Capítulo 06: Estadística: de los datos a la interpretación

6.1. Vivimos rodeados de datos

Cada día aparecen números relacionados con:

No todos esos números significan lo mismo. Algunos describen personas, otros objetos, otros procesos, y otros fenómenos colectivos. Por eso necesitamos una disciplina que nos ayude a recoger, organizar, resumir, analizar e interpretar información.

6.2. La estadística no se limita a calcular

Un error frecuente consiste en pensar que hacer estadística es:

Las fórmulas importan, sí. Pero llegan después. Antes de ellas están las preguntas, el contexto, la calidad de los datos y el razonamiento.

6.3. ¿Qué significa pensar estadísticamente?

Pensar estadísticamente significa mirar más allá de un caso aislado y reconocer que los fenómenos reales suelen presentar variación.

Si preguntamos cuánto tiempo duermen varias personas, no todas dormirán el mismo número de horas. Si medimos la estatura de un grupo, no obtendremos un único valor repetido. Si registramos la temperatura durante una semana, tampoco será constante.

Precisamente por esa variación necesitamos la estadística.

La primera pregunta se refiere a una sola persona. La segunda se refiere a un conjunto de personas y anticipa que las respuestas no serán todas iguales. Allí aparece el corazón del pensamiento estadístico.

6.4. Preguntas que no son estadísticas y preguntas que sí lo son

No toda pregunta con números es una pregunta estadística.

6.5. La variación está en todas partes

La variación puede aparecer por muchas razones:

Reconocer la variación es crucial porque la estadística no estudia un mundo perfectamente uniforme, sino un mundo real, donde las cosas cambian.

6.6. ¿Qué hace la estadística con los datos?

De manera general, la estadística cumple varias tareas encadenadas:

Esto significa que la estadística acompaña todo el recorrido: desde la pregunta inicial hasta la conclusión final.

6.7. Dos grandes ramas: descriptiva e inferencial

Tradicionalmente se distinguen dos grandes ramas.

En este curso construiremos primero una base sólida en la parte descriptiva, porque antes de inferir conviene aprender a mirar bien los datos.

6.8. La estadística como herramienta para decidir

La estadística no solo describe el mundo. También ayuda a tomar decisiones en múltiples contextos.

6.9. Pensar estadísticamente es pensar mejor

El razonamiento estadístico desarrolla hábitos intelectuales muy valiosos:

• formular preguntas más precisas;
• distinguir un caso aislado de un patrón general;
• reconocer la variación en los datos;
• comparar grupos con criterio;
• desconfiar de conclusiones apresuradas;
• usar evidencia en lugar de intuiciones vagas;
• interpretar críticamente tablas, gráficas y porcentajes.

En otras palabras:

6.10. Síntesis

Actividades de comprensión

Referencias

6.16. El problema: queremos conocer a muchos

Imagina que queremos responder alguna de estas preguntas:

En todos estos casos existe un conjunto de personas, objetos o mediciones que queremos estudiar.

6.17. ¿Qué es una población?

Una población puede estar formada por:

Lo importante no es qué clase de elementos forman la población, sino que estén claramente definidos de acuerdo con la pregunta de investigación.

6.18. El tamaño de la población

El número de unidades que forman una población finita suele representarse mediante:

N

Si un colegio tiene 1 200 estudiantes y queremos estudiar a todos los estudiantes del colegio:

6.19. Poblaciones finitas e infinitas

6.20. ¿Qué es un censo?

Si queremos conocer la edad de los 35 estudiantes de un grupo y preguntamos la edad a los 35, hemos realizado un censo de ese grupo.

Pero cuando la población es muy grande, estudiar a todos puede resultar costoso, lento o incluso imposible.

6.21. ¿Qué es una muestra?

Si un colegio tiene 1 200 estudiantes y seleccionamos 120 para realizar una encuesta:

6.22. El tamaño de la muestra

El número de unidades seleccionadas en una muestra suele representarse mediante:

n

En el ejemplo anterior:

6.23. ¿Por qué utilizar una muestra?

6.24. Una muestra grande no siempre es una buena muestra

Imagina que queremos conocer la opinión de todos los estudiantes de un colegio.

Entrevistamos a 500 estudiantes, pero todos pertenecen al mismo grado.

La forma de seleccionar la muestra es tan importante como su tamaño.

6.25. Muestreo aleatorio

Una forma importante de seleccionar muestras consiste en utilizar mecanismos aleatorios.

Una versión intuitiva para un grupo escolar sería colocar los nombres de todos los estudiantes en un sistema de selección verdaderamente aleatorio y escoger los necesarios sin favorecer a nadie.

6.26. ¿Qué es un parámetro?

Ejemplos:

6.27. ¿Qué es un estadístico?

Por ejemplo, si seleccionamos 100 estudiantes y calculamos su estatura media, ese promedio es un estadístico.

6.28. Utilizamos estadísticos para estimar parámetros

Muchas veces el parámetro poblacional es desconocido porque no observamos a toda la población.

Entonces utilizamos la información de la muestra.

Por ejemplo:

6.29. Diferentes muestras pueden producir diferentes resultados

Supongamos que de una misma población seleccionamos varias muestras de 10 estudiantes.

6.30. Toda estimación contiene incertidumbre

Si calculamos un valor utilizando una muestra, no deberíamos fingir que conocemos exactamente el parámetro poblacional.

6.31. Margen de error: una primera aproximación

Supongamos que una encuesta informa:

Esto señala una estimación central de 52 % acompañada de una medida de precisión.

6.32. El margen de error no significa «probabilidad de estar equivocado»

El margen de error expresa la precisión de una estimación dentro de un procedimiento estadístico determinado.

6.33. Nivel de confianza: idea intuitiva

Más adelante estudiaremos formalmente los intervalos de confianza.

Por ahora basta con comprender esta idea:

6.34. ¿De qué depende el tamaño de una muestra?

No existe un único tamaño de muestra correcto para todos los estudios.

Entre los factores que pueden influir se encuentran:

6.35. Ejemplo: una población de 600 plantas

Supongamos que tenemos:

Para una proporción y una población finita, una expresión común es:

Para 95 % utilizamos aproximadamente:

z = 1,96.

Sustituimos:

6.36. Precisión y tamaño de muestra

Manteniendo las demás condiciones del ejemplo, observemos qué ocurre al cambiar el margen de error:

6.37. Más datos no corrigen automáticamente un mal muestreo

Supongamos que queremos conocer la opinión de 10 000 estudiantes.

Encuestamos a 3 000, pero todos pertenecen a un único grado.

Luego hacemos otro estudio con solo 500 estudiantes, seleccionados adecuadamente entre todos los grados.

6.38. Una analogía: probar una sopa

Imagina una olla grande de sopa.

No necesitas beber toda la olla para saber si tiene suficiente sal.

Puedes probar una cucharada.

Pero hay una condición fundamental:

Si toda la sal se quedó en el fondo y tomamos la muestra de la superficie, la cucharada no representará adecuadamente la olla.

Esta analogía ayuda a entender por qué la forma de seleccionar una muestra es tan importante.

6.39. Ejemplo integrado

Una fábrica produce 20 000 baterías en una semana.

Se seleccionan aleatoriamente 400 baterías y se encuentra que 372 cumplen la especificación.

6.40. Errores frecuentes

6.41. Comprueba tu aprendizaje

6.42. Actividad autónoma

Síntesis

Referencias

6.43. ¿Qué estamos observando?

Supongamos que seleccionamos a un estudiante de una muestra.

De ese mismo estudiante podríamos registrar:

El individuo es el mismo.

Lo que cambia es la:

6.44. ¿Qué es una variable estadística?

Por ejemplo, si estudiamos diez estudiantes y registramos sus edades:

En esta tabla:

6.45. Variable no es lo mismo que valor

Consideremos:

Aquí:

6.46. Una ayuda para recordar el concepto: CIVO

Podemos recordar las ideas principales mediante la palabra:

6.47. Unidad de observación

En estadística no siempre estudiamos personas.

También podemos estudiar:

6.48. Una unidad puede producir muchos datos

Consideremos tres estudiantes:

Tenemos:

En una base de datos bien organizada suele cumplirse:

6.49. ¿Por qué debemos clasificar las variables?

Porque no todas las variables contienen el mismo tipo de información.

Podemos calcular una:

pero no tendría sentido calcular un:

Por tanto:

6.50. Primera gran clasificación

En un primer nivel podemos dividir las variables en dos grandes familias:

OpenStax distingue de la misma manera datos cualitativos o categóricos y datos cuantitativos, y señala que estos últimos pueden ser discretos o continuos (Illowsky & Dean, 2023).

6.51. Variables cualitativas o categóricas

Una variable cualitativa clasifica a cada unidad dentro de una:

categoría

6.52. Un número puede ser solamente una etiqueta

Supongamos que codificamos el medio de transporte:

Aunque aparecen números, no podemos afirmar:

Los números solamente identifican las categorías.

6.53. Variables cualitativas nominales y ordinales

La distinción entre escalas nominales y ordinales forma parte de la clasificación clásica de Stevens (1946). La estudiaremos con mucho más detalle en la Parte 4.

6.54. Variables dicotómicas o binarias

Una variable es:

cuando posee exactamente:

dos categorías

Por ejemplo:

Tiene dos categorías, por lo que es:

binaria

y además existe un orden:

baja < alta

por lo que también es:

ordinal.

6.55. Variables politómicas

Cuando una variable categórica posee más de dos categorías, podemos denominarla:

politómica

6.56. Cómo construir buenas categorías

Cuando diseñamos una variable categórica, las opciones deben estar bien definidas.

Dos propiedades son especialmente importantes:

6.57. Categorías suficientemente exhaustivas

Preguntamos:

Y ofrecemos solamente:

¿Qué responde un estudiante que llegó:

caminando?

¿O alguien que llegó en:

bicicleta?

Las opciones están incompletas.

6.58. Categorías mutuamente excluyentes

Consideremos esta variable:

Situación de una persona

con las categorías:

Una persona puede ser simultáneamente:

estudiante y empleado.

Por tanto, si pretendemos obtener una sola respuesta, debemos definir mejor la variable.

La investigación cognitiva de cuestionarios del National Center for Health Statistics ha mostrado que, cuando las opciones no encajan bien con las experiencias reales de los participantes, las categorías pueden dejar de ser exhaustivas o mutuamente excluyentes (Willson, 2022).

6.59. Variables cuantitativas

Una variable cuantitativa expresa una:

cantidad

y sus valores numéricos poseen significado cuantitativo.

6.60. No todo número representa una cantidad

Consideremos:

El 10 identifica al jugador.

No significa que el jugador número 20 tenga:

“el doble de jugador”

que el jugador número 10.

6.61. Variables cuantitativas discretas

Una variable cuantitativa es:

DISCRETA

cuando sus valores posibles aparecen como resultados separados y pueden enumerarse o contarse.

Ejemplos:

Para el número de hermanos podríamos tener:

0, 1, 2, 3, 4, …

Entre:

2 hermanos y 3 hermanos

no existe un resultado posible de:

2,37 hermanos.

Por ejemplo, una variable definida para tomar únicamente:

0 · 0,5 · 1,0 · 1,5 · 2,0

sigue siendo discreta aunque algunos valores contengan decimales.

6.62. Variables cuantitativas continuas

Una variable es:

CONTINUA

cuando, dentro de un intervalo, puede tomar valores intermedios y normalmente surge de un proceso de medición.

Ejemplos:

6.63. Una ayuda práctica: contar y medir

Una regla pedagógica muy útil consiste en observar cómo se obtiene la información:

6.64. Los decimales no deciden si una variable es continua

Una variable no se vuelve continua simplemente porque tenga decimales.

Supongamos que una calificación solo puede adoptar:

0,0 · 0,5 · 1,0 · 1,5 · 2,0 · … · 5,0

Aunque contiene decimales, existen valores permitidos separados.

Por tanto, bajo esa definición:

es discreta.

6.65. Los enteros tampoco deciden si una variable es discreta

Consideremos la edad registrada como:

13 · 14 · 15 · 16 años

Podríamos pensar:

Pero una persona puede tener:

14,5 años

o:

14,75 años.

La variable subyacente:

edad

es continua, aunque decidamos registrarla en:

años cumplidos.

6.66. Medición y valor registrado

Una variable continua puede aparecer redondeada por la resolución del instrumento.

Que el instrumento muestre:

72,4 kg

no significa que la masa solamente pueda tomar valores con una cifra decimal.

6.67. Definición operacional de una variable

Una variable debe definirse con suficiente precisión antes de recoger los datos.

Supongamos que queremos estudiar:

tiempo de estudio diario

Todavía debemos responder:

6.68. Una misma idea puede convertirse en variables diferentes

Consideremos el concepto:

actividad física

El tema general es el mismo, pero la variable cambia según:

qué preguntamos y cómo lo registramos.

6.69. El árbol de las variables

6.70. Cómo clasificar una variable paso a paso

6.71. Ejemplos guiados

6.72. Resumen comparativo

6.73. Errores frecuentes

6.74. Actividad guiada

6.75. Detecta los errores

6.76. Definir las variables antes de recoger los datos

6.77. Actividad autónoma

Síntesis

Referencias

6.78. Cuatro números iguales que no significan lo mismo

Consideremos cuatro veces el mismo número:

Ahora observemos lo que representa cada uno.

El símbolo numérico es el mismo:

2

pero la información matemática no es la misma.

6.79. ¿Qué es una escala de medición?

Medir estadísticamente no significa simplemente escribir números.

Significa asignar valores siguiendo reglas que permitan representar determinada información.

6.80. Las cuatro escalas clásicas

Una clasificación tradicional distingue cuatro niveles:

En esta parte estudiaremos cuidadosamente los dos primeros niveles:

6.81. Primer nivel: escala nominal

La palabra:

nominal

está relacionada con:

nombre.

Una escala nominal sirve fundamentalmente para:

6.82. Ejemplo: color de una pieza

Variable:

color

Podemos afirmar:

Pero no tiene sentido estadístico afirmar:

6.83. Cuando los números son solamente etiquetas

Supongamos que codificamos:

Los números:

1, 2 y 3

no representan cantidades.

Podríamos cambiar los códigos:

y la información esencial seguiría siendo la misma.

6.84. El cero en una escala nominal

Supongamos:

No = 0     Sí = 1

¿Significa:

0 = ausencia absoluta de una magnitud?

No.

En este caso:

0 es simplemente una etiqueta.

6.85. ¿Qué podemos calcular con una variable nominal?

Las herramientas más importantes en un nivel introductorio son:

Supongamos:

La categoría que aparece más veces es:

Bus

Por tanto:

Moda = Bus

6.86. ¿Por qué no promediamos códigos nominales?

Codificamos:

Bus = 1     Metro = 2

Tenemos cuatro estudiantes:

1, 1, 2, 2

Si calculamos:

(1 + 1 + 2 + 2) / 4 = 1,5

aparece:

transporte promedio = 1,5

Pero no existe un medio de transporte llamado:

1,5.

6.87. Gráficos para variables nominales

Los gráficos más útiles para comenzar son:

6.88. Segundo nivel: escala ordinal

Subimos un peldaño.

6.89. Ejemplo: nivel de dificultad

Ahora sí podemos afirmar que existe una jerarquía:

Muy fácil < Fácil < Moderado < Difícil < Muy difícil

Pero todavía no sabemos:

cuánto separa exactamente una categoría de la siguiente.

6.90. Orden no significa distancia

Esta es la idea más importante de toda la escala ordinal.

Pensemos en una carrera.

Las posiciones son:

1.º → 2.º → 3.º

pero la diferencia real entre el primero y el segundo es:

0,01 s

mientras que entre el segundo y el tercero es:

3,98 s.

6.91. Códigos ordinales

Podemos codificar:

Los códigos preservan el orden.

Sin embargo:

6.92. El cero en una escala ordinal

Supongamos:

Aquí:

0 = Muy insatisfecho

pero no significa:

ausencia absoluta de toda satisfacción como magnitud física.

El cero funciona como:

una posición o categoría de referencia.

6.93. ¿Qué relaciones podemos establecer en una escala ordinal?

6.94. ¿Qué podemos resumir en una variable ordinal?

Como existe orden, podemos utilizar herramientas que dependen de posiciones.

6.95. Mediana de una variable ordinal

Tenemos nueve respuestas:

Bajo, Medio, Alto, Bajo, Muy alto, Medio, Alto, Alto, Medio

Primero las ordenamos:

La observación central es la quinta:

Mediana = Medio

Podemos obtener una mediana porque la variable posee:

orden.

6.96. ¿Y la media de códigos ordinales?

Supongamos tres respuestas:

Bajo · Medio · Alto

Primera codificación:

Bajo = 1    Medio = 2    Alto = 3

Media = (1 + 2 + 3) / 3 = 2

Ahora utilizamos otra codificación que conserva exactamente el mismo orden:

Bajo = 1    Medio = 2    Alto = 10

Media = (1 + 2 + 10) / 3 = 4,33

En este curso, para categorías ordinales individuales, priorizaremos:

frecuencias · porcentajes · moda · mediana · posiciones

6.97. Gráficos para variables ordinales

Un gráfico muy útil es:

el gráfico de barras ordenadas.

También pueden utilizarse, según el propósito:

6.98. Nominal frente a ordinal

6.99. Clasifica paso a paso

6.100. Errores frecuentes

Actividad de clasificación

Actividad autónoma

Síntesis

Referencias

6.101. Recordemos dónde estamos

Hasta ahora hemos recorrido dos niveles:

El siguiente paso consiste en preguntar:

6.102. Tercer nivel: escala de intervalo

6.103. El ejemplo clásico: temperatura en grados Celsius

Consideremos cuatro temperaturas:

Calculemos dos diferencias.

En ambos casos el cambio de temperatura es:

2 °C

Por eso decimos que la escala posee:

intervalos iguales.

6.104. ¿Qué significa «intervalos iguales»?

Observemos esta escala:

Una diferencia de:

10 unidades

tiene el mismo significado cuantitativo en cualquier zona de la escala.

6.105. El cero en la escala de intervalo

Aquí aparece la característica que distingue la escala de intervalo de la escala de razón.

En la escala Celsius:

0 °C

no significa:

«no existe temperatura».

Es simplemente un punto definido dentro de esa escala.

6.106. Una prueba muy poderosa: cambiar de Celsius a Fahrenheit

La relación entre ambas escalas es:

Tomemos:

10 °C y 20 °C

En Fahrenheit:

En Celsius:

20 / 10 = 2

Pero en Fahrenheit:

68 / 50 = 1,36

6.107. En una escala de intervalo, las diferencias sí se conservan

Comparemos:

20 °C − 10 °C = 10 °C de diferencia

En Fahrenheit:

68 °F − 50 °F = 18 °F de diferencia

Aunque el número de unidades cambia porque el tamaño del grado es diferente, ambas diferencias representan el mismo cambio físico de temperatura.

6.108. ¿Qué operaciones tienen sentido?

6.109. La media en una escala de intervalo

Consideremos tres temperaturas:

10 °C, 20 °C y 30 °C

La media es:

Si convertimos las tres temperaturas a Fahrenheit:

50 °F, 68 °F y 86 °F

su media es:

x̄ = 68 °F

y:

68 °F = 20 °C.

6.110. Una advertencia importante: las respuestas tipo Likert

En encuestas aparecen con frecuencia categorías como:

Los números están ordenados, pero eso no demuestra automáticamente que la distancia psicológica entre:

1 y 2

sea exactamente igual a la distancia entre:

4 y 5.

6.111. Intervalo no significa necesariamente variable continua

Hay dos preguntas diferentes:

6.112. Cuarto nivel: escala de razón

Ahora añadimos una propiedad decisiva:

6.113. Ejemplo: longitud

Consideremos dos longitudes:

Podemos calcular:

4 m / 2 m = 2

y afirmar:

6.114. ¿Por qué funciona «el doble»?

Cambiemos ahora de metros a centímetros.

2 m = 200 cm

4 m = 400 cm

La razón sigue siendo:

400 / 200 = 2

6.115. El significado del cero

Para una longitud:

0 m

indica:

longitud nula.

Para una cantidad de objetos:

0 objetos

significa:

ausencia de objetos contados.

Para tiempo transcurrido desde el inicio de un experimento:

t = 0 s

corresponde al:

instante de inicio de la duración que estamos midiendo.

6.116. Tiempo del reloj y tiempo transcurrido no son lo mismo

Esta distinción es muy útil.

6.117. Celsius frente a Kelvin

Celsius y Kelvin ilustran perfectamente la diferencia entre intervalo y razón.

La relación entre ambas escalas es:

6.118. ¿Es 400 K el doble de 200 K?

Sí, si nos referimos específicamente a:

temperatura termodinámica.

En una escala absoluta de temperatura:

400 K / 200 K = 2

por lo que:

En el Sistema Internacional, el kelvin, símbolo K, es la unidad de temperatura termodinámica y su definición actual se establece fijando el valor numérico de la constante de Boltzmann (BIPM, 2026).

6.119. Ejemplos claros de variables de razón

6.120. Masa y peso: no son exactamente lo mismo

Es frecuente escuchar:

En física, el kilogramo es unidad de:

masa.

El peso es una fuerza y se expresa, en el Sistema Internacional, en:

newtons (N).

6.121. No toda variable con cero es automáticamente de razón

Debemos observar el significado del cero, no simplemente comprobar si aparece el número:

0.

6.122. ¿Puede una variable de razón tener valores negativos?

No debemos aprender como regla automática:

La clasificación depende de:

qué magnitud se define, cuál es su origen y qué transformaciones conservan su significado.

En los ejemplos introductorios utilizaremos magnitudes de razón claramente no negativas, como:

6.123. Operaciones en una escala de razón

6.124. Las cuatro escalas reunidas

6.125. Un método paso a paso para identificar la escala

6.126. Clasificación guiada paso a paso

6.127. Errores frecuentes

6.128. Actividad: ¿intervalo o razón?

6.129. ¿Verdadero o falso?

6.130. Reto de razonamiento

Síntesis

Referencias

6.131. Comencemos con datos reales

Supongamos que preguntamos la edad a diez estudiantes y obtenemos las respuestas exactamente en este orden:

¿Qué podemos hacer con esta información?

Podríamos comenzar inmediatamente a calcular promedios, pero existe una estrategia más inteligente:

6.132. ¿Qué son los datos en bruto?

Los valores obtenidos directamente durante la recolección reciben nombres como:

6.133. Un dato sin contexto puede decir muy poco

Observemos este número:

72

¿Qué significa?

El número es el mismo, pero su significado cambia completamente.

6.134. Del individuo al dato

6.135. Las filas de una base de datos deben permanecer juntas

Supongamos que registramos:

Los tres valores de la primera fila pertenecen a:

Ana.

Por ello, si ordenamos la información, no debemos mover solamente la columna «Edad».

6.136. El orden original también puede contener información

Consideremos temperaturas registradas durante un día:

Si escribimos únicamente:

18 · 21 · 22 · 25 · 26 · 28

conocemos el orden de las temperaturas, pero ya no vemos inmediatamente a qué hora se produjo cada una.

6.137. Ordenación de los datos

6.138. Ordenemos las edades paso a paso

Datos originales:

Paso 1. Buscamos el menor valor:

13

Paso 2. Después aparecen los valores 14:

14 · 14 · 14

Paso 3. Luego los valores 15:

15 · 15 · 15 · 15

Paso 4. Finalmente los valores 16:

16 · 16

El orden creciente es:

6.139. ¿Qué podemos descubrir al ordenar?

Además, ordenar los datos será indispensable más adelante para estudiar:

mediana · cuartiles · deciles · percentiles

6.140. Mínimo

El menor valor observado recibe el nombre de:

mínimo

Lo representaremos como:

6.141. Máximo

El mayor valor observado recibe el nombre de:

máximo

6.142. El rango o recorrido

Una primera forma de describir la extensión de un conjunto de datos es mediante el:

rango

también llamado:

recorrido.

6.143. Calculemos el rango paso a paso

Sabemos que:

x_máx = 16 años

x_mín = 13 años

Sustituimos:

6.144. Interpretar es tan importante como calcular

No basta con escribir:

R = 3 años.

Debemos explicar qué significa.

El rango conserva las mismas unidades de la variable.

6.145. El rango es útil, pero no cuenta toda la historia

Comparemos dos conjuntos:

Ambos tienen el mismo rango:

R = 8

pero su distribución interna es completamente diferente.

6.146. Datos no agrupados

Por ejemplo:

13 · 14 · 14 · 14 · 15 · 15 · 15 · 15 · 16 · 16

son datos:

ordenados y no agrupados.

6.147. Los datos no agrupados pueden analizarse directamente

Con datos individuales podemos calcular, entre otras medidas:

Por tanto:

6.148. Tres formas de presentar un mismo conjunto

6.149. ¿Por qué agrupamos los datos?

Imaginemos una lista de:

500 mediciones.

Una lista tan extensa puede dificultar la identificación de patrones.

Al organizar o agrupar intentamos responder preguntas como:

El análisis exploratorio de datos utiliza precisamente resúmenes y representaciones que ayudan a descubrir características relevantes antes de imponer modelos más complejos (Tukey, 1977; NIST/SEMATECH, s. f.).

6.150. Categoría, clase e intervalo de clase

Estos términos están relacionados, pero conviene distinguirlos.

6.151. ¿Qué son datos agrupados?

Supongamos estas cuatro estaturas:

151,2 cm · 152,7 cm · 153,6 cm · 154,4 cm

Podemos resumirlas en un intervalo:

Ahora conocemos cuántas observaciones existen en ese intervalo, pero ya no vemos inmediatamente los cuatro valores individuales.

6.152. Agrupar: ganamos claridad, perdemos detalle

OpenStax señala que, cuando los datos están agrupados, los valores individuales dejan de conocerse con precisión y algunas medidas deben estimarse mediante la información representativa de cada intervalo (Illowsky & Dean, 2023).

6.153. Un agrupamiento demasiado amplio puede ocultar patrones

Consideremos:

61 · 61 · 61 · 61 · 69 · 69 · 69 · 69

Si construimos una sola clase:

60–69

obtenemos:

8 observaciones.

Pero hemos ocultado que existen dos concentraciones muy distintas:

6.154. Demasiados intervalos también pueden ser un problema

Imaginemos ahora:

100 datos distribuidos en 50 intervalos.

Podríamos obtener muchas clases con:

0, 1 o 2 observaciones.

La información quedaría excesivamente fragmentada.

6.155. ¿Debemos agrupar automáticamente cuando n ≥ 30?

En algunos textos introductorios se utiliza una regla práctica semejante a:

Esta regla puede servir como una orientación inicial en algunos ejercicios escolares, pero no debe enseñarse como una ley estadística universal.

Pensemos:

n = 29

Añadimos una sola observación:

n = 30.

La naturaleza del conjunto no cambia repentinamente por la aparición de un único dato.

6.156. Muchos datos pueden no necesitar intervalos

Supongamos:

n = 1000 personas

y la variable:

¿Tiene licencia de conducción?

con dos categorías:

Aunque existan mil observaciones, no necesitamos construir intervalos numéricos.

Simplemente contaremos:

cuántos respondieron Sí y cuántos respondieron No.

6.157. Una variable discreta con pocos valores puede conservarse sin intervalos

Tenemos:

100 estudiantes

y la variable:

número de hermanos.

Los únicos valores observados son:

0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

Podría ser mucho más informativo conservar esos seis valores y contar sus frecuencias que crear intervalos como:

0–1 · 2–3 · 4–5

porque este último agrupamiento ocultaría diferencias que todavía son fáciles de observar.

6.158. Pocos datos también pueden agruparse

Consideremos:

25 mediciones continuas

registradas con bastante precisión.

Si nuestro propósito es visualizar la distribución, puede resultar útil construir algunos intervalos, aunque:

n < 30.

6.159. ¿Cuándo puede resultar útil agrupar?

Antes de agrupar conviene considerar varios aspectos.

GAISE II recomienda que el análisis de datos esté guiado por preguntas y por el reconocimiento de la variabilidad, en lugar de reducirse a procedimientos mecánicos (Bargagliotti et al., 2020).

6.160. Una regla de decisión más útil

6.161. El rango nos prepara para construir intervalos

Si decidimos agrupar una variable cuantitativa necesitamos saber primero:

¿desde dónde hasta dónde se extienden los datos?

Para ello utilizamos:

Supongamos edades comprendidas entre:

60 y 74 años.

Entonces:

Ahora conocemos la extensión total, pero todavía quedan varias preguntas:

6.162. Rango, número de clases y amplitud no son lo mismo

6.163. Ruta de trabajo antes de construir intervalos

6.164. Primero comprender, después automatizar

Una hoja de cálculo puede ordenar cientos o miles de datos en pocos segundos.

También puede calcular:

Sin embargo, utilizar una función sin comprender qué significa puede producir respuestas numéricamente correctas pero conceptualmente mal interpretadas.

6.165. Ordenar correctamente en una hoja de cálculo

Partimos de:

Al ordenar por edad, el resultado correcto es:

Las filas completas cambiaron de posición.

Por tanto:

6.166. Errores frecuentes

6.167. Comprueba lo aprendido

6.168. Actividad: conservar el contexto

Ordenando de menor a mayor sin separar los datos de su día correspondiente:

6.169. ¿Agruparías o no?

6.170. Ejercicio de aplicación

6.171. Ejercicio de razonamiento

La respuesta a la última pregunta es:

No.

Este resultado anticipa por qué más adelante necesitaremos medidas de dispersión más completas.

Síntesis

Referencias

6.172. ¿Qué problema vamos a resolver?

Supongamos que hemos registrado los tiempos, en minutos, empleados por 32 estudiantes para realizar una actividad:

La lista todavía puede leerse, pero queremos aprender un procedimiento que también pueda aplicarse cuando tengamos:

Nuestro objetivo será construir intervalos que permitan resumir esos 32 valores sin perder innecesariamente la estructura de los datos.

6.173. ¿Cómo debería ser un buen conjunto de intervalos?

Antes de calcular nada, establezcamos las condiciones que deseamos cumplir.

6.174. Paso 1: determinar el número de datos

Contamos las observaciones:

Como estamos trabajando con una muestra, utilizamos:

n

Si los datos correspondieran a toda la población, podríamos utilizar:

N.

6.175. Paso 2: identificar el mínimo y el máximo

El menor valor observado es:

El mayor valor observado es:

6.176. Paso 3: calcular el rango

Ya conocemos:

n = 32   ·   x_mín = 42   ·   x_máx = 59   ·   R = 17

Ahora llega una de las decisiones más importantes:

6.177. El número de clases no tiene una única respuesta correcta

El número de clases suele representarse mediante:

k

Podríamos preguntarnos:

Varias elecciones pueden ser razonables.

6.178. Primer criterio: decisión práctica

Una orientación sencilla consiste en utilizar una cantidad moderada de clases. Por ejemplo, en análisis introductorios suelen aparecer recomendaciones aproximadas como:

6.179. Segundo criterio: raíz cuadrada

Una regla sencilla utiliza:

Para:

n = 32

tenemos:

k ≈ √32 ≈ 5,66

Una elección posible sería:

k = 6 clases.

6.180. Tercer criterio: regla de Sturges

Herbert A. Sturges propuso en 1926 una regla para estimar un número conveniente de intervalos.

donde:

6.181. Sturges paso a paso

Tenemos:

n = 32

Podemos aprovechar que:

32 = 2⁵

Por tanto:

log₂(32) = 5

Aplicamos Sturges:

6.182. Sturges es una guía, no una ley

Esta distinción es fundamental.

Dos distribuciones con el mismo número de datos pueden tener formas completamente distintas.

Por eso, después de construir los intervalos, debemos observar si la representación:

El propio desarrollo posterior de la teoría de histogramas ha producido otros criterios para seleccionar anchos de clase, entre ellos los de Scott y Freedman–Diaconis.

Los estudiaremos como profundización cuando ya conozcamos la desviación estándar y el rango intercuartílico.

6.183. Paso 4: calcular la amplitud teórica

Ya tenemos:

R = 17 min

k = 6

La amplitud teórica se obtiene dividiendo el rango entre el número de clases:

6.184. ¿Debemos construir intervalos de 2,83 minutos?

Matemáticamente podríamos hacerlo.

Pero obtendríamos límites como:

42,00 · 44,83 · 47,66 · 50,49…

para datos que originalmente fueron registrados en minutos enteros.

Esto haría la tabla innecesariamente incómoda.

C = 3 min

6.185. Una comprobación que evita errores

Si utilizamos:

6 clases de 3 minutos

la cobertura total será:

El rango es:

R = 17 min.

Como:

18 ≥ 17

la amplitud elegida es suficiente para cubrir los datos.

6.186. Resolución de los datos: una corrección importante

Nuestros tiempos aparecen como:

42, 43, 44, 45, …

y fueron registrados en minutos enteros.

Por tanto, su unidad mínima de registro es:

1 min.

6.187. ¿Por qué no llamaremos «precisión» a la unidad mínima de registro?

En estadística y metrología, la palabra:

precisión

posee un significado relacionado con el grado de concordancia o dispersión de mediciones repetidas.

Para evitar confusiones, en esta sección utilizaremos preferentemente expresiones como:

6.188. Paso 5: construir los límites de clase

Nuestro mínimo es:

42 min

y hemos elegido una amplitud de:

3 min.

Como los datos fueron registrados en minutos enteros, podemos construir:

6.189. Límite inferior y límite superior

6.190. Comprobemos que ningún dato queda por fuera

El primer intervalo contiene el mínimo:

42

y el último contiene el máximo:

59.

6.191. Ahora aparece una pregunta más profunda

Nuestro primer intervalo está escrito:

42–44

y el siguiente:

45–47.

Pero si la variable subyacente fuera continua, ¿qué haríamos con:

44,6?

Para resolver este problema necesitamos distinguir entre:

límites escritos

y

fronteras reales.

6.192. Fronteras de clase

Nuestros datos fueron registrados con resolución de:

1 minuto.

La mitad de esa unidad es:

0,5 minuto.

Por tanto, un valor registrado como:

42 min

representa, bajo redondeo al minuto más próximo, valores situados aproximadamente entre:

41,5 min y 42,5 min.

6.193. Calculemos la frontera entre dos clases

Tenemos:

primera clase: 42–44

segunda clase: 45–47

La frontera se encuentra a mitad de camino entre:

44 y 45.

6.194. Fronteras de todas las clases

6.195. El ancho se ve con claridad usando las fronteras

Primera clase:

41,5 ≤ x < 44,5

Su amplitud es:

Segunda clase:

44,5 ≤ x < 47,5

nuevamente:

C = 47,5 − 44,5 = 3 min.

6.196. Una notación que elimina la ambigüedad

Para variables continuas es especialmente útil escribir los intervalos de forma:

Esto significa que la primera clase:

incluye 41,5

pero:

no incluye 44,5.

El valor 44,5 pertenecerá a la segunda clase.

6.197. Paso 6: calcular la marca de clase

La representaremos mediante:

x_i

Su fórmula es:

6.198. Primera marca de clase, paso a paso

Primera clase:

42–44

Sumamos sus límites:

42 + 44 = 86

Dividimos entre 2:

86 / 2 = 43

El valor 43 representa a toda la primera clase cuando sea necesario trabajar con un único valor representativo.

6.199. Marcas de todas las clases

6.200. La tabla estructural completa

Ya tenemos todos los elementos necesarios para describir la estructura de las clases.

6.201. Dos maneras de escribir una misma clase

La primera forma resulta cómoda cuando los datos fueron registrados como enteros.

La segunda expresa con mayor claridad la región continua representada por la clase.

6.202. ¿Qué ocurre si los datos se registraron con décimas?

Supongamos ahora valores como:

62,1 · 62,4 · 62,7 · 63,0 · 63,2

La resolución de registro es:

0,1 unidad.

La mitad es:

0,05.

Por ello, si una clase tuviera límites escritos:

62,1–62,9

las fronteras correspondientes serían:

62,05–62,95.

6.203. El error de usar siempre ±0,5

6.204. Intervalos abiertos

Ejemplos:

Son útiles cuando interesa reunir todos los valores extremos en una sola categoría.

6.205. ¿Deben quedar clases vacías?

Una clase vacía es aquella cuya frecuencia es:

0.

En algunos ejercicios podemos tratar de evitar una cantidad excesiva de clases vacías.

Pero una clase vacía no es necesariamente un error.

6.206. Muy pocas clases pueden ocultar información

Imaginemos que una distribución posee dos grupos claramente separados.

Si utilizamos solamente:

2 clases

podríamos fusionar ambos grupos y no detectar la estructura.

6.207. Demasiadas clases pueden producir ruido visual

En el extremo contrario, si creamos una clase para casi cada observación:

la distribución queda excesivamente fragmentada.

6.208. El mismo conjunto puede producir representaciones diferentes

Una característica fundamental de los histogramas es que su apariencia depende del ancho y del origen de los intervalos.

6.209. Otras reglas para histogramas

La regla de Sturges no es el único método disponible.

En estadística existen otros procedimientos, entre ellos:

Todavía no hemos estudiado formalmente la desviación estándar ni el rango intercuartílico.

Por eso no aplicaremos todavía estas fórmulas.

6.210. Procedimiento completo, paso a paso

6.211. Resolvamos todo el ejemplo de una sola vez

6.212. Errores frecuentes

6.213. Ejemplo guiado 2

Se registraron 20 longitudes en centímetros.

Sabemos que:

Paso 1. Rango

R = 169 − 150 = 19 cm

Paso 2. Número orientativo de clases mediante Sturges

k = 1 + 3,322 log₁₀(20)

k ≈ 5,32

Podemos utilizar:

k = 5 clases.

Paso 3. Amplitud teórica

C = 19/5 = 3,8 cm

Elegimos una amplitud sencilla:

C = 4 cm.

Podríamos construir:

6.214. Actividad autónoma

6.215. Reto de razonamiento

6.216. El gran mapa conceptual

Síntesis

Referencias

6.217. Retomemos los intervalos de la parte anterior

En la Parte 7 construimos seis clases para los tiempos, en minutos, empleados por 32 estudiantes:

Los intervalos fueron:

Ahora formulamos una pregunta para cada clase:

6.218. ¿Qué es una distribución de frecuencias?

La palabra:

frecuencia

responde esencialmente a:

¿cuántas veces?

6.219. Antes de la fórmula: contemos manualmente

Comencemos con la primera clase:

42–44

Buscamos en los datos los valores:

42 · 43 · 44

Encontramos:

En total:

3 datos.

6.220. Frecuencia absoluta

La representaremos mediante:

f_i

Para la primera clase:

6.221. Contemos todas las clases

6.222. Primera comprobación fundamental

Si cada dato pertenece a una sola clase y ninguno quedó por fuera, entonces la suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al número total de observaciones.

6.223. Frecuencia absoluta acumulada

A veces no queremos saber únicamente cuántos datos hay en una clase.

Queremos responder preguntas como:

La representaremos mediante:

F_i

6.224. Construcción paso a paso de F_i

Primera clase:

F₁ = f₁ = 3

Segunda clase:

F₂ = 3 + 5 = 8

Tercera clase:

F₃ = 8 + 5 = 13

Cuarta clase:

F₄ = 13 + 7 = 20

Quinta clase:

F₅ = 20 + 6 = 26

Sexta clase:

F₆ = 26 + 6 = 32

6.225. Tabla con frecuencias absolutas y acumuladas

6.226. ¿Cómo interpretamos F₄ = 20?

La cuarta clase es:

51–53 min

Su frecuencia acumulada es:

F₄ = 20

Por tanto:

Utilizando las fronteras continuas de la tabla anterior, la misma información puede expresarse como:

20 observaciones están por debajo de 53,5 min.

6.227. Frecuencia relativa

La frecuencia absoluta responde:

¿cuántos?

La frecuencia relativa responde:

¿qué parte del total?

6.228. Calculemos h₁ paso a paso

Para la primera clase:

f₁ = 3

y:

n = 32.

Entonces:

Esto significa que la primera clase contiene:

0,09375 del total.

6.229. Frecuencias relativas de todas las clases

6.230. Segunda comprobación fundamental

Las frecuencias relativas representan partes del mismo total.

Por tanto:

En nuestro ejemplo:

0,09375 + 0,15625 + 0,15625 + 0,21875 + 0,18750 + 0,18750 = 1

6.231. Frecuencia porcentual

Las frecuencias relativas pueden expresarse en porcentaje.

Para la primera clase:

0,09375 × 100 = 9,375 %

significa:

6.232. Porcentajes de todas las clases

6.233. Tercera comprobación fundamental

6.234. Frecuencia relativa acumulada

La representaremos mediante:

H_i

Podemos calcularla de dos maneras equivalentes:

6.235. Calculemos H₄ paso a paso

Sabemos que:

F₄ = 20

y:

n = 32.

Entonces:

Esto equivale a:

62,5 %

6.236. Porcentaje acumulado

Multiplicamos H_i por 100:

Para la cuarta clase:

0,625 × 100 = 62,5 %

6.237. Frecuencias acumuladas completas

6.238. La tabla de frecuencias completa

Reunamos ahora toda la información.

6.239. Aprendamos a leer una fila horizontalmente

Tomemos la cuarta fila:

6.240. Aprendamos a leer una columna verticalmente

Si observamos solamente la columna f_i:

3 · 5 · 5 · 7 · 6 · 6

podemos preguntar:

¿cuál es la frecuencia más grande?

La respuesta es:

7

y corresponde al intervalo:

51–53 min.

6.241. Clase modal no es exactamente lo mismo que moda

En nuestro ejemplo:

f_máx = 7

por lo tanto:

6.242. Algunas conclusiones que ya podemos obtener

El propósito fundamental de una tabla de frecuencias no es llenar columnas.

6.243. Una tabla de frecuencias también puede hacerse sin intervalos

Supongamos que estudiamos el número de hermanos de 20 estudiantes.

Los únicos valores observados son:

0 · 1 · 2 · 3 · 4

Como existen pocos valores distintos, podemos conservar cada valor individual.

6.244. Frecuencias de una variable nominal

También podemos construir tablas de frecuencias para variables cualitativas.

Por ejemplo, medio principal de transporte de 40 estudiantes:

6.245. ¿Por qué no acumulamos normalmente una variable nominal?

Para la variable:

medio de transporte

las categorías:

Bus · Metro · Bicicleta · Caminando

no poseen un orden natural único.

Podríamos escribirlas en otro orden:

Bicicleta · Caminando · Bus · Metro

sin cambiar la variable.

6.246. ¿Cuándo tiene sentido acumular?

6.247. El redondeo puede hacer que los porcentajes parezcan incorrectos

En nuestra tabla exacta tenemos:

9,375 % · 15,625 % · 15,625 % · 21,875 % · 18,750 % · 18,750 %

La suma es:

100,000 %.

Si redondeamos cada porcentaje a dos decimales:

9,38 % · 15,63 % · 15,63 % · 21,88 % · 18,75 % · 18,75 %

la suma es:

100,02 %.

¿Está mal la tabla?

No.

6.248. La última frecuencia acumulada tiene un significado especial

En la última clase:

F₆ = 32

H₆ = 1

H₆% = 100 %

Esto ocurre porque, al llegar a la última clase, ya hemos acumulado:

6.249. Las frecuencias acumuladas nunca deben disminuir

Observemos:

3 → 8 → 13 → 20 → 26 → 32

Cada nueva clase agrega observaciones.

Por tanto, una secuencia como:

3 → 8 → 13 → 11 → 26 → 32

revelaría un error.

6.250. Cuatro preguntas, cuatro columnas

6.251. Fórmulas esenciales

6.252. Las comprobaciones que nunca deberían faltar

6.253. ¿Qué ocurre si las clases tienen amplitudes diferentes?

Una tabla puede contener clases con amplitudes distintas.

Sin embargo, esa decisión exige especial cuidado al construir posteriormente un histograma.

Este problema se estudiará en la siguiente parte, dedicada a las representaciones gráficas.

6.254. Errores frecuentes

6.255. Ejemplo guiado

Consideremos la siguiente distribución:

Paso 1. Total

n = 4 + 6 + 10 + 5 = 25

Paso 2. Frecuencias acumuladas

4 · 10 · 20 · 25

Paso 3. Frecuencias relativas

0,16 · 0,24 · 0,40 · 0,20

Paso 4. Porcentajes

16 % · 24 % · 40 % · 20 %

Paso 5. Interpretación

6.256. Actividad autónoma

6.257. Reto de interpretación

6.258. Del procedimiento a la interpretación

Síntesis

Referencias

6.259. De la tabla a la imagen

En la parte anterior construimos esta distribución de frecuencias:

La tabla contiene toda la información necesaria, pero algunas características pueden percibirse con mayor rapidez cuando las transformamos en una imagen.

6.260. Antes de elegir un gráfico, hagamos tres preguntas

6.261. Gráfico de barras

Retomemos el medio de transporte de 40 estudiantes:

6.262. ¿Qué podemos leer inmediatamente?

6.263. Las barras deben estar separadas

En una variable nominal como:

Bus · Metro · Bicicleta · Caminando

cada categoría es distinta de las demás.

6.264. Variables ordinales: barras sí, pero conservando el orden

Para una variable ordinal:

Muy bajo → Bajo → Medio → Alto → Muy alto

el orden forma parte de la información.

6.265. Gráfico de sectores

Volvamos al ejemplo del transporte:

6.266. Cómo calcular el ángulo de un sector

Un círculo completo posee:

360°

Para la categoría Bus:

h = 15/40 = 0,375

entonces:

De forma general:

Ángulo = h_i × 360°

6.267. ¿Cuándo conviene un gráfico de sectores?

6.268. Pictogramas

Supongamos:

● = 2 estudiantes

6.269. ¿Gráfico de líneas para categorías nominales?

Si colocamos:

Rojo · Azul · Verde · Amarillo

y unimos sus frecuencias mediante una línea, la unión visual puede sugerir que existe una secuencia continua entre las categorías.

El gráfico de líneas cobra especial sentido cuando el eje horizontal posee una secuencia natural, particularmente:

tiempo.

6.270. Gráfico de líneas y series temporales

Supongamos que registramos la temperatura de una habitación:

6.271. Diagrama de puntos

Cuando tenemos pocos datos cuantitativos, un diagrama de puntos puede conservar mucha información individual.

Consideremos:

1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 4 · 4

Podemos ver inmediatamente:

6.272. El histograma

En nuestro ejemplo tenemos:

f_i = 3 · 5 · 5 · 7 · 6 · 6

6.273. ¿Por qué las barras del histograma se tocan?

Comparemos:

6.274. Barras e histogramas no son lo mismo

6.275. ¿Qué nos permite observar un histograma?

El histograma es una herramienta fundamental del análisis exploratorio porque puede revelar varias características de la distribución.

NIST describe el histograma como una técnica gráfica para resumir la información de la distribución de una variable y utilizarla para explorar su forma y variabilidad.

6.276. Simetría y asimetría: primera mirada

6.277. El histograma depende de los intervalos

El mismo conjunto de datos puede parecer diferente cuando modificamos:

6.278. Histogramas con intervalos de diferente amplitud

Este tema requiere especial atención.

Supongamos dos clases:

Ambas clases contienen:

20 observaciones.

Pero la segunda clase tiene el doble de ancho.

Si construimos las dos barras con altura 20, la segunda tendrá el doble de área y el gráfico sugerirá erróneamente una frecuencia mayor.

6.279. Densidad de frecuencia

Para conservar correctamente el área podemos utilizar:

Primera clase:

20/10 = 2

Segunda clase:

20/20 = 1

Entonces:

Las áreas son:

10 × 2 = 20

20 × 1 = 20.

6.280. Polígono de frecuencias

Nuestras marcas de clase son:

43 · 46 · 49 · 52 · 55 · 58

y las frecuencias:

3 · 5 · 5 · 7 · 6 · 6.

El polígono facilita observar la forma general y puede resultar especialmente útil para comparar dos distribuciones utilizando las mismas clases.

6.281. Ojiva o curva de frecuencia acumulada

Para nuestro ejemplo:

F_i = 3 · 8 · 13 · 20 · 26 · 32

y:

9,375 % · 25 % · 40,625 % · 62,5 % · 81,25 % · 100 %

6.282. ¿Qué preguntas puede responder una ojiva?

6.283. Diagrama de caja y bigotes: una primera mirada

Más adelante estudiaremos formalmente:

Q₁ · mediana · Q₃ · rango intercuartílico

Con estos valores podremos construir uno de los gráficos más compactos de la estadística:

el diagrama de caja y bigotes.

6.284. ¿Qué puede mostrarnos un diagrama de caja?

El diagrama de caja es especialmente útil para comparar varias distribuciones ocupando poco espacio. Tukey lo incorporó como una herramienta central del análisis exploratorio de datos.

6.285. Un punto fuera de los bigotes no debe eliminarse automáticamente

En muchos diagramas de caja se señalan como potencialmente atípicos los valores situados más allá de ciertas fronteras basadas en:

1,5 × RIC

donde RIC es el rango intercuartílico.

Un valor extremo podría corresponder a:

6.286. ¿Qué gráfico elegir?

6.287. Un gráfico también puede engañar

Un gráfico puede contener datos verdaderos y, sin embargo, producir una impresión engañosa.

6.288. Ejes truncados: el mismo dato puede parecer muy distinto

Supongamos dos resultados:

Grupo A = 70     Grupo B = 80

Un eje truncado no es siempre incorrecto, pero debe utilizarse con cuidado y mostrarse claramente.

6.289. Otras formas de distorsionar una gráfica

6.290. Anatomía de un buen gráfico

6.291. Presentación de figuras en este curso

Mantendremos una estructura uniforme:

De manera semejante, las tablas mantienen:

número → título → tabla → nota cuando sea necesaria.

6.292. La gráfica debe responder una pregunta

Consideremos nuevamente nuestro histograma.

En vez de limitarnos a decir:

debemos intentar extraer información:

La interpretación debe limitarse a lo que los datos permiten afirmar.

6.293. Primero mirar, después calcular

Una filosofía central del análisis exploratorio consiste en inspeccionar los datos antes de aplicar procedimientos más complejos.

GAISE II enfatiza precisamente que el aprendizaje estadístico debe centrarse en formular preguntas, considerar la variabilidad, analizar datos e interpretar resultados dentro de un contexto, utilizando representaciones como parte del razonamiento y no como decoración.

6.294. Errores frecuentes

6.295. Actividad guiada: elegir el gráfico correcto

6.296. Actividad de interpretación

6.297. Reto: descubre el gráfico engañoso

6.298. Mapa general de las representaciones estudiadas

Síntesis

Referencias

6.299. Un mismo conjunto puede tener varios «centros»

Consideremos las edades de diez estudiantes:

Podemos intentar describir el centro de varias maneras:

Ninguno de estos números apareció por casualidad. Cada uno se obtiene mediante una regla distinta y resume un aspecto diferente de los datos.

6.300. La media aritmética

Para una muestra utilizaremos:

x̄

y escribiremos:

donde:

6.301. Media poblacional y media muestral

6.302. Calculemos una media paso a paso

Tomemos:

6 · 7 · 8 · 9 · 10

Paso 1. Sumamos todos los valores

6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40

Paso 2. Contamos los datos

n = 5

Paso 3. Dividimos

6.303. La media como reparto equitativo

Imaginemos que cinco personas poseen:

6 · 7 · 8 · 9 · 10 fichas

En total poseen:

40 fichas.

Si redistribuyéramos todas las fichas de manera equitativa:

6.304. La media como punto de equilibrio

Otra interpretación muy importante consiste en pensar la media como un punto de equilibrio.

Para:

6 · 7 · 8 · 9 · 10

la media es:

8.

Las desviaciones respecto de 8 son:

Las desviaciones negativas y positivas se equilibran.

6.305. La media puede no ser un dato observado

Consideremos el número de hijos de cuatro familias:

1 · 2 · 2 · 3

La media es:

x̄ = 8/4 = 2

que sí aparece en los datos.

Pero para:

1 · 2 · 2 · 4

tenemos:

x̄ = 9/4 = 2,25.

Ninguna familia tiene exactamente 2,25 hijos.

6.306. La media utiliza todos los datos

Consideremos:

10 · 11 · 12 · 13 · 14

La media es:

12.

Cambiemos únicamente el último dato:

10 · 11 · 12 · 13 · 100

Ahora:

x̄ = 146/5 = 29,2.

El cambio de una sola observación alteró fuertemente la media.

6.307. Valores extremos y media

6.308. La mediana

6.309. Mediana cuando n es impar

Consideremos:

3 · 5 · 7 · 8 · 12

Hay:

n = 5

observaciones.

La posición central es:

El tercer dato es:

7

6.310. Mediana cuando n es par

Consideremos:

3 · 5 · 7 · 8 · 12 · 15

Tenemos:

n = 6.

No existe un único dato central.

Los dos valores centrales son:

Promediamos estos dos valores:

6.311. La mediana frente a un valor extremo

Retomemos:

La media cambió:

12 → 29,2

mientras que la mediana permaneció:

12.

6.312. Un ejemplo donde la mediana describe mejor el centro

Supongamos los ingresos mensuales de cinco personas, en millones de pesos:

2 · 2,2 · 2,4 · 2,7 · 30

La media es:

x̄ = 7,86 millones

mientras que la mediana es:

Mediana = 2,4 millones.

Cuatro de las cinco personas ganan menos de 3 millones, de modo que la media es arrastrada fuertemente hacia arriba por el ingreso de 30 millones.

6.313. La moda

Ejemplo:

2 · 3 · 3 · 4 · 4 · 4 · 5

El valor:

4

aparece tres veces, más que cualquier otro.

6.314. La moda puede ser una categoría

La moda tiene una característica especial:

Por ejemplo:

6.315. Unimodal, bimodal y multimodal

6.316. ¿Puede no haber moda?

Consideremos:

1 · 2 · 3 · 4 · 5

Cada valor aparece una vez.

En este caso diremos que el conjunto:

no presenta una moda única.

6.317. Punto medio del rango

Para:

13 · 14 · 14 · 15 · 16

tenemos:

x_mín = 13     y     x_máx = 16

entonces:

6.318. Una medida muy sensible a los extremos

Compare:

Esta medida utiliza solamente:

mínimo + máximo.

Ignora todos los valores intermedios.

6.319. Comparemos las cuatro medidas

6.320. ¿Qué medidas permiten los distintos niveles de medición?

La medida de centro que podemos interpretar depende también del tipo de variable.

6.321. Media cuando los datos se repiten

Supongamos:

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 4 · 5 · 5

Podríamos sumarlos uno por uno.

Pero también podemos construir:

Por tanto:

6.322. La media con frecuencias es una media ponderada

En:

Σx_if_i

cada valor x_i aparece tantas veces como indique su frecuencia.

Esta idea será útil en numerosos contextos: notas con diferentes porcentajes, promedios de grupos de distinto tamaño y cálculos con tablas de frecuencias.

6.323. Ejemplo de media ponderada

Una calificación final se obtiene así:

6.324. Media para datos agrupados en intervalos

Cuando los datos se agrupan en intervalos ya no conocemos necesariamente cada valor individual.

Utilizamos entonces la:

marca de clase x_i

como representante de las observaciones de su intervalo.

6.325. Media agrupada del ejemplo de los tiempos

Aplicamos:

6.326. ¿Por qué aparece un error de agrupamiento?

La clase:

54–56

contiene valores que pueden ser 54, 55 o 56.

Pero al calcular la media agrupada suponemos que las seis observaciones de esa clase pueden representarse mediante:

x_i = 55.

6.327. Si conservamos los datos originales, podemos comprobar

Para los 32 tiempos originales:

la suma exacta es:

1 646

y, en este caso particular:

x̄ = 51,4375 min.

La media obtenida mediante marcas de clase también resulta:

51,4375 min.

6.328. Mediana para datos agrupados

En una tabla agrupada no conocemos necesariamente la posición exacta de cada dato dentro del intervalo.

Primero localizamos:

n/2.

Para nuestro ejemplo:

n = 32

entonces:

n/2 = 16.

6.329. Encontrar la clase mediana

La acumulada anterior es:

13

y al terminar la clase 51–53 llegamos a:

20.

Como:

13 < 16 ≤ 20

6.330. Interpolación de la mediana agrupada

Si suponemos una distribución aproximadamente uniforme de los datos dentro de la clase mediana, podemos estimar la mediana mediante:

donde:

6.331. Calculemos la mediana agrupada

Tenemos:

Sustituimos:

6.332. Moda para datos agrupados

De la tabla de frecuencias:

3 · 5 · 5 · 7 · 6 · 6

la mayor frecuencia es:

7.

Corresponde a:

51–53 min.

6.333. Primera aproximación de la moda agrupada

La marca de la clase modal es:

x_i = (51 + 53)/2 = 52 min.

Sin embargo, podemos aprovechar también las frecuencias de las clases vecinas para obtener una estimación interpolada.

6.334. Estimación interpolada de la moda agrupada

donde:

d₁ = f_m − f_anterior

d₂ = f_m − f_posterior.

En nuestro ejemplo:

f_m = 7

f_anterior = 5

f_posterior = 6

entonces:

d₁ = 7 − 5 = 2

d₂ = 7 − 6 = 1.

6.335. Calculemos la moda agrupada

La frontera inferior de la clase modal es:

L = 50,5

y:

C = 3.

6.336. Media, mediana y moda en nuestro ejemplo agrupado

Las tres medidas están próximas, pero no son iguales.

Eso es completamente normal:

6.337. Forma de la distribución y posición de las medidas

La relación entre media y mediana puede proporcionar indicios sobre la forma de una distribución.

6.338. ¿Cuál es la mejor medida?

No existe una medida central que sea siempre superior a las demás.

6.339. No debemos elegir solo una medida por costumbre

Si alguien informa:

«El ingreso promedio es de $7,86 millones»

debemos preguntar:

6.340. Un error peligroso: eliminar valores para mejorar la media

Supongamos:

10 · 11 · 12 · 13 · 100

Puede ser tentador decir:

Ese procedimiento no es válido por sí mismo.

Antes debemos investigar:

6.341. Errores frecuentes

6.342. Ejemplo integrado

Consideremos:

4 · 5 · 5 · 6 · 6 · 6 · 7 · 9

Media

x̄ = 48/8 = 6

Mediana

Los valores centrales son 6 y 6:

Me = (6 + 6)/2 = 6

Moda

Mo = 6

Punto medio del rango

M_R = (4 + 9)/2 = 6,5

6.343. ¿Qué ocurre si añadimos un valor extremo?

Cambiemos 9 por 40:

4 · 5 · 5 · 6 · 6 · 6 · 7 · 40

Esta comparación muestra por qué no debemos hablar simplemente de:

«el promedio»

sin especificar qué medida estamos utilizando.

6.344. Actividad autónoma

6.345. Reto de razonamiento

6.346. Del dato al centro: mapa conceptual

Síntesis

Referencias