ese instante.”	Correcta	Las no idealidades reales limitan corriente y velocidad de conmutación.
“El equivalente debe usarse fuera del instante exacto de conmutación.”	Correcta	El modelo es útil para t < t0 y t > t0, con cuidado en t = t0.

Este matiz es esencial en un texto académico. Los modelos ideales son herramientas, no descripciones literales de la realidad. Cuando una combinación de elementos ideales produce una contradicción física, no se debe forzar una conclusión falsa; se debe reconocer el límite del modelo.

Figura 28. Segundo equivalente aproximado de una fuente real de voltaje escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar el arreglo de interruptores que fuerza v(t) = 0 antes de t0 y v(t) = Vs después de t0. Debe incluir una advertencia: en el instante exacto de conmutación, el modelo ideal puede producir una condición no física.

5.6. Fuente ideal de corriente escalón

Una fuente ideal de corriente escalón impone una corriente determinada después de un instante de activación. Si la fuente se activa en t = t0 y alcanza el valor Is, se representa como:

i(t) = Is u(t − t0)

Esta expresión indica que la corriente vale cero antes de t0 y vale Is después de t0. En el punto t = t0, el valor queda no definido bajo la convención adoptada, salvo que se declare otra elección.

Tabla 42. Fuente ideal de corriente escalón activada en t = t0

Intervalo de tiempo	Valor de u(t − t0)	Corriente i(t) = Is u(t − t0)	Interpretación
Si t < t0	0	0	La fuente aún no inyecta corriente.
Si t = t0	No definido	No definido bajo esta convención	Instante ideal de conmutación.
Si t > t0	1	Is	La fuente impone la corriente Is.

En una fuente ideal de corriente, la corriente está fijada por la fuente, pero el voltaje en sus terminales depende de la red conectada. Esta relación es dual de la fuente ideal de voltaje: la fuente de voltaje impone voltaje y deja que la red determine corriente; la fuente de corriente impone corriente y deja que la red determine voltaje.

Figura 29. Fuente ideal de corriente escalón aplicada a una red general.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una fuente ideal de corriente con valor i(t) = Is u(t − t0) conectada a una red general. Debe indicarse que la corriente es impuesta por la fuente y que el voltaje depende de la red conectada.

5.7. Fuente real de corriente escalón

Una fuente real de corriente escalón puede aproximarse mediante una fuente de corriente controlada o mediante una fuente práctica acompañada de interruptores. Antes de la activación, la corriente entregada a la red es cero. Después de la activación, la fuente intenta imponer la corriente Is.

Como en el caso de la fuente de voltaje, la equivalencia física no es perfecta. Una fuente real de corriente tiene límites de voltaje, resistencia interna finita, velocidad de respuesta limitada y restricciones de potencia. Si la red exige un voltaje demasiado alto para sostener la corriente, la fuente real puede saturarse y dejar de comportarse como fuente ideal.

Tabla 43. Comparación entre fuente ideal y fuente real de corriente escalón

Aspecto	Fuente ideal de corriente escalón	Fuente real de corriente escalón
Corriente impuesta	Exactamente Is en el modelo ideal	Aproximadamente Is dentro de sus límites físicos.
Voltaje en terminales	Determinado por la red, sin límite ideal	Limitado por la capacidad de la fuente.
Resistencia interna	Infinita en el modelo ideal	Grande, pero finita.
Potencia disponible	No limitada en el modelo ideal	Limitada por el dispositivo real.
Tiempo de respuesta	Instantáneo en el modelo ideal	Finito.

El modelo ideal de corriente escalón es valioso porque simplifica el análisis. Sin embargo, debe recordarse que ninguna fuente real puede imponer una corriente arbitraria bajo cualquier voltaje. Esa limitación será importante cuando se analicen circuitos con resistencias grandes, ramas abiertas o condiciones transitorias exigentes.

Figura 30. Aproximación física de una fuente de corriente escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una fuente de corriente conectada a una red mediante un interruptor o arreglo equivalente. Debe aclararse que la fuente real solo aproxima el comportamiento ideal dentro de sus límites de operación.

5.8. Equivalente aproximado de una fuente real de corriente

Un modelo práctico para una fuente de corriente escalón puede incluir un interruptor en derivación. Antes de t0, el interruptor puede desviar la corriente y evitar que entre a la red. Después de t0, el interruptor cambia de estado y la corriente se aplica a la carga o red general.

Este modelo debe interpretarse con cuidado. Si antes de la conmutación la fuente queda derivada por un corto ideal, se fuerza un voltaje nulo en esa rama. En una fuente real, la corriente de cortocircuito y la potencia asociada tienen límites físicos. En una fuente ideal, en cambio, la situación puede ser matemáticamente admisible, pero no representa por completo las restricciones del dispositivo real.

Tabla 44. Alcance del equivalente aproximado de corriente

Región temporal	Validez del modelo	Observación
t < t0	Aproximada	El interruptor puede desviar corriente, pero el comportamiento real depende de la fuente y de sus límites.
t = t0	Idealizada	El cambio instantáneo puede producir condiciones no físicas si todos los elementos son ideales.
t > t0	Útil para análisis	La red recibe la corriente Is si la fuente puede sostener el voltaje requerido.

Una fuente de corriente real no puede elevar indefinidamente su voltaje para mantener Is. Si la red se abre o presenta impedancia muy alta, la fuente alcanza su límite de cumplimiento. Por eso, en aplicaciones físicas, el modelo de corriente ideal debe acompañarse de una advertencia sobre sus límites.

Figura 31. Equivalente aproximado de una fuente real de corriente escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar una fuente de corriente, un interruptor de derivación y una red general. Debe indicarse que el modelo representa una aproximación y que su validez depende de los límites reales de la fuente.

5.9. Dualidad entre fuentes de voltaje y fuentes de corriente

Las fuentes ideales de voltaje y corriente tienen una relación dual. La fuente de voltaje impone una diferencia de potencial y permite que la corriente sea determinada por la red. La fuente de corriente impone una corriente y permite que el voltaje sea determinado por la red. Esta dualidad también aparece cuando se modelan fuentes escalón.

Tabla 45. Dualidad entre fuente de voltaje escalón y fuente de corriente escalón

Aspecto	Fuente de voltaje escalón	Fuente de corriente escalón
Variable impuesta	Voltaje	Corriente
Expresión típica	v(t) = Vs u(t − t0)	i(t) = Is u(t − t0)
Variable determinada por la red	Corriente	Voltaje
Modelo ideal interno	Resistencia interna nula	Resistencia interna infinita
Limitación física real	Corriente máxima, resistencia interna, potencia	Voltaje máximo, resistencia interna, potencia
Uso típico	Aplicación súbita de una tensión	Inyección súbita de una corriente

Esta comparación evita una confusión frecuente: una fuente ideal no controla todas las variables de sus terminales. Controla solo la variable que define su naturaleza. La otra variable aparece como consecuencia de la interacción con el circuito externo.

Figura 32. Comparación entre fuente de voltaje escalón y fuente de corriente escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe presentar dos diagramas paralelos: una fuente de voltaje escalón aplicada a una red y una fuente de corriente escalón aplicada a una red. Debe resaltarse qué variable impone cada fuente.

5.10. Equivalencia física y equivalencia matemática

Una equivalencia matemática puede ser válida aunque la equivalencia física sea limitada. Por ejemplo, la expresión v(t) = Vs u(t − t0) describe perfectamente una señal por tramos dentro del modelo matemático. Sin embargo, construir físicamente una señal que cambie de cero a Vs en tiempo exactamente nulo es imposible.

La equivalencia física exige considerar el dispositivo real que produce la señal. En una fuente real aparecen resistencia interna, inductancia de conductores, capacitancias parásitas, rebote de contactos, límites de corriente, límites de voltaje y tiempos finitos de respuesta. Estos efectos pueden ignorarse solo si son despreciables frente al fenómeno que se estudia.

Tabla 46. Diferencia entre equivalencia matemática y equivalencia física

Tipo de equivalencia	Pregunta que responde	Ejemplo
Equivalencia matemática	¿La expresión representa la misma función ideal?	v(t) = Vs u(t − t0) representa un voltaje escalón ideal.
Equivalencia física aproximada	¿El circuito real se comporta casi igual bajo ciertas condiciones?	Una batería con interruptor puede aproximar una fuente escalón.
Equivalencia física exacta	¿El dispositivo real reproduce exactamente el modelo ideal?	No existe para una conmutación instantánea ideal.

La conclusión es directa: los modelos escalón son indispensables, pero deben usarse con conciencia de sus límites. Un buen análisis no consiste en negar la idealización, sino en saber cuándo la idealización es suficientemente buena y cuándo deja de serlo.

5.11. Criterios para decidir si el modelo escalón es adecuado

El modelo de fuente escalón es adecuado cuando el tiempo de conmutación es mucho menor que las constantes de tiempo relevantes del circuito. Si un circuito tiene una constante de tiempo del orden de milisegundos y el interruptor conmuta en nanosegundos o microsegundos, el escalón puede ser una aproximación excelente. Si ambos tiempos son comparables, el modelo puede producir errores importantes.

También debe evaluarse la energía involucrada. En circuitos de potencia, una conmutación rápida puede producir sobretensiones, sobrecorrientes, arcos o pérdidas significativas. En circuitos de alta frecuencia, los elementos parásitos pueden modificar la respuesta. En esos casos, el modelo escalón ideal debe complementarse con modelos más realistas.

Tabla 47. Condiciones de uso del modelo escalón

Condición	Uso del modelo escalón
Tiempo de conmutación mucho menor que la constante de tiempo del circuito	Modelo generalmente adecuado.
Tiempo de conmutación comparable con la dinámica del circuito	Modelo insuficiente; conviene representar la transición.
Circuito de baja potencia y baja frecuencia	Usualmente puede funcionar bien como primera aproximación.
Circuito de potencia, alta frecuencia o conmutación rápida	Requiere considerar no idealidades.
Presencia de capacitores cargados o inductores con corriente inicial	Deben incluirse condiciones iniciales.
Rebote de contactos o arco eléctrico relevante	El escalón ideal puede ocultar fenómenos importantes.

Este criterio evita aplicar el modelo de manera automática. El escalón unitario es una herramienta potente, pero no una licencia para ignorar la física del circuito.

5.12. Recomendaciones para dibujar las fuentes escalón con rigor

Las figuras de fuentes escalón deben dibujarse con claridad eléctrica y matemática. Cada fuente debe incluir polaridad o dirección de corriente, terminales de conexión, red general, instante de conmutación y expresión temporal asociada. Además, debe indicarse si la figura representa una fuente ideal o una aproximación física.

Tabla 48. Requisitos mínimos para figuras de fuentes escalón

Elemento	Requisito gráfico
Fuente de voltaje	Mostrar polaridad, valor Vs y expresión v(t).
Fuente de corriente	Mostrar dirección de corriente, valor Is y expresión i(t).
Interruptor	Indicar si está abierto o cerrado antes y después de t0.
Red general	Representarla como bloque o circuito equivalente claramente rotulado.
Señal temporal	Incluir la gráfica del escalón asociada a la fuente.
Convención en t0	Marcar el punto de discontinuidad como no definido, si se mantiene la convención del capítulo.
Nota de validez	Aclarar si el modelo es ideal o físico aproximado.

Las figuras deben hacerse en formato vectorial, preferiblemente con CircuiTikZ para los circuitos y PGFPlots o TikZ para las señales temporales. Esta combinación permite mantener consistencia tipográfica, escalas controladas y símbolos eléctricos normalizados.

Figura 33. Plantilla recomendada para representar fuentes escalón en circuitos.
Nota. Elaboración propia. La plantilla debe integrar tres elementos: circuito, señal temporal y nota de validez del modelo. Debe usarse el mismo estilo gráfico en todas las fuentes del capítulo.

5.13. Síntesis conceptual de la Parte 5

Una fuente escalón ideal es una representación matemática de una excitación aplicada súbitamente. Una fuente real de voltaje o corriente puede aproximar ese comportamiento, pero nunca reproducirlo de forma exacta. La diferencia entre idealización y realidad debe mantenerse visible en el texto y en las figuras.

El análisis correcto exige distinguir qué variable impone la fuente. Una fuente ideal de voltaje impone voltaje; la corriente depende de la red. Una fuente ideal de corriente impone corriente; el voltaje depende de la red. Confundir esta relación lleva a errores conceptuales, especialmente cuando aparecen cortocircuitos, circuitos abiertos o condiciones extremas de conmutación.

Los equivalentes físicos deben presentarse como aproximaciones válidas bajo ciertas condiciones. El escalón unitario es poderoso porque simplifica el análisis, pero su uso riguroso requiere declarar la convención en la discontinuidad, reconocer los límites físicos de la conmutación y evitar conclusiones imposibles derivadas de modelos ideales llevados más allá de su dominio de validez.

5.14. Referencias de la Parte 5

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

Hayt, W. H., Kemmerly, J. E., & Durbin, S. M. (2019). Engineering circuit analysis (9th ed.). McGraw Hill.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

La función escalón unitario

Parte 6 de 6. Conmutación, función resistencia escalón y ejemplos de aplicación

6.1. El interruptor como resistencia variable en el tiempo

Un interruptor puede modelarse como una resistencia que cambia de valor con el tiempo. Cuando el interruptor está abierto, su resistencia ideal es infinita y no permite el paso de corriente. Cuando está cerrado, su resistencia ideal es cero y permite la conducción sin caída de voltaje. Esta descripción convierte al interruptor en un elemento dependiente del tiempo.

En un modelo ideal, el cambio entre resistencia infinita y resistencia nula ocurre de manera instantánea. En un dispositivo real, el cambio requiere un tiempo finito y puede estar acompañado de rebote de contactos, arco eléctrico, resistencia residual, capacitancia parásita e inductancia asociada a los conductores. Por eso, el interruptor ideal debe entenderse como una aproximación útil, no como una descripción exacta del dispositivo físico.

La función escalón permite representar matemáticamente ese cambio de estado. En lugar de dibujar el movimiento mecánico del interruptor, se describe el instante en que la resistencia pasa de un valor alto a un valor bajo, o de un valor bajo a uno alto. Esta forma de modelar es especialmente útil en circuitos transitorios, donde la conmutación inicia una nueva etapa de respuesta.

6.2. Interruptor normalmente abierto

Un interruptor normalmente abierto, abreviado N.A., se encuentra abierto antes de ser accionado. En su estado inicial no conduce corriente. Al cerrarse, permite el paso de corriente y se aproxima a una resistencia muy pequeña.

En un modelo ideal, el interruptor normalmente abierto puede representarse como una resistencia que pasa de infinito a cero en el instante de conmutación. Para evitar una expresión físicamente absurda con infinito multiplicando directamente una función escalón, es mejor usar dos valores finitos: R_off para el estado abierto y R_on para el estado cerrado.

Tabla 49. Modelo resistivo de un interruptor normalmente abierto

Intervalo de tiempo	Estado del interruptor	Resistencia ideal	Resistencia real aproximada
Antes de t0	Abierto	Infinita	R_off muy grande
En t0	Conmutación	No idealizable exactamente	Transición finita
Después de t0	Cerrado	0 ohmios	R_on muy pequeña

Una expresión práctica para el modelo resistivo aproximado es:

R(t) = R_off[1 − u(t − t0)] + R_on u(t − t0)

Antes de t0, el escalón vale cero y la resistencia queda aproximadamente igual a R_off. Después de t0, el escalón vale uno y la resistencia queda aproximadamente igual a R_on. En el modelo ideal, se toma el límite R_off → infinito y R_on → 0.

Figura 34. Modelo resistivo de un interruptor normalmente abierto.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar el símbolo de un interruptor N.A., su estado antes y después de t0, y la gráfica de R(t) pasando de R_off a R_on.

6.3. Interruptor normalmente cerrado

Un interruptor normalmente cerrado, abreviado N.C., se encuentra cerrado antes de ser accionado. En su estado inicial conduce corriente. Al abrirse, interrumpe la conducción y su resistencia aumenta hasta un valor muy grande.

El modelo resistivo aproximado de un interruptor normalmente cerrado invierte el comportamiento del interruptor normalmente abierto. Antes de t0, su resistencia es R_on. Después de t0, su resistencia es R_off.

Tabla 50. Modelo resistivo de un interruptor normalmente cerrado

Intervalo de tiempo	Estado del interruptor	Resistencia ideal	Resistencia real aproximada
Antes de t0	Cerrado	0 ohmios	R_on muy pequeña
En t0	Conmutación	No idealizable exactamente	Transición finita
Después de t0	Abierto	Infinita	R_off muy grande

Una expresión práctica para el modelo resistivo aproximado es:

R(t) = R_on[1 − u(t − t0)] + R_off u(t − t0)

Antes de t0, el interruptor se comporta como una resistencia muy pequeña. Después de t0, se comporta como una resistencia muy grande. Esta forma evita tratar el infinito como si fuera una cantidad ordinaria y permite conservar el sentido físico del modelo.

Figura 35. Modelo resistivo de un interruptor normalmente cerrado.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar el símbolo de un interruptor N.C., su estado antes y después de t0, y la gráfica de R(t) pasando de R_on a R_off.

6.4. Problemas físicos asociados a la conmutación

La conmutación real nunca es perfectamente instantánea. Aunque el escalón unitario representa un cambio abrupto ideal, todo dispositivo físico necesita un intervalo de transición. En algunos circuitos este intervalo es despreciable; en otros, determina fenómenos importantes que no pueden ignorarse.

Los problemas de conmutación aparecen con especial fuerza en circuitos de potencia, circuitos rápidos, sistemas de alta frecuencia y redes con elementos almacenadores de energía. Un capacitor puede oponerse a cambios instantáneos de voltaje; un inductor puede oponerse a cambios instantáneos de corriente. Por esa razón, el instante de conmutación debe tratarse con cuidado.

Tabla 51. Fenómenos físicos presentes en interruptores reales

Fenómeno	Descripción	Consecuencia en el análisis
Resistencia de contacto	El contacto cerrado no tiene resistencia exactamente cero.	Produce caída de voltaje y disipación de potencia.
Rebote de contactos	El contacto mecánico puede abrirse y cerrarse varias veces antes de estabilizarse.	Genera múltiples conmutaciones rápidas.
Arco eléctrico	Puede aparecer descarga entre contactos durante apertura o cierre.	Aumenta desgaste, ruido eléctrico y riesgo de daño.
Capacitancia parásita	Los contactos abiertos pueden comportarse como pequeñas placas capacitivas.	Permite corrientes transitorias aun con el interruptor abierto.
Inductancia parásita	Conductores y trayectorias de corriente tienen inductancia.	Puede producir sobretensiones durante cambios rápidos de corriente.
Tiempo finito de transición	El cambio no ocurre en tiempo cero.	El escalón ideal puede ser insuficiente en circuitos rápidos.

La utilidad del escalón no desaparece por estas limitaciones. Al contrario, el escalón funciona como primer modelo de análisis. Luego, si el circuito lo exige, se agregan no idealidades para obtener una descripción más realista.

6.5. Cuándo es aceptable el modelo de conmutación ideal

El modelo de conmutación ideal es aceptable cuando el tiempo real de transición es mucho menor que el tiempo característico del circuito. En circuitos RC y RL, ese tiempo característico está relacionado con la constante de tiempo. Si la conmutación ocurre mucho más rápido que la respuesta del circuito, el escalón representa bien la excitación.

Por ejemplo, si un circuito responde en milisegundos y el interruptor conmuta en nanosegundos, el cambio puede tratarse como instantáneo para la escala de observación del problema. En cambio, si el circuito responde en nanosegundos, la transición del interruptor ya no puede ignorarse.

Tabla 52. Criterios para usar el modelo de conmutación ideal

Situación	Uso del escalón ideal
El tiempo de conmutación es mucho menor que la constante de tiempo del circuito	Adecuado como primera aproximación.
El tiempo de conmutación es comparable con la respuesta del circuito	Debe usarse un modelo más detallado.
El circuito contiene capacitores o inductores con energía inicial	Deben incluirse condiciones iniciales.
Hay rebote de contactos significativo	El escalón único puede ser insuficiente.
Hay alta frecuencia o potencia elevada	Deben considerarse elementos parásitos y límites físicos.

El criterio correcto no es preguntar si el escalón es “real” o “irreal”. Todo modelo ideal es irreal en sentido literal. La pregunta importante es si el modelo conserva los aspectos dominantes del fenómeno que se desea estudiar.

6.6. Evaluación puntual de funciones escalón

Evaluar una función escalón en un instante específico exige sustituir el tiempo en cada argumento y decidir si el resultado del argumento es negativo, positivo o cero. Si el argumento es negativo, el escalón vale cero. Si el argumento es positivo, el escalón vale uno. Si el argumento es cero, el valor queda no definido bajo la convención adoptada en este capítulo.

Tabla 53. Regla práctica para evaluar funciones escalón

Resultado del argumento	Valor del escalón bajo la convención adoptada
Argumento negativo	0
Argumento positivo	1
Argumento igual a cero	No definido

Esta regla sencilla evita errores al evaluar expresiones compuestas. Cada escalón debe analizarse por separado antes de sumar, restar o multiplicar los resultados.

6.7. Ejemplo 1. Evaluación de una suma de escalones

Evaluar la siguiente función en t = 1,5 segundos:

f(t) = 3u(t − 2) + u(t + 1) + u(t − 1)

Tabla 54. Evaluación del ejemplo 1 en t = 1,5 s

Término	Argumento al sustituir t = 1,5	Valor del escalón	Contribución
3u(t − 2)	1,5 − 2 = −0,5	0	0
u(t + 1)	1,5 + 1 = 2,5	1	1
u(t − 1)	1,5 − 1 = 0,5	1	1
Total	—	—	2

Por tanto, f(1,5) = 2.

Este resultado muestra que no se debe evaluar la expresión completa de una sola vez. Primero se analiza cada argumento; después se aplican las operaciones indicadas.

6.8. Ejemplo 2. Producto de escalones

Evaluar la siguiente función en t = 1,5 segundos:

f(t) = [u(t − 1) − u(1 − t)]u(t + 1)

Tabla 55. Evaluación del ejemplo 2 en t = 1,5 s

Término	Argumento al sustituir t = 1,5	Valor
u(t − 1)	1,5 − 1 = 0,5	1
u(1 − t)	1 − 1,5 = −0,5	0
u(t + 1)	1,5 + 1 = 2,5	1

Luego:

f(1,5) = [1 − 0] × 1 = 1

Por tanto, f(1,5) = 1.

Este ejemplo muestra que los escalones también pueden multiplicarse. Cuando una expresión incluye productos, cada factor puede actuar como una condición de activación. Si alguno de los factores vale cero, puede anular toda la expresión.

6.9. Ejemplo 3. Escalón aplicado a una función senoidal

Evaluar la siguiente función en t = 1,5 segundos:

f(t) = u(sen(πt)) − u(t + 4) + u(t)

Primero se evalúa el argumento de cada escalón.

Tabla 56. Evaluación del ejemplo 3 en t = 1,5 s

Término	Argumento al sustituir t = 1,5	Valor del argumento	Valor del escalón
u(sen(πt))	sen(1,5π)	−1	0
u(t + 4)	1,5 + 4	5,5	1
u(t)	1,5	1,5	1

Luego:

f(1,5) = 0 − 1 + 1 = 0

Por tanto, f(1,5) = 0.

Este ejemplo es importante porque el argumento de un escalón no tiene que ser necesariamente una expresión lineal del tiempo. También puede ser una función como sen(πt). Lo decisivo sigue siendo el signo del argumento.

6.10. Circuito resistivo con fuentes escalón

Considérese un circuito resistivo con dos resistencias, una fuente de voltaje a la izquierda, una fuente de corriente en la rama central y una fuente de voltaje a la derecha. Las fuentes dependen del tiempo mediante funciones escalón. El objetivo es calcular el voltaje V3 en tres instantes: t = 1 s, t = 3 s y t = 5 s.

Los datos del circuito son:

Tabla 57. Datos del circuito de ejemplo

Elemento	Valor o expresión	Interpretación
R1	5 ohmios	Resistencia izquierda.
R2	20 ohmios	Resistencia derecha.
Vs1	20u(t − 2) V	Fuente de voltaje que se activa después de t = 2 s.
Is1	2u(t) A	Fuente de corriente activa para t > 0.
Vs2	50u(4 − t) V	Fuente de voltaje activa antes de t = 4 s.
V3	Voltaje en el nodo central	Variable que se desea calcular.

Figura 36. Circuito resistivo con fuentes dependientes de funciones escalón.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar R1 = 5 ohmios, R2 = 20 ohmios, Vs1 = 20u(t − 2) V, Is1 = 2u(t) A, Vs2 = 50u(4 − t) V y el voltaje V3 medido en el nodo central.

6.11. Evaluación del circuito en t = 1 segundo

Para t = 1 s, se evalúan las fuentes:

Vs1 = 20u(1 − 2) = 20u(−1) = 0 V

Is1 = 2u(1) = 2 A

Vs2 = 50u(4 − 1) = 50u(3) = 50 V

Tabla 58. Estado del circuito en t = 1 s

Fuente	Evaluación	Estado
Vs1	0 V	Inactiva
Is1	2 A	Activa
Vs2	50 V	Activa

En este instante, la fuente de corriente de 2 A alimenta la rama derecha. La caída de voltaje en R2 es:

VR2 = Is1 × R2 = 2 A × 20 ohmios = 40 V

Como la fuente derecha mantiene 50 V y la caída en la resistencia es 40 V, el voltaje en el nodo central es:

V3 = 40 V + 50 V = 90 V

Tabla 59. Resultado para t = 1 s

Magnitud	Valor
Is1	2 A
R2	20 ohmios
VR2	40 V
Vs2	50 V
V3	90 V

Por tanto, V3(1 s) = 90 V.

Figura 37. Circuito equivalente para t = 1 s.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar Vs1 inactiva, Is1 activa con 2 A y Vs2 activa con 50 V. Debe resaltarse la trayectoria de corriente por R2.

6.12. Evaluación del circuito en t = 3 segundos

Para t = 3 s, se evalúan las fuentes:

Vs1 = 20u(3 − 2) = 20u(1) = 20 V

Is1 = 2u(3) = 2 A

Vs2 = 50u(4 − 3) = 50u(1) = 50 V

Tabla 60. Estado del circuito en t = 3 s

Fuente	Evaluación	Estado
Vs1	20 V	Activa
Is1	2 A	Activa
Vs2	50 V	Activa

Se definen dos corrientes de malla: i1 en la malla izquierda e i2 en la malla derecha. Aplicando las relaciones del circuito:

Tabla 61. Ecuaciones para t = 3 s

Relación	Ecuación
Malla izquierda	−20 + 5i1 + V3 = 0
Malla derecha	−V3 + 20i2 + 50 = 0
Restricción por fuente de corriente	i1 + 2 = i2

De la primera ecuación:

V3 = 20 − 5i1

De la segunda ecuación:

V3 = 20i2 + 50

Como i2 = i1 + 2, entonces:

20 − 5i1 = 20(i1 + 2) + 50

20 − 5i1 = 20i1 + 40 + 50

−25i1 = 70

i1 = −14/5 A

Sustituyendo en V3 = 20 − 5i1:

V3 = 20 − 5(−14/5)

V3 = 20 + 14

V3 = 34 V

Tabla 62. Resultado para t = 3 s

Magnitud	Valor
i1	−14/5 A
i2	−4/5 A
V3	34 V

Por tanto, V3(3 s) = 34 V.

El signo negativo de las corrientes indica que el sentido real es contrario al sentido de referencia escogido. No representa un error; representa información sobre la dirección efectiva de la corriente.

Figura 38. Circuito equivalente para t = 3 s.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar las tres fuentes activas: Vs1 = 20 V, Is1 = 2 A y Vs2 = 50 V. Deben indicarse las corrientes de malla i1 e i2 y el voltaje V3.

6.13. Evaluación del circuito en t = 5 segundos

Para t = 5 s, se evalúan las fuentes:

Vs1 = 20u(5 − 2) = 20u(3) = 20 V

Is1 = 2u(5) = 2 A

Vs2 = 50u(4 − 5) = 50u(−1) = 0 V

Tabla 63. Estado del circuito en t = 5 s

Fuente	Evaluación	Estado
Vs1	20 V	Activa
Is1	2 A	Activa
Vs2	0 V	Inactiva

Las ecuaciones quedan:

Tabla 64. Ecuaciones para t = 5 s

Relación	Ecuación
Malla izquierda	−20 + 5i1 + V3 = 0
Malla derecha	−V3 + 20i2 = 0
Restricción por fuente de corriente	i1 + 2 = i2

De la primera ecuación:

V3 = 20 − 5i1

De la segunda ecuación:

V3 = 20i2

Como i2 = i1 + 2, entonces:

20 − 5i1 = 20(i1 + 2)

20 − 5i1 = 20i1 + 40

−25i1 = 20

i1 = −4/5 A

Sustituyendo en V3 = 20 − 5i1:

V3 = 20 − 5(−4/5)

V3 = 20 + 4

V3 = 24 V

Tabla 65. Resultado para t = 5 s

Magnitud	Valor
i1	−4/5 A
i2	6/5 A
V3	24 V

Por tanto, V3(5 s) = 24 V.

Figura 39. Circuito equivalente para t = 5 s.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar Vs1 activa con 20 V, Is1 activa con 2 A y Vs2 inactiva. Deben indicarse las corrientes de referencia y el voltaje V3.

6.14. Resumen comparativo de los resultados del circuito

Los tres instantes analizados muestran cómo una misma red puede tener comportamientos distintos según el estado temporal de sus fuentes. Las funciones escalón no cambian los valores de las resistencias; cambian qué fuentes están activas en cada intervalo.

Tabla 66. Comparación de resultados para V3

Tiempo	Vs1	Is1	Vs2	Resultado de V3
t = 1 s	0 V	2 A	50 V	90 V
t = 3 s	20 V	2 A	50 V	34 V
t = 5 s	20 V	2 A	0 V	24 V

El cambio más fuerte ocurre entre t = 1 s y t = 3 s porque en ese intervalo se activa Vs1. Después de t = 4 s se desactiva Vs2, lo que modifica nuevamente el equilibrio del circuito y produce el valor calculado para t = 5 s.

Figura 40. Evolución discreta de V3 en los instantes evaluados.
Nota. Elaboración propia. La figura debe mostrar los tres puntos calculados: V3(1 s) = 90 V, V3(3 s) = 34 V y V3(5 s) = 24 V. No debe presentarse como una gráfica continua completa, porque solo se han evaluado tres instantes.

6.15. Recomendaciones finales para dibujar las imágenes del capítulo

Las imágenes finales del capítulo deben rehacerse desde cero. No conviene reutilizar capturas borrosas ni gráficos pequeños, porque las funciones escalón dependen de detalles visuales: puntos abiertos, puntos cerrados, saltos, niveles de amplitud y ubicación exacta de las discontinuidades.

Para señales temporales, lo más riguroso es usar gráficos vectoriales. Cada función debe dibujarse con la misma escala horizontal, la misma escala vertical y la misma convención para las discontinuidades. Las figuras deben incluir expresión, ejes, niveles y nota explicativa.

Para circuitos, los símbolos deben ser normalizados y consistentes. Las fuentes de voltaje deben mostrar polaridad. Las fuentes de corriente deben mostrar dirección. Los interruptores deben indicar su estado antes y después de la conmutación. Las resistencias deben estar rotuladas con sus valores.

Tabla 67. Recomendaciones técnicas para las figuras finales

Tipo de figura	Herramienta recomendada	Razón
Señales escalón y pulsos	TikZ o PGFPlots	Permiten gráficos vectoriales, escalas exactas y control de discontinuidades.
Circuitos eléctricos	CircuiTikZ	Permite símbolos eléctricos consistentes dentro de LaTeX.
Retoque vectorial	Inkscape	Permite ajustar SVG o PDF sin perder resolución.
Fórmulas en WordPress	MathJax o bloque matemático compatible	Evita que las fórmulas aparezcan como código crudo.
Tablas	HTML o editor de tablas de WordPress	Mejora lectura en pantallas y dispositivos móviles.

El criterio visual debe ser simple: si una figura no se entiende en celular, no está lista para publicación web. Una imagen técnica no se juzga solo por su belleza; se juzga por su precisión, legibilidad y capacidad de enseñar sin confundir.

6.16. Plantilla recomendada para cada figura

Cada figura debe tener título, nota, texto alternativo y fuente. Esta estructura permite mejorar la calidad académica y la accesibilidad del capítulo.

Tabla 68. Plantilla editorial para figuras

Elemento	Ejemplo recomendado
Número	Figura 34
Título	Modelo resistivo de un interruptor normalmente abierto
Nota	Elaboración propia. La resistencia pasa de R_off a R_on en t = t0.
Texto alternativo	Gráfica de la resistencia de un interruptor normalmente abierto que cambia de valor alto a valor bajo.
Formato	SVG o PDF vectorial
Convención	Círculo abierto cuando el valor no está definido en la discontinuidad

Esta plantilla debe aplicarse a todas las imágenes del capítulo. La uniformidad editorial le da al texto una apariencia profesional y evita que cada figura parezca venir de un planeta distinto. La física ya es bastante exigente; no hay que sumarle desorden visual.

6.17. Síntesis final del capítulo

La función escalón unitario es una herramienta fundamental para representar cambios abruptos en el tiempo. Su utilidad aparece desde la definición formal de señales discontinuas hasta el análisis de fuentes, interruptores y circuitos transitorios. Aunque es una idealización, su poder está en permitir que una conmutación física se exprese mediante una función matemática sencilla.

El tratamiento riguroso exige declarar la convención usada en el punto de discontinuidad. En este capítulo se adoptó que u(0) no está definida, porque esta elección evita confusiones al analizar límites laterales, sumas de escalones e instantes exactos de conmutación. Otras convenciones pueden ser válidas, pero deben indicarse explícitamente.

Las operaciones principales sobre el escalón son desplazamiento, inversión temporal, cambio de signo y cambio de amplitud. Con ellas pueden construirse pulsos rectangulares, ventanas temporales, señales por tramos y fuentes activadas en instantes específicos. La clave para no cometer errores es analizar siempre el argumento de la función y localizar el punto donde se hace cero.

En circuitos eléctricos, el escalón permite modelar fuentes de voltaje y corriente aplicadas súbitamente. También permite representar interruptores ideales como resistencias dependientes del tiempo. Sin embargo, toda equivalencia física debe tratarse como aproximada, porque los dispositivos reales tienen tiempos finitos de transición, pérdidas, límites de corriente, límites de voltaje y efectos parásitos.

El dominio de la función escalón unitario prepara el camino para estudiar circuitos RC, RL y RLC en estado transitorio. Allí, cada conmutación inicia una nueva respuesta temporal. Por eso, aprender a escribir, graficar y evaluar correctamente funciones escalón no es un detalle secundario; es una base indispensable para comprender la dinámica de los circuitos.

6.18. Referencias finales del capítulo

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2021). Fundamentals of electric circuits (7th ed.). McGraw Hill.

Hayt, W. H., Kemmerly, J. E., & Durbin, S. M. (2019). Engineering circuit analysis (9th ed.). McGraw Hill.

MIT OpenCourseWare. (2008). The Dirac Delta and Unit-Step Functions. Massachusetts Institute of Technology.

MIT OpenCourseWare. (2011). Unit Step and Unit Impulse Response. Massachusetts Institute of Technology.

Nilsson, J. W., & Riedel, S. A. (2020). Electric circuits (11th global ed.). Pearson.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and systems (2nd ed.). Prentice Hall.

PARTE 1 DE 6

Las funciones singulares son aquellas que presentan discontinuidades o puntos donde su derivada no existe. Dentro de este grupo se destacan la función escalón unitario y la función impulso unitario, ambas fundamentales en el análisis de sistemas lineales y dinámicos.

La función escalón unitario, representada como u(t), se define de la siguiente manera:

Esta función es discontinua en t=0, ya que pasa bruscamente del valor 0 al valor 1, motivo por el cual se considera una función singular. Su importancia radica en que modela un cambio súbito en una señal o sistema, como el encendido instantáneo de una fuente de voltaje o corriente.

Aunque el escalón unitario y el impulso unitario pueden analizarse en el dominio de la frecuencia mediante herramientas como la transformada de Fourier o la transformada de Laplace, en su definición original son funciones del tiempo. Es decir, no representan una frecuencia específica, sino una variación abrupta en el tiempo que sirve como punto de partida para estudiar cómo un sistema responde a distintos tipos de excitaciones.

Por su parte, la función impulso unitario, denotada como δ(t), puede considerarse como la derivada de la función escalón unitario. Representa un evento infinitamente breve pero de intensidad unitaria, utilizado para analizar la respuesta instantánea de los sistemas.

En conjunto, estas dos funciones —el escalón y el impulso unitario— son esenciales porque permiten caracterizar completamente el comportamiento temporal y frecuencial de los sistemas dinámicos lineales.

Si analizas su continuidad en t=0:

• El límite por la izquierda es:

• El límite por la derecha es:

Como ambos límites son diferentes, el límite en t=0 no existe, y por tanto la función no es continua en ese punto.

Ahora bien, según esa definición, podrías decir:

“La función escalón unitario no está definida en t=0, ya que los límites laterales no coinciden.”

Y sería una afirmación válida, aunque con una pequeña aclaración: en muchos textos de ingeniería y análisis de sistemas, se elige definir arbitrariamente u(0)=1 o u(0)=0.5, dependiendo del contexto:

• En análisis matemático puro, se puede dejar sin definir en t=0.
• En ingeniería eléctrica o de control, se suele adoptar u(0)=1 (porque representa que la señal “ya está encendida” desde ese instante).
• En procesamiento de señales, algunas veces se usa u(0)=0.5 (para simetría en transformadas de Fourier).

🔹 Conclusión:
La afirmación “no está definida en t=0 porque los límites laterales no son iguales” es correcta matemáticamente.
Solo recuerda que en ingeniería se acostumbra asignarle un valor convencional en ese punto, según la aplicación.

Observaciones:

• t-t0 recibe el nombre de ARGUMENTO,
• to se llama DISCONTINUIDAD.
• La AMPLITUD de la función escalón unitario es UNO
• Normalmente t0= 0.
• Cuando t0 es diferente de cero, se dice que la función está DESFASADA o DESPLAZADA, o que el argumento está desfasado.
• u(t-t0) es una función desplazada a la derecha, si t-t0>0, t>t0
• u(t+t0) es una funciòn desplazada a la izquierda, si t+t0>0, t>-t0
• En circuitos se lleva a cabo una CONMUTACIÓN en t=0  o en t=t0.
• La funcion escalón unitario es solo un modelo matemático de una operación real de conmutación.
• Aunque la subida o bajada no es estrictamente parte de la definición del escalón unitario, generalmente se incluye en todas las gráficas.
• u(t) es ADIMENSIONAL. Si queremos que u(t) represente un voltaje o una corriente es necesario multiplicar a u(t) por algún voltaje o corriente, así:

  

• La funcion escalón unitario no tiene que ser necesariamente una función del TIEMPO.

Posibilidades de la función escalón unitario

Considerar todas las posibilidades de la función escalón unitario puede ser un poco complicado. Propongo una estrategia que busca no pasar por alto alguna posibilidad.

Los números identificadores a la izquierda de las siguientes funciones indican el cuadrante donde alcanzan el valor 0, 1 ó -1. Los dos primeros números están a la izquierda del eje vertical.

Un cambio instantáneo  en otro momento que no sea t=0 puede representarse por medio de una función escalón que tiene:

• Un argumento desfasado
• Una inversión de signo
• Ambas cosas: un argumento desfasado y un cambio de signo

Matriz de funciones escalón unitarias

La imagen presenta una matriz de funciones escalón unitarias. Estas funciones son fundamentales en el análisis de sistemas dinámicos y procesamiento de señales, ya que permiten modelar cambios instantáneos en variables. En este caso, cada función representa un evento o cambio que ocurre en un instante de tiempo específico.
Características Observadas:

• Diversidad de patrones: Se aprecian una amplia variedad de combinaciones de escalones, tanto en cuanto a su tiempo de inicio como a su duración. Esto sugiere una gran flexibilidad en la representación de diferentes fenómenos.
• Codificación: La presencia de códigos numéricos (de 4 o 6 digitos) asociados a cada función puede indicar diferentes condiciones iniciales, parámetros del sistema o simplemente una forma de identificar cada señal.
• Escalas de tiempo: Aunque no se especifica explícitamente, se puede inferir la existencia de una escala de tiempo común a todas las funciones, lo que permite comparar sus comportamientos relativos.
• Posible periodicidad: Algunos patrones recurrentes sugieren la posibilidad de que algunas señales sean periódicas o tengan componentes periódicos.

Interpretación:

Cada función escalón puede interpretarse como un evento que «enciende» o «apaga» una determinada variable en un instante dado. Por ejemplo, en un sistema eléctrico, podría representar la activación o desactivación de un interruptor. En un sistema mecánico, podría indicar el inicio o final de un movimiento.

• Cada dígito representa un tramo de la señal: Cada número en el código corresponde a un segmento específico de la función escalón.
• Cuadrantes y signos: El valor numérico del dìgito  (1, 2, 3 o 4) indica en qué cuadrante se encuentra la señal durante ese tramo, determinando así su signo.
• Cuadrante 1: Positivo. La señal es positiva en ese tramo.
• Cuadrante 2: Positivo. La señal es positiva en ese tramo.
• Cuadrante 3: Negativo. La señal es negativa en ese tramo.
• Cuadrante 4: Negativo. La señal es negativa en ese tramo.
• Cero: Indica que la señal es nula en ese tramo.

• Amplitud: La señal puede tomar únicamente dos valores: +1 (para los cuadrantes 1 y 2) o -1 (para los cuadrantes 3 y 4).
• Tiempo: El eje horizontal representa el tiempo, con marcas en -t1, -t0, 0, t1 y t2. Estos puntos definen los intervalos de tiempo en los que se mantiene constante cada tramo de la señal.

Ejemplo detallado de la señal 333-400:

Primeros tres tramos (333): La señal es negativa en estos tres segmentos del cuadrante 3

Cuarto tramo (4): La señal es negativa en ese tramo del cuadrante 4

Quinto y sexto tramos (00): La señal se mantiene en cero en estos dos últimos segmentos del cuadrante 4

Transiciones: Los cambios de un dígito a otro representan transiciones entre cuadrantes. Estas transiciones pueden ser abruptos (saltos) o suaves (rampas), dependiendo de la naturaleza del sistema que genera las señales.

Naturaleza de la Señal:

• Digital: Dado que la amplitud se limita a dos valores discretos (+1 y -1), podemos clasificar estas señales como digitales.
• Pulsos: Cada tramo de la señal con amplitud distinta de cero puede considerarse como un pulso. La duración de cada pulso está determinada por la diferencia entre los tiempos de inicio y final del tramo correspondiente.
• Función escalonada: La señal completa puede verse como una función escalonada, ya que está compuesta por segmentos constantes.

Interpretación física: El significado físico de cada cuadrante dependerá del contexto específico de la aplicación. Por ejemplo, en un sistema de control, un cuadrante podría representar una acción de control positiva o negativa.

Posibles aplicaciones: Esta codificación simplificada sigue siendo útil para analizar sistemas dinámicos, procesar señales y modelar diversos fenómenos.

• Análisis de sistemas dinámicos: Modelar cambios bruscos en variables como velocidad, posición o temperatura.
• Procesamiento de señales: Representar señales digitales de forma compacta y eficiente.
• Control de procesos industriales: Diseñar controladores para sistemas con comportamientos no lineales.
• Reconocimiento de patrones: Identificar patrones característicos en señales complejas.

La Relación entre Escalas de Tiempo y Codificación: Un Análisis Detallado

¿Qué es lo que estamos viendo?

Estamos analizando señales que se dividen en segmentos o tramos, cada uno asociado a un número específico (la codificación). La duración de cada tramo, o sea, el tiempo que la señal permanece en un determinado estado, es lo que llamamos escala de tiempo.

¿Cuál es la conexión?

La conexión entre la codificación y las escalas de tiempo radica en que la secuencia de números en la codificación influye de manera directa en cómo se distribuyen las duraciones de los tramos. Es decir, la combinación de números que forman la codificación nos da pistas sobre cuánto tiempo dura cada segmento de la señal.

¿Cómo funciona?

• Cada dígito, un cuadrante: Cada dígito de la codificación representa un estado o cuadrante en el que se encuentra la señal.
• La secuencia cuenta: La secuencia de estos dígitos determina cómo se suceden los diferentes estados en el tiempo.
• Duración de los tramos: La duración de cada tramo, es decir, el tiempo que la señal permanece en un estado determinado, está relacionada con la secuencia de dígitos y con los dígitos adyacentes.

¿Por qué es importante esta relación?

Comprender esta relación es fundamental porque nos permite:

• Interpretar las señales: Al conocer la relación entre la codificación y las escalas de tiempo, podemos entender qué significa cada secuencia de números y predecir el comportamiento de la señal en el futuro.
• Extraer información: Podemos extraer información valiosa de las señales, como la frecuencia de ocurrencia de ciertos estados, la duración media de los tramos, o la presencia de patrones repetitivos.
• Modelar sistemas: Esta relación puede ser utilizada para desarrollar modelos matemáticos que describan el comportamiento de sistemas que generan estas señales.

Un ejemplo sencillo:

Imagina una señal codificada como «111222». Esto significa que la señal permanece en el estado 1 durante tres unidades de tiempo, luego cambia al estado 2 y permanece en ese estado durante otras tres unidades de tiempo.

¿Qué factores influyen en esta relación?

• Naturaleza de la señal: El tipo de señal (biológica, eléctrica, etc.) y el proceso que la genera influirán en la relación entre la codificación y las escalas de tiempo.
• Ruido: El ruido presente en la señal puede afectar la precisión de la medición de las duraciones de los tramos.
• Complejidad de la codificación: Codificaciones más complejas, con un mayor número de estados posibles, pueden dar lugar a relaciones más difíciles de modelar.

En resumen, la relación entre la codificación y las escalas de tiempo es una herramienta poderosa para analizar y comprender señales complejas. Al estudiar esta relación, podemos obtener información valiosa sobre la estructura y la dinámica de los sistemas que generan estas señales.

Los códigos pueden interpretarse como una forma de codificar información digital. Cada secuencia de dígitos representa una palabra de código única, y el conjunto de todas las palabras de código forma un alfabeto o diccionario. En este caso, el alfabeto está compuesto por todas las combinaciones posibles de los dígitos 1, 2, 3, 4 y 0, teniendo en cuenta la longitud de los códigos.
Verificación de Combinaciones Posibles:

Para determinar si se incluyen todas las combinaciones posibles, es necesario conocer la longitud máxima de los códigos. Si asumimos una longitud máxima de N dígitos, el número total de combinaciones posibles sería 5^N (ya que cada dígito puede tomar 5 valores diferentes: 1, 2, 3, 4 o 0).

Al establecer una longitud máxima de 6 dígitos, podemos cuantificar de manera más precisa el espacio de búsqueda de todas las combinaciones posibles y realizar un análisis más detallado.

Calculando el Espacio de Combinaciones

Condiciones del problema:

• Cantidad de dígitos: 4 dígitos.
• Rango de valores:
  • Primer y segundo dígito: 0, 2, o 3.
  • Tercer y cuarto dígito: 0, 1, o 4.
• Repetición de dígitos: Se permite la repetición de dígitos dentro de cada par.

Análisis:

Al incluir el cero como opción, aumentamos las posibilidades para cada par de dígitos.

• Primer y segundo dígito: Ahora tenemos 3 opciones (0, 2, o 3) para cada uno. Por lo tanto, para los primeros dos dígitos tenemos 3 * 3 = 9 combinaciones posibles.
• Tercer y cuarto dígito: De igual manera, tenemos 3 opciones (0, 1, o 4) para cada uno. Entonces, para los últimos dos dígitos tenemos 3 * 3 = 9 combinaciones posibles.

Combinaciones totales:

Para obtener el total de combinaciones posibles, multiplicamos las combinaciones de cada par: 9 * 9 = 81.

Conclusión:

Si permitimos que cualquier dígito sea cero, entonces hay 81 combinaciones posibles de cuatro dígitos que cumplen con las restricciones del problema.

Combinaciones con los dos primeros dígitos iguales a 00

• 0000
• 0001
• 0004
• 0010
• 0011
• 0014
• 0040
• 0041
• 0044

Combinaciones con los dos primeros dígitos iguales a 02

• 0200
• 0201
• 0204
• 0210
• 0211
• 0214
• 0240
• 0241
• 0244

Tabla de Valores para Función Escalonada Discreta de Cuatro Dígitos: Este título especifica que los valores de la tabla corresponden a una función escalonada definida en un conjunto discreto de puntos.

Explicación:

• Filas: Cada fila representa un posible valor para los dos primeros dígitos.
• Columnas: Cada columna representa un posible valor para los dos últimos dígitos.
• Celdas: La intersección de una fila y una columna nos da una combinación completa de cuatro dígitos.
• Cada número (1, 2, 3, 4) no representa un valor numérico en sí mismo, sino una categoría o estado de una señal.
  • 1 y 2: Indican que la señal tiene un valor positivo (señal 1).
  • 3 y 4: Indican que la señal tiene un valor negativo (señal -1).

  • Los ceros indican valor de señal cero.

    Ejemplo:
• Si buscamos la combinación donde los dos primeros dígitos son 23 y los dos últimos son 14, buscamos la fila «23» y la columna «14». En la intersección encontramos el número 2314.

Ventajas de esta representación:

• Claridad: La estructura de la tabla permite identificar rápidamente cualquier combinación.
• Completitud: Todas las posibles combinaciones están representadas en la tabla.
• Facilidad de uso: Puedes buscar cualquier combinación específica de forma sencilla.

Esta representación es especialmente útil si necesitas visualizar todas las combinaciones posibles de forma ordenada y si quieres realizar búsquedas o análisis específicos sobre estas combinaciones.

Sumas de funciones escalón

 Funciones equivalentes

Son aquellas cuyas características de voltaje-corriente  son idénticas.

Analizaremos qué fuentes físicas son equivalentes a las fuentes de voltaje y corriente escalón.

Fuente ideal de voltaje escalón

Fuente real de voltaje escalón

El EQUIVALENTE FÍSICO  aproximado de una función de excitación escalón es un interruptor o suiche en serie con una batería.

La función de excitación o fuente vale cero hasta que se cierra el suiche, y después es igual al voltaje Vs de la batería. La fuente tiene una discontinuidad en el instante en que se cierra el interruptor en t=t0.

La aplicación SÚBITA de una fuente es su aplicación en el tiempo cero o en t0.

Equivalente 1

No es equivalente para t<t0 porque el voltaje v (t) entre a y b, que es el mismo entre la batería y el interruptor, no está definido. La fuente equivalente es un circuito abierto en la que el voltaje de la fuente Vs puede ser cualquiera y no necesariamente cero en t<t0.

Además, antes del cierre v (t) tiene un valor determinado por los elementos activos de la red general. Aún si la red general es pasiva existen cargas estáticas que pueden resultar en un valor diferente de cero para v (t).

Este modelo solo es equivalente para t>t0 si las corrientes que fluyen de las dos redes son idénticas en t=t0.

Ningún arreglo de funciones de excitación escalón de voltaje pueden dar el equivalente exacto si no se conoce el voltaje en t<t0.

Equivalente 2

Este equivalente asegura que v(t) es cero en t<t0  y es Vs para t>t0.

Pero no es equivalente en t=to ya que la fuente Vs está momentáneamente en corto, es decir, Vs =0. En el modelo real la fuente Vs debería poder soportar la corriente de cortocircuito.

Fuente ideal de corriente escalón

Fuente real de corriente escalón

Equivalente

No es equivalente en t<to  (antes de pulsar el suiche) ya que la fuente está momentáneamente en corto. En el modelo real la fuente debería poder soportar la corriente de cortocircuito.

Función resistencia escalón

Un interruptor es una resistencia que cambia instantáneamente de infinito a cero ohmios y viceversa. Sin embargo, no puede llevarse a cabo una operación de conmutación en un tiempo cero. Es decir, un interruptor es una resistencia dependiente del tiempo, y recibe el nombre de función escalón resistencia.

En muchos circuitos los tiempos de conmutación son menores a 1 nanosegundo, que es mucho menor que las constantes de tiempo del circuito. Hablaremos de constantes de tiempo más adelante, cuando veamos circuitos RL y RC.

Una conmutación presenta problemas como:

• Arqueo
• Resistencia
• Rebote de contactos
• Capacitancia de contactos.

Pulso rectangular de voltaje

Fuente pulso senoidal

Ejemplo 1 Funciones Escalón

Evalúe la siguiente función en t= 1,5 segundos

Solución

Ejemplo 2 Funciones Escalón

Evalúe la siguiente función en t= 1,5 segundos

Solución

Ejemplo 3 Funciones Escalón

Evalúe la siguiente función en t= 1,5 segundos

Solución

Ejemplo 4 Funciones Escalón

Calcular V3 en t=1 segundo

Ejemplo 5 Funciones Escalón

Calcular V3 en t=3 segundos

Ejemplo 6 Funciones Escalón

Calcular V3 en t=5 segundos