5.1. La calculadora no conoce la calidad del experimento

FUNDAMENTAL · ●○○○

Supongamos que una operación produce:

La calculadora puede mostrar nueve cifras después de la coma.

Pero eso solo demuestra que:

No demuestra que el experimento conozca la magnitud hasta nueve posiciones decimales.

La información realmente disponible depende de factores como:

• las mediciones de entrada;
• el instrumento utilizado;
• el procedimiento de medición;
• las correcciones aplicadas;
• la variabilidad observada;
• la incertidumbre asociada al resultado.

5.2. ¿Qué son las cifras significativas?

FUNDAMENTAL · ●○○○

En el contexto de cantidades medidas, las cifras significativas son los dígitos que se conservan para comunicar numéricamente la información que se pretende expresar sobre el valor.

Por ejemplo:

contiene:

mientras que:

contiene:

Desde el punto de vista estrictamente aritmético:

pero como formas de comunicar una cantidad medida, las dos escrituras pueden expresar diferente detalle numérico.

5.3. La idea tradicional del «último dígito estimado»

INTERMEDIO · ●●○○

En muchos textos introductorios se utiliza una regla pedagógica:

Esta idea puede ser útil, especialmente al aprender a leer una escala analógica.

Sin embargo, no debe convertirse en una definición metrológica universal.

En un instrumento digital, por ejemplo, todos los dígitos aparecen automáticamente en la pantalla. Eso no significa que los primeros sean «exactos» y solo el último posea incertidumbre.

La calidad del resultado depende del proceso completo de medición, no de una clasificación visual entre cifras «seguras» e «inseguras».

Tabla 5.1. Tres ideas que conviene separar desde el comienzo

Idea	Pregunta que responde	Qué no debemos concluir
Cifras significativas	¿Cuántos dígitos se conservan para comunicar el valor?	No determinan por sí solas la incertidumbre.
Resolución del instrumento	¿Qué cambio pequeño puede producir un cambio perceptible en la indicación?	No es sinónimo de precisión ni incertidumbre.
Incertidumbre de medida	¿Qué dispersión caracteriza los valores atribuibles al mensurando?	No puede deducirse simplemente contando decimales.

La definición metrológica de resolución se refiere al menor cambio de la magnitud medida que produce un cambio perceptible en la indicación correspondiente (Joint Committee for Guides in Metrology [JCGM], 2012).

5.5. 2,3 y 2,30: iguales como números, diferentes como escritura experimental

La diferencia puede visualizarse observando la posición de la última cifra escrita.

5.6. Resolución decimal de presentación

INTERMEDIO · ●●○○

Para evitar confusiones, en este capítulo utilizaremos la expresión:

para referirnos simplemente al valor posicional de la última cifra escrita.

Por ejemplo:

Esta propiedad pertenece a:

y no necesariamente a:

5.7. Resolución del instrumento y resolución de presentación no son lo mismo

El VIM define la resolución como el menor cambio de la magnitud medida que causa un cambio perceptible en la indicación correspondiente (JCGM, 2012).

Eso significa que:

es una propiedad relacionada con:

mientras que:

describe:

Tabla 5.2. Diferencias entre tres conceptos que suelen confundirse

Concepto	Ejemplo	Interpretación correcta
Resolución del instrumento	0,01 V	Cambio pequeño que puede producir un cambio perceptible en la indicación, según las condiciones del sistema.
Resolución decimal de presentación	4,50 V	La última cifra escrita se encuentra en centésimas de voltio.
Incertidumbre	U=0,06 V	Cantidad evaluada mediante un modelo de incertidumbre y cuyo significado debe especificarse.

5.8. La última cifra escrita no determina automáticamente la incertidumbre

AVANZADO · ●●●○

Consideremos:

La última cifra está escrita en:

De esto sí podemos afirmar:

Pero no podemos deducir automáticamente:

ni:

ni:

Esas tres afirmaciones necesitarían información metrológica adicional.

5.10. Cuando conocemos la incertidumbre, ella gobierna la presentación final

La GUM recomienda que el valor medido y su incertidumbre se comuniquen con posiciones decimales coherentes (JCGM, 2008).

En términos prácticos:

Por ejemplo, si una evaluación produce:

una presentación coherente puede conservar:

y llevar el valor principal hasta milésimas de voltio.

Si en cambio se decide reportar:

el valor principal deberá terminar en centésimas de voltio.

Tabla 5.3. Qué puede y qué no puede inferirse de los dígitos escritos

Observación	Inferencia válida	Inferencia no justificada
3,75 mm	Se presenta hasta centésimas de milímetro.	u=0,01 mm.
4,50 V	Contiene tres cifras significativas.	El instrumento tiene necesariamente resolución 0,01 V.
2,30 µm	Comunica un dígito más que 2,3 µm.	Es automáticamente diez veces más exacta.
12,345678	El número contiene muchos dígitos.	Todos están experimentalmente respaldados.

5.11. El símbolo ± siempre necesita contexto

AVANZADO · ●●●○

La expresión:

no posee un significado metrológico único.

La cantidad:

podría representar:

• una incertidumbre expandida;
• el semiancho de un intervalo;
• una tolerancia;
• un límite especificado;
• otra cantidad definida por el contexto.

Por eso no escribiremos:

sin explicar qué significa:

NIST también recomienda que cuando se informa una incertidumbre expandida se indique el factor de cobertura utilizado (Taylor & Kuyatt, 1994).

5.12. Un resultado de medición es más que un número

El VIM define el resultado de medición como un conjunto de valores atribuidos al mensurando junto con la información relevante disponible. Generalmente se expresa mediante un valor medido y una incertidumbre (JCGM, 2012).

Esto conduce a una idea fundamental:

5.14. Errores frecuentes

5.15. Práctica, respuestas y comprobación

Respuestas orientadoras

Comprueba lo aprendido

5.16. Síntesis de la Parte 1

5.17. Una regla útil: comenzar en el primer dígito distinto de cero

FUNDAMENTAL · ●○○○

Para identificar cifras significativas conviene comenzar con una idea sencilla:

A partir de allí, los dígitos deben analizarse según su posición.

Por ejemplo:

Los primeros ceros solo sitúan el separador decimal.

El primer dígito distinto de cero es:

y desde él aparecen:

Por tanto:

5.18. Dígitos distintos de cero

La regla más sencilla es:

Ejemplo:

Las cifras son:

Por tanto:

Otro ejemplo:

5.19. Ceros situados entre cifras significativas

FUNDAMENTAL · ●○○○

Un cero situado entre dígitos significativos también es significativo.

Por ejemplo:

contiene:

Por tanto:

También:

contiene:

y por tanto:

Tabla 5.4. Función de los ceros según su posición

Posición del cero	Ejemplo	¿Cuenta?	Razón
Antes del primer dígito distinto de cero	0,0042	No	Solo localiza la posición decimal.
Entre cifras significativas	606	Sí	Forma parte de la secuencia significativa.
Final de una cantidad decimal	2,300	Sí	Expresa el detalle decimal que se decidió comunicar.
Final de un entero sin información adicional	600	Ambiguo	La escritura no indica cuántos ceros se pretende considerar significativos.

5.21. Los ceros iniciales no son cifras significativas

Consideremos:

La única cifra significativa es:

Por tanto:

Los ceros iniciales indican:

pero no añaden cifras significativas.

5.22. Ceros finales después del separador decimal

INTERMEDIO · ●●○○

En cantidades expresadas con separador decimal, los ceros finales escritos se consideran parte de las cifras significativas.

Por ejemplo:

contiene:

Por tanto:

También:

Y:

En este último caso:

son las cifras significativas.

5.24. El caso delicado: enteros terminados en cero

INTERMEDIO · ●●○○

Consideremos:

¿Tiene una, dos o tres cifras significativas?

La escritura:

por sí sola puede ser ambigua.

Podría representar una cantidad que se desea comunicar como:

o:

o:

Todas tienen el mismo valor aritmético:

pero no comunican la misma cantidad de cifras significativas.

Tabla 5.5. Cómo eliminar la ambigüedad del entero 600

Escritura	Cifras significativas	Interpretación
6 × 102	1	Solo el 6 se conserva como cifra significativa.
6,0 × 102	2	Se conservan 6 y 0.
6,00 × 102	3	Se conservan 6, 0 y 0.

5.25. La notación científica resuelve la ambigüedad

La notación científica utiliza:

donde:

El número de cifras significativas se determina observando el coeficiente:

Por ejemplo:

La potencia:

establece la escala, pero no añade cifras significativas al coeficiente.

5.27. Números exactos

INTERMEDIO · ●●○○

No todos los números de un cálculo proceden de una medición.

Algunos son:

o:

Por ejemplo, si un circuito contiene:

el número:

es un conteo exacto.

No debe interpretarse como una medición con una sola cifra significativa.

De manera conceptual, podemos decir que un número exacto no limita el resultado por una regla de cifras significativas.

5.28. Factores definidos

También existen relaciones establecidas exactamente por definición.

Por ejemplo:

En esta igualdad, el factor:

no representa una medición con una cifra significativa.

Es parte de una definición exacta entre unidades.

Por tanto, una conversión exacta de unidades no debe reducir artificialmente el número de cifras significativas.

Tabla 5.6. Cantidades medidas y números exactos cumplen funciones diferentes

Tipo	Ejemplo	¿Limita por cifras significativas?
Cantidad medida	12,4 V	Puede limitar la presentación de un resultado calculado.
Conteo exacto	4 resistores	No.
Factor definido	1 km=1.000 m	No.
Constante matemática exacta	π	No, si se utiliza con suficiente precisión numérica en el cálculo.

5.29. Constantes matemáticas como π

AVANZADO · ●●●○

Consideremos:

En esta expresión:

y:

no proceden de mediciones experimentales.

El valor:

es exacto.

π es una constante matemática exacta, aunque cualquier representación decimal finita de π sea necesariamente aproximada.

Por eso, en un cálculo numérico debemos conservar suficientes dígitos de π para que la aproximación utilizada no domine innecesariamente el error numérico.

5.31. Método general para contar cifras significativas

Podemos resumir el procedimiento en cuatro pasos.

5.32. Errores frecuentes

5.33. Práctica graduada

5.34. Respuestas orientadoras

5.35. Comprueba lo aprendido

5.36. Síntesis de la Parte 2

5.37. Redondear no es simplemente borrar cifras

FUNDAMENTAL · ●○○○

Supongamos que una calculadora produce:

y queremos presentar el número con cuatro cifras significativas.

Una posibilidad sería simplemente cortar:

pero eso sería un:

no un redondeo.

Para redondear debemos estudiar los dígitos que desaparecerán y decidir cuál de los valores permitidos representa mejor al número original.

5.38. Truncamiento y redondeo son procesos diferentes

5.39. Procedimiento general de redondeo

FUNDAMENTAL · ●○○○

Usaremos la siguiente secuencia.

A la última cifra que se conservará la denominaremos aquí:

Es una expresión didáctica útil para identificar el lugar donde terminará el número redondeado.

Tabla 5.7. Regla de decisión para el redondeo

Bloque que se descarta	Decisión sobre el dígito de corte	Ejemplo
Comienza por 0, 1, 2, 3 o 4	Se conserva.	8,543 → 8,54
Comienza por 6, 7, 8 o 9	Se aumenta una unidad.	7,286 → 7,29
Comienza por 5 y después existe al menos un dígito distinto de cero	Se aumenta una unidad.	3,14159 → 3,142
Es exactamente 5 o 5 seguido únicamente de ceros	Si se adopta redondeo al par: conservar si el dígito de corte es par; aumentar si es impar.	2,09250 → 2,092

5.41. Cuando el bloque descartado supera la mitad

FUNDAMENTAL · ●○○○

Si el primer dígito descartado es:

la cantidad descartada supera la mitad de la unidad del último lugar conservado.

Por tanto:

Por ejemplo:

al conservar tres cifras significativas.

Existe además un caso equivalente:

Por ejemplo:

al redondearse a cuatro cifras significativas no presenta una mitad exacta, porque después del 5 aparece:

Por tanto:

5.43. El caso especial: una mitad exacta

AVANZADO · ●●●○

Existe una situación especial cuando el bloque descartado es:

o:

En ese caso el número se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos resultados posibles.

Por ejemplo:

redondeado a cuatro cifras significativas se encuentra exactamente entre:

y:

Para resolver estos empates adoptaremos el:

Esta regla también aparece en las recomendaciones de redondeo de NIST (Thompson & Taylor, 2008).

Tabla 5.8. Regla del par para una mitad exacta

Último dígito que se conservaría	Acción	Resultado final
Par: 0, 2, 4, 6 u 8	Se conserva.	El último dígito queda par.
Impar: 1, 3, 5, 7 o 9	Se aumenta una unidad.	El último dígito queda par.

5.45. ¿Por qué utilizar redondeo al par?

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Supongamos que, cada vez que apareciera una mitad exacta, adoptáramos automáticamente la regla:

Si ese procedimiento se repitiera sobre una gran cantidad de datos con empates en ambas direcciones, todas las mitades exactas serían desplazadas hacia arriba.

El redondeo al par reparte los empates:

De esta forma se evita introducir una preferencia sistemática hacia arriba debida exclusivamente a la regla de desempate.

5.46. El acarreo puede cambiar varias cifras

A veces aumentar una unidad el dígito de corte produce un:

Por ejemplo:

redondeado a tres cifras significativas.

Queremos conservar inicialmente:

y el siguiente dígito es:

El último 9 debe aumentar:

El acarreo continúa a través del 9 anterior:

Por tanto:

No escribimos simplemente:

porque en este ejercicio queremos conservar:

5.48. El signo no cambia la regla de redondeo

Si el número es negativo, la decisión se aplica a su magnitud numérica y después se conserva el signo.

Por ejemplo:

a tres cifras significativas:

Como:

entonces:

5.49. Redondear una sola vez: evitar el doble redondeo

AVANZADO · ●●●○

Cuando un número debe reducirse mucho, no conviene redondearlo en varias etapas sucesivas.

Consideremos:

y supongamos que necesitamos una sola cifra después de la coma.

Si redondeamos directamente:

porque el bloque descartado:

está por encima de la mitad.

Pero si hacemos dos redondeos:

y después:

mediante redondeo al par, obtenemos un resultado diferente.

5.50. En cálculos de varios pasos, conservar información intermedia

Redondear introduce una aproximación.

Por eso, si un cálculo todavía no ha terminado, no conviene reducir prematuramente todos los resultados intermedios.

Consideremos:

Si el cálculo continúa, es preferible conservar ese valor o suficientes cifras de guarda, en lugar de reemplazarlo inmediatamente por:

La razón es sencilla:

5.51. Cuando el resultado ya tiene una incertidumbre evaluada

AVANZADO · ●●●○

En la Parte 1 establecimos que la posición de la última cifra escrita no permite inventar una incertidumbre.

La situación es diferente cuando la incertidumbre ya ha sido evaluada.

Por ejemplo:

con una incertidumbre ya comunicada como:

La incertidumbre termina en centésimas de voltio.

El valor principal debe expresarse en una posición decimal coherente:

Por tanto, si 0,04 V es una incertidumbre expandida debidamente definida:

La GUM recomienda evitar un número excesivo de cifras en la incertidumbre y expresar el valor estimado hasta la misma posición decimal que la incertidumbre comunicada (JCGM, 2008).

Tabla 5.9. Ejemplos de redondeo cuando la incertidumbre ya está establecida

Valor antes de presentar	Incertidumbre ya evaluada	Valor armonizado
3,34	0,1	3,3
85,6342	0,04	85,63
1,4142136	0,002	1,414

5.52. Errores frecuentes

5.53. Práctica graduada, respuestas y comprobación

Respuestas orientadoras

Comprueba lo aprendido

5.54. Síntesis de la Parte 3

5.55. La operación realizada importa

FUNDAMENTAL · ●○○○

No existe una única regla de cifras significativas que pueda aplicarse indiscriminadamente a todas las operaciones.

Tradicionalmente se distinguen:

Por tanto, antes de redondear debemos preguntar:

5.56. Dos reglas prácticas, dos preguntas diferentes

Para una suma o resta preguntamos:

Para una multiplicación o división preguntamos, como regla introductoria:

Tabla 5.10. Comparación de las reglas prácticas de presentación

Operación	Criterio práctico	Pregunta clave
Suma	Posición decimal	¿Cuál término llega a una posición decimal menos fina?
Resta	Posición decimal	¿Cuál término llega a una posición decimal menos fina?
Multiplicación	Número de cifras significativas	¿Qué operando medido posee menos C.S.?
División	Número de cifras significativas	¿Qué operando medido posee menos C.S.?

5.57. Suma y resta: importa la posición decimal

INTERMEDIO · ●●○○

Consideremos:

El primer término está expresado hasta:

mientras que el segundo llega únicamente hasta:

La posición limitante para comunicar la suma será:

5.59. ¿Por qué no usamos «el menor número de cifras significativas» en una suma?

Consideremos:

El primer término tiene:

y el segundo:

Si aplicáramos mecánicamente la regla «usar el menor número de cifras significativas», podríamos terminar presentando el resultado con dos C.S., lo cual no refleja correctamente el valor posicional de los sumandos.

Realizamos:

Las posiciones finales son:

La posición limitante es:

Por tanto:

5.60. La misma regla se aplica a la resta

5.61. Multiplicación y división: cambia el criterio práctico

INTERMEDIO · ●●○○

En productos y cocientes, la regla introductoria tradicional es:

Por ejemplo:

Tenemos:

Por tanto, la regla práctica limita el resultado a:

Tabla 5.11. Ejemplos de productos y cocientes

Operación	Resultado de calculadora	Criterio	Presentación
3,45 × 2,1	7,245	2 C.S.	7,2
19,70 ÷ 4,2	4,690476…	2 C.S.	4,7
4,52 × 3,10	14,012	3 C.S.	14,0

5.62. Multiplicación paso a paso

5.63. División paso a paso

Consideremos:

La calculadora produce:

Los operandos contienen:

La regla práctica conduce a:

Por tanto:

5.64. Los números exactos no deben convertirse en falsos limitantes

AVANZADO · ●●●○

Recordemos:

El número:

es exacto por la relación geométrica entre radio y diámetro.

Si:

no debemos razonar:

Eso sería incorrecto.

Calculamos:

El factor exacto 2 no limita la cantidad de información experimental.

5.65. Cálculos de varios pasos: cifras de guarda

INTERMEDIO · ●●○○

Consideremos:

El primer paso produce:

Si redondeáramos inmediatamente:

y luego multiplicáramos:

Pero conservando el valor intermedio:

Los resultados difieren.

Por eso:

5.66. Conversiones de unidades: distinguir factores exactos de factores medidos

Algunas conversiones entre unidades son exactas por definición.

Por ejemplo:

El factor:

no posee una incertidumbre de medición.

Si:

entonces:

sin que la conversión haya creado o destruido información.

5.67. Aplicación a circuitos: ley de Ohm como cálculo introductorio

INTERMEDIO · ●●○○

Supongamos un resistor sometido a:

con:

Utilizamos:

Los dos datos medidos poseen:

Por tanto, si únicamente utilizamos la regla introductoria de cifras significativas:

La presentación sería:

5.68. Las reglas de cifras significativas no sustituyen la propagación de incertidumbre

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Este punto es fundamental.

Dos cantidades pueden poseer el mismo número de cifras significativas y, sin embargo, tener incertidumbres relativas muy diferentes.

Comparemos hipotéticamente:

y:

Ambas cantidades poseen:

Pero sus incertidumbres relativas son aproximadamente:

y:

Por tanto:

La GUM establece que la incertidumbre de un resultado calculado debe evaluarse a partir del modelo de medición, las incertidumbres de las magnitudes de entrada y, cuando corresponda, sus covarianzas (Joint Committee for Guides in Metrology [JCGM], 2008).

Tabla 5.12. Regla de cifras significativas frente a propagación de incertidumbre

Aspecto	Regla de cifras significativas	Propagación de incertidumbre
Propósito	Presentación práctica aproximada	Evaluación metrológica de la incertidumbre del resultado
Información utilizada	Dígitos o posiciones decimales	Modelo, incertidumbres de entrada y dependencias
Considera sensibilidad	No explícitamente	Sí
Considera correlaciones	No	Sí, cuando existen
Resultado	Cantidad de dígitos a presentar	Incertidumbre estándar o expandida, según el análisis

5.69. Errores frecuentes

5.70. Práctica graduada

5.71. Respuestas orientadoras y comprobación

Comprueba lo aprendido

5.72. Síntesis de la Parte 4

5.73. Obtener el número no termina el problema

FUNDAMENTAL · ●○○○

Una calculadora puede producir:

pero todavía debemos decidir cómo comunicar ese número.

Por ejemplo, puede escribirse como:

o:

o:

Las tres expresiones pueden representar el mismo valor aproximado, pero utilizan formas diferentes de presentación.

5.74. Valor de trabajo y resultado final

INTERMEDIO · ●●○○

Durante un cálculo puede ser útil conservar:

porque esos dígitos ayudan a evitar redondeos prematuros.

En ese contexto hablamos de:

Pero si el número representa el resultado final de una medición, la decisión cambia.

La presentación debe considerar:

• la incertidumbre evaluada;
• la unidad;
• la escala adecuada;
• la legibilidad;
• el propósito de la comunicación.

5.75. Posiciones decimales y cifras significativas no son lo mismo

Consideremos:

Este número posee:

pero:

Los ceros iniciales solo sitúan el valor decimal.

Por tanto:

Tabla 5.13. Posiciones decimales y cifras significativas responden a preguntas diferentes

Número	Posiciones decimales	Cifras significativas
0,0254	4	3
0,02540	5	4
125,3000	4	7
4,500	3	4

5.77. Notación científica

INTERMEDIO · ●●○○

En notación científica escribimos:

donde:

y:

es un número entero.

Por ejemplo:

También:

si se desean comunicar dos cifras significativas.

La potencia de diez:

5.78. Notación de ingeniería

INTERMEDIO · ●●○○

La notación de ingeniería se parece a la notación científica, pero exige:

La secuencia de exponentes es:

Por ejemplo:

Y:

Esta forma es especialmente útil en ingeniería porque se conecta directamente con los prefijos del Sistema Internacional.

5.79. Notación de ingeniería y prefijos SI

Los exponentes múltiplos de tres se relacionan naturalmente con prefijos del SI.

Tabla 5.14. Algunos prefijos del SI de uso frecuente en ingeniería

Factor	Prefijo	Símbolo	Ejemplo eléctrico
109	giga	G	1 GΩ
106	mega	M	10 MΩ
103	kilo	k	47 kΩ
10−3	mili	m	2,5 mA
10−6	micro	µ	220 µA
10−9	nano	n	47 nF
10−12	pico	p	100 pF

El Sistema Internacional define los prefijos y sus símbolos de manera independiente de las cifras significativas (Bureau International des Poids et Mesures [BIPM], 2026).

La sustitución de:

por:

no cambia la información numérica del resultado.

5.81. El formato no determina el número de cifras significativas

INTERMEDIO · ●●○○

Podemos escribir:

o:

Ambas expresiones están en notación científica.

Sin embargo:

mientras que:

Por tanto:

Lo mismo ocurre con la notación de ingeniería.

5.82. Elegir el formato según el propósito

5.83. Cuando existe incertidumbre, ella entra en la presentación

AVANZADO · ●●●○

Hasta ahora hemos hablado de formas de escribir números.

Pero un resultado de medición requiere información metrológica adicional.

Supongamos que hemos obtenido:

y que la evaluación de incertidumbre proporciona:

Aquí:

representa una:

Una forma rigurosa de comunicarlo es:

No necesitamos convertir automáticamente la incertidumbre estándar en:

porque la notación ± puede sugerir un intervalo si no se explica su significado.

5.84. Incertidumbre expandida y uso explícito de ±

Si una evaluación posterior produce una incertidumbre expandida:

entonces podemos utilizar una presentación como:

si se declara, por ejemplo:

De esta manera sabemos qué representa el término que acompaña al símbolo:

5.85. ¿Cuántas cifras debe conservar la incertidumbre?

AVANZADO · ●●●○

Una incertidumbre no debe presentarse con una cantidad exagerada de cifras.

Como regla de presentación, es habitual conservar:

La política elegida debe aplicarse consistentemente y documentarse cuando sea necesario.

Por ejemplo, si un cálculo produce:

una presentación con dos cifras significativas sería:

Si el criterio adoptado utiliza una sola cifra:

La elección modifica también la posición decimal en la que se presenta el valor principal.

5.87. Valor e incertidumbre absoluta deben usar unidades coherentes

Si la incertidumbre es absoluta, se expresa en la misma unidad que la magnitud correspondiente.

Por ejemplo:

Si se utiliza incertidumbre expandida:

con:

La unidad:

se aplica tanto al valor como a la incertidumbre.

Tabla 5.15. Coherencia entre valor, incertidumbre y unidad

Situación	Presentación	Evaluación
Incertidumbre estándar	x=2,50 m; u(x)=0,02 m	Clara
Incertidumbre expandida	x=(2,50±0,04) m; U=0,04 m; k=2	Clara si se documenta el significado de U y k
Discordancia decimal	x=(2,5±0,04) m	Incoherente en la presentación
Símbolo ± sin definir	x=(2,50±0,04) m sin más información	Incompleta metrológicamente

5.88. Notación científica con incertidumbre

Para cantidades muy pequeñas podemos factorizar una potencia común.

Supongamos:

con incertidumbre estándar:

Podemos escribir:

y:

De forma compacta:

Si 0,03 × 10⁻⁶ m fuese una incertidumbre expandida, entonces podría escribirse:

declarando además:

y el factor de cobertura correspondiente.

5.89. Notación de ingeniería con incertidumbre

En ingeniería suele resultar conveniente escribir:

en lugar de:

Si una evaluación produce:

podemos comunicar:

Si 0,5 kΩ fuese una incertidumbre expandida y se hubiera adoptado:

podría comunicarse:

junto con:

5.91. Procedimiento general para presentar un resultado

AVANZADO · ●●●○

Podemos organizar la presentación final en siete decisiones.

Tabla 5.16. Lista de control antes de publicar un resultado

Pregunta	Comprobación
¿Se conservaron cifras suficientes durante el cálculo?	□ Sí · □ Revisar
¿La incertidumbre fue evaluada y no inferida de los decimales?	□ Sí · □ Revisar
¿Está claro si se comunica u o U?	□ Sí · □ Revisar
Si se usa U, ¿se informa el factor de cobertura?	□ Sí · □ Revisar
¿Valor e incertidumbre terminan en posiciones coherentes?	□ Sí · □ Revisar
¿Las unidades son coherentes?	□ Sí · □ Revisar
¿El prefijo SI facilita la lectura?	□ Sí · □ Revisar
¿La notación elegida evita ambigüedades?	□ Sí · □ Revisar
¿Quedan dígitos que la incertidumbre no justifica?	□ No · □ Revisar

5.92. Errores frecuentes en la presentación

5.93. Práctica graduada

5.94. Respuestas orientadoras

Comprueba lo aprendido

5.95. Síntesis de la Parte 5

5.96. Cuando la magnitud buscada no aparece directamente en la pantalla

FUNDAMENTAL · ●○○○

Muchas magnitudes de interés no se obtienen leyendo directamente la indicación de un instrumento.

En su lugar, medimos otras magnitudes y utilizamos una relación matemática.

Por ejemplo, podemos medir:

y:

para calcular:

También podemos medir el diámetro:

de una pieza circular y calcular su área mediante:

La idea general es:

5.97. «Directa» e «indirecta»: una distinción pedagógica útil

En cursos introductorios suele distinguirse entre:

Por ejemplo:

mientras que:

5.98. El modelo de medición

INTERMEDIO · ●●○○

La forma general será:

Aquí:

• Y representa la magnitud de salida;
• X₁, X₂, …, Xₙ representan magnitudes de entrada;
• f representa la relación funcional utilizada.

La GUM-6 utiliza precisamente el concepto de modelo de medición para relacionar magnitudes de entrada con magnitudes de salida (Joint Committee for Guides in Metrology [JCGM], 2020).

Tabla 5.17. Elementos de un modelo de medición

Elemento	Símbolo	Función
Magnitud de salida	Y	Magnitud cuyo valor se desea obtener.
Magnitudes de entrada	X₁, X₂, …, Xₙ	Magnitudes cuyos valores intervienen en el modelo.
Modelo	f	Describe matemáticamente la relación adoptada.
Valores estimados	x₁, x₂, …, xₙ	Valores utilizados para evaluar el modelo.
Valor de salida	y	Resultado numérico obtenido al evaluar f.

5.100. Las magnitudes de entrada no tienen por qué ser todas lecturas directas

Una magnitud de entrada puede proceder de:

• una lectura instrumental;
• una calibración;
• una corrección;
• una constante obtenida experimentalmente;
• una condición ambiental;
• otro modelo previo.

Por tanto:

Esto será importante cuando construyamos presupuestos de incertidumbre.

5.101. Un modelo no es la realidad

AVANZADO · ●●●○

Consideremos nuevamente:

Este modelo supone que la sección puede representarse adecuadamente como un círculo.

Pero una pieza real puede presentar:

• ovalidad;
• rugosidad;
• deformación;
• dependencia con la temperatura;
• variaciones entre diferentes diámetros medidos.

Por eso:

El modelo es una representación con un dominio de validez determinado.

5.102. Coeficiente de sensibilidad

INTERMEDIO · ●●○○

Si:

queremos saber cuánto cambia aproximadamente Y cuando cambia una de sus entradas.

Para ello utilizamos:

evaluado en los valores de entrada utilizados.

El término:

se denomina:

Su interpretación es:

Tabla 5.18. Qué información contiene un coeficiente de sensibilidad

Propiedad	Interpretación
Magnitud	Indica cuánto responde localmente la salida ante un cambio unitario de la entrada.
Signo positivo	Al aumentar la entrada, la salida tiende a aumentar localmente.
Signo negativo	Al aumentar la entrada, la salida tiende a disminuir localmente.
Valor cercano a cero	La salida es poco sensible localmente a esa entrada.
Unidades	Unidades de Y divididas por las unidades de Xᵢ.

5.104. El signo de la sensibilidad contiene información física

En:

tenemos:

porque, manteniendo R constante, un aumento de V produce un aumento de I.

En cambio:

porque, manteniendo V constante, un aumento de R produce una disminución de I.

Por tanto:

5.105. Aproximación lineal local

AVANZADO · ●●●○

Si las entradas cambian poco alrededor del punto de evaluación, podemos aproximar el cambio de la salida mediante:

Es decir:

Esta expresión procede del diferencial total de primer orden.

5.107. Condiciones para utilizar una linealización de primer orden

La aproximación mediante derivadas parciales es especialmente útil cuando:

• el modelo es suficientemente regular alrededor del punto considerado;
• las variaciones de entrada son pequeñas dentro de esa región;
• el modelo representa adecuadamente el fenómeno;
• las derivadas utilizadas existen y son evaluables;
• los términos de orden superior pueden considerarse pequeños para el propósito del análisis.

Tabla 5.19. Condiciones de validez de una aproximación lineal

Condición	Qué debe comprobarse	Riesgo si falla
Regularidad local	La función es continua y diferenciable alrededor del punto utilizado.	La derivada puede no representar adecuadamente la respuesta.
Variaciones pequeñas	La región de interés permanece cerca del punto de linealización.	Los términos no lineales adquieren importancia.
Modelo adecuado	Las variables relevantes están representadas con suficiente fidelidad.	Una propagación matemáticamente correcta puede describir un modelo físicamente insuficiente.
Punto de evaluación	Los coeficientes se evalúan en los valores realmente utilizados.	La sensibilidad puede cambiar con el punto de operación.

5.108. ¿Cuándo puede fallar una aproximación de primer orden?

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Una aproximación lineal puede ser insuficiente cuando:

En esos casos pueden requerirse:

• términos de orden superior;
• evaluación numérica directa;
• propagación de distribuciones;
• métodos de Monte Carlo.

5.109. Ejemplo motivador: el péndulo simple

INTERMEDIO · ●●○○

Para oscilaciones suficientemente pequeñas dentro del modelo ideal de péndulo simple:

Despejando:

Por tanto:

Las entradas son:

y la salida es:

5.111. Sensibilidad relativa o normalizada

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Comparar directamente coeficientes de sensibilidad puede resultar engañoso cuando poseen unidades diferentes.

Una forma útil de estudiar la influencia relativa es:

Para:

obtenemos:

y:

Interpretación local:

Esto anticipa una propiedad que reaparecerá al estudiar potencias.

5.112. De la sensibilidad a las contribuciones de incertidumbre

AVANZADO · ●●●○

Si una entrada X_i posee incertidumbre estándar:

la linealización permite asociarle una contribución de magnitud:

Esto todavía no indica cómo deben combinarse varias contribuciones.

Solo responde:

Tabla 5.20. Vista previa de contribuciones para el ejemplo del péndulo

Entrada	u(Xᵢ)	|cᵢ|	|cᵢ|u(Xᵢ)
L	0,001 m	9,81065 s⁻²	0,00981 m/s²
T	0,002 s	9,78131 m/s³	0,01956 m/s²

En este escenario didáctico, la contribución asociada a T es aproximadamente el doble de la asociada a L.

Pero aún falta responder:

Ése será el problema de la Parte 7.

5.113. Sensibilidad e incertidumbre no son sinónimos

Una variable puede poseer:

o:

Por eso la importancia de una entrada no depende únicamente de:

sino de la combinación:

5.114. Errores frecuentes

5.115. Práctica graduada

5.116. Respuestas orientadoras

5.117. Comprueba lo aprendido y síntesis

5.118. Tener las contribuciones no resuelve todavía el problema

FUNDAMENTAL · ●○○○

En la Parte 6 obtuvimos contribuciones del tipo:

Pero si existen varias entradas, todavía debemos responder:

Supongamos que dos contribuciones numéricas son:

y:

Podríamos obtener:

o:

Los dos resultados son matemáticamente correctos.

La pregunta importante es:

5.119. Dos preguntas diferentes requieren dos respuestas diferentes

Tabla 5.21. Cota de peor caso e incertidumbre estándar combinada no son la misma cantidad

Aspecto	Cota de peor caso	Incertidumbre estándar combinada
Información de entrada	Límites o semianchos de variación	Incertidumbres estándar y covarianzas
Interpretación	Cota linealizada bajo combinación desfavorable	Incertidumbre estándar asociada al valor de salida
Combinación básica	Suma de magnitudes de contribución	Varianzas y covarianzas
Signo	Se utilizan magnitudes absolutas	El signo interviene en los términos de covarianza
¿Son intercambiables?	No	No

5.120. Cota linealizada de peor caso

INTERMEDIO · ●●○○

Para evitar confundir una cota con una incertidumbre estándar, utilizaremos:

para representar el límite o semiancho adoptado para la variación de una entrada.

Si:

y:

una cota linealizada puede escribirse:

Para dos entradas:

La expresión supone que las contribuciones pueden actuar simultáneamente en el sentido que produce la mayor magnitud del cambio linealizado.

5.122. ¿Por qué se utilizan valores absolutos en una cota?

Supongamos dos contribuciones linealizadas:

y:

La suma algebraica sería:

Pero si estamos buscando una cota bajo el supuesto de combinaciones desfavorables, no debemos permitir que el signo de una sensibilidad reduzca artificialmente otra contribución.

5.123. Incertidumbre estándar combinada

AVANZADO · ●●●○

Cuando cada entrada se caracteriza mediante una incertidumbre estándar:

la cantidad buscada es:

La formulación general de primer orden incluye varianzas y covarianzas:

Aquí:

representa la covarianza entre dos magnitudes de entrada.

Esta forma muestra inmediatamente que la conocida suma en cuadratura es un caso particular.

5.124. Caso particular: covarianzas nulas

Si:

para todas las parejas distintas, desaparecen los términos cruzados.

Entonces:

Para dos entradas:

5.126. Covarianza: cuando dos entradas no varían de manera independiente

AVANZADO · ●●●○

Dos magnitudes de entrada pueden compartir una fuente común de variación.

Por ejemplo:

• pueden depender del mismo patrón de calibración;
• pueden utilizar la misma corrección;
• pueden compartir una condición ambiental;
• una puede haberse calculado parcialmente a partir de la otra;
• pueden proceder del mismo conjunto de observaciones.

En esos casos:

puede ser necesario.

Ignorar esa dependencia puede sobreestimar o subestimar la incertidumbre estándar combinada.

5.127. Coeficiente de correlación

La covarianza puede expresarse mediante:

Por definición:

Entonces:

La fórmula general puede escribirse:

Tabla 5.22. Interpretación básica del coeficiente de correlación

Valor de r	Interpretación lineal	Efecto posible sobre u₍c₎
+1	Correlación lineal positiva perfecta	Depende también de los signos de cᵢ y cⱼ
Entre 0 y +1	Correlación lineal positiva	Puede aumentar o disminuir u₍c₎ según los signos de las sensibilidades
0	Covarianza nula	Desaparece el término cruzado correspondiente
Entre −1 y 0	Correlación lineal negativa	Puede aumentar o disminuir u₍c₎ según los signos de las sensibilidades
−1	Correlación lineal negativa perfecta	Depende también de cᵢcⱼ

5.129. Independencia y ausencia de correlación

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

En lenguaje cotidiano es frecuente tratar:

y:

como si fueran exactamente lo mismo.

No lo son.

La independencia estadística es una condición más fuerte.

Para utilizar la forma simple:

lo que necesitamos, en el nivel de esta formulación, es que los términos de covarianza relevantes sean nulos o despreciables.

5.130. Caso de una sola magnitud de entrada

Si:

solo existe un coeficiente de sensibilidad:

Entonces:

No existe suma de varias contribuciones ni términos de covarianza.

5.131. Aplicación al péndulo simple

AVANZADO · ●●●○

Retomemos:

Las sensibilidades son:

y:

Si L y T se consideran no correlacionados:

En forma relativa:

El factor:

aparece porque T posee exponente:

5.133. ¿Y si quisiéramos una cota para el mismo modelo?

La estructura algebraica sería:

Pero:

deben representar límites o semianchos compatibles con el modelo de peor caso.

No debemos tomar automáticamente:

y:

solo porque poseen las mismas unidades.

5.134. Presupuesto de incertidumbre

Una manera eficaz de organizar el análisis es construir un:

En una forma básica puede incluir:

• magnitud de entrada;
• valor estimado;
• incertidumbre estándar;
• coeficiente de sensibilidad;
• contribución estándar;
• información sobre correlaciones.

Tabla 5.23. Presupuesto básico para P=VI

Entrada	Valor	u(xᵢ)	cᵢ	|cᵢ|u(xᵢ)
V	12,00 V	0,020 V	5,000 mA	0,100 mW
I	5,000 mA	0,010 mA	12,00 V	0,120 mW

Si las entradas son no correlacionadas:

5.135. ¿Cuál contribución domina?

En el ejemplo anterior:

y:

La suma es:

Por tanto, las contribuciones aproximadas a la varianza combinada son:

y:

Tabla 5.24. Contribución relativa a la varianza en el ejemplo P=VI

Entrada	Contribución estándar	Cuadrado	Participación aproximada
V	0,100 mW	0,0100 mW²	41 %
I	0,120 mW	0,0144 mW²	59 %

5.136. Procedimiento general de combinación

5.137. Errores frecuentes

5.138. Práctica, respuestas y comprobación

Respuestas orientadoras

Comprueba lo aprendido

5.139. Síntesis de la Parte 7

5.140. Las reglas particulares no son fórmulas aisladas

FUNDAMENTAL · ●○○○

En las Partes 6 y 7 partimos del modelo general:

y de los coeficientes de sensibilidad:

Para entradas no correlacionadas, la aproximación de primer orden conduce a:

Si el modelo posee una forma algebraica sencilla, esta expresión puede simplificarse.

Así aparecen las reglas conocidas para:

5.141. Incertidumbre absoluta e incertidumbre relativa

INTERMEDIO · ●●○○

La incertidumbre estándar absoluta:

posee la misma unidad que:

Por ejemplo:

La incertidumbre estándar relativa se define, para x≠0, como:

En el ejemplo:

En porcentaje:

Tabla 5.25. Cuándo resulta más natural utilizar incertidumbre absoluta o relativa

Modelo	Forma especialmente útil	Razón
Y=X₁±X₂	Absoluta	Los coeficientes de sensibilidad son ±1.
Y=AX	Absoluta o relativa	La incertidumbre absoluta se escala por |A|.
Y=X₁X₂	Relativa	La expresión se simplifica al dividir entre |Y|.
Y=X₁/X₂	Relativa	Numerador y denominador aparecen de forma simétrica en la expresión relativa no correlacionada.
Y=Xⁿ	Relativa	El exponente aparece como factor multiplicativo.

5.142. Suma y resta

Consideremos:

Las sensibilidades son:

y:

Para entradas no correlacionadas:

Si:

entonces:

y:

Sin correlación:

5.144. ¿Qué cambia si las cantidades sumadas o restadas están correlacionadas?

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Para:

la expresión general es:

Para:

obtenemos:

Observe que ahora:

5.145. Multiplicación por una constante exacta

Consideremos:

donde A es una constante exacta del modelo.

La sensibilidad es:

Por tanto:

Si A≠0:

Es decir, una constante exacta cambia la escala absoluta de la incertidumbre, pero no la incertidumbre relativa.

5.146. Producto de dos magnitudes

INTERMEDIO · ●●○○

Sea:

Las sensibilidades son:

y:

Para entradas no correlacionadas:

Al dividir por:

obtenemos:

Por tanto:

5.147. Cociente de dos magnitudes

Sea:

Las sensibilidades son:

y:

Para entradas no correlacionadas:

Por tanto, producto y cociente poseen la misma forma relativa simplificada cuando la covarianza es nula.

5.148. Propagación en una potencia

AVANZADO · ●●●○

Consideremos:

donde n es un exponente exacto.

La derivada es:

Para una sola entrada:

Al dividir por:

obtenemos:

5.149. Producto general de potencias

Muchas ecuaciones de ingeniería pueden escribirse como:

donde A es una constante exacta.

Para entradas no correlacionadas:

En una cota linealizada de peor caso, si bᵢ representa un semiancho apropiado:

5.150. Correlación en productos de potencias

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Cuando existen correlaciones, la forma relativa general de primer orden puede escribirse:

Así, para:

el término cruzado contiene:

Por eso una correlación positiva puede producir un efecto diferente en un cociente que en un producto.

5.151. Aplicación en circuitos: P=V²/R

AVANZADO · ●●●○

La potencia disipada por un resistor puede escribirse:

Equivalentemente:

Por tanto:

y:

5.152. Expresiones mixtas: no aplicar reglas por fragmentos sin revisar el modelo

AVANZADO · ●●●○

Consideremos:

La expresión contiene:

No es buena práctica resolver primero:

aplicar una regla, redondear, y después tratar el cociente como un problema independiente.

Es preferible conservar el modelo completo:

y calcular:

5.153. Ejemplo integrado de una expresión mixta

Supongamos:

y entradas no correlacionadas.

El valor es:

Sensibilidades:

Contribuciones:

Entonces:

Presentación:

5.154. Dominio de validez y casos problemáticos

PROFUNDIZACIÓN · ●●●●

Las reglas relativas resultan muy cómodas, pero tienen límites.

Por ejemplo, la cantidad:

se vuelve problemática si:

Además, la linealización de una potencia:

requiere que:

• el modelo sea válido en la región considerada;
• la variación sea suficientemente pequeña;
• la derivada represente adecuadamente la respuesta local;
• la función esté definida para los valores relevantes.

Si estas condiciones fallan, pueden requerirse métodos más generales, incluida propagación numérica o Monte Carlo.

5.155. Tabla general de reglas particulares

Modelo	Entradas no correlacionadas	Forma especialmente útil
Y=X₁±X₂	u₍c₎=√[u²(x₁)+u²(x₂)]	Absoluta
Y=AX, A exacta	u(y)=|A|u(x)	Absoluta
Y=X₁X₂	u₍c,r₎=√[uᵣ²(x₁)+uᵣ²(x₂)]	Relativa
Y=X₁/X₂	u₍c,r₎=√[uᵣ²(x₁)+uᵣ²(x₂)]	Relativa
Y=Xⁿ	uᵣ(y)≈|n|uᵣ(x)	Relativa
Y=A∏Xᵢᵃⁱ	u₍c,r₎≈√[Σ(aᵢuᵣ(xᵢ))²]	Relativa
Y=f(X₁,…,Xₙ)	Usar sensibilidades, varianzas y covarianzas	General

Tabla 5.27. Versión paralela para una cota linealizada de peor caso

Modelo	Cota linealizada
Y=X₁±X₂	Bᵧ≈b₁+b₂
Y=AX	Bᵧ≈|A|bₓ
Y=X₁X₂ o X₁/X₂	Bᵣ,y≈b₁/|x₁|+b₂/|x₂|
Y=Xⁿ	Bᵣ,y≈|n|bₓ/|x|
Y=A∏Xᵢᵃⁱ	Bᵣ,y≈Σ|aᵢ|bᵢ/|xᵢ|

5.156. Estrategia para seleccionar la regla

5.157. Errores frecuentes, práctica y respuestas

Práctica graduada

Respuestas orientadoras

Tabla 5.28. Lista de control para no aplicar una regla fuera de contexto

Pregunta	Si la respuesta es «no»
¿Está definido el modelo completo?	No propagar todavía.
¿Sé cuáles entradas poseen incertidumbre?	Identificar las fuentes antes de calcular.
¿Las cantidades son incertidumbres estándar?	No utilizar automáticamente suma en cuadratura.
¿Las covarianzas son nulas o despreciables?	Utilizar la formulación con términos de correlación.
¿La aproximación lineal es adecuada?	Considerar métodos de orden superior o propagación numérica.
¿La expresión pertenece claramente a una regla particular?	Volver a cᵢ=∂f/∂Xᵢ.

5.158. Síntesis de la Parte 8

5.159. El capítulo termina integrando, no agregando otra fórmula

FUNDAMENTAL · ●○○○

Hasta ahora hemos estudiado por separado:

En un problema real, estas decisiones no aparecen aisladas.

Forman una secuencia:

5.160. Procedimiento integrado de referencia

Tabla 5.29. Procedimiento completo para resolver un problema de medición

Paso	Pregunta	Producto esperado
1	¿Qué magnitud queremos determinar?	Mensurando definido.
2	¿Qué datos están disponibles?	Valores, unidades e información experimental.
3	¿Cuál es el modelo?	Y=f(X₁,…,Xₙ).
4	¿Qué valor produce el modelo?	Valor de trabajo sin redondeos prematuros.
5	¿Cómo se caracteriza cada entrada?	u(xᵢ), límites, certificados, Tipo A o Tipo B según corresponda.
6	¿Cómo responde Y a cada entrada?	Coeficientes de sensibilidad cᵢ.
7	¿Existen dependencias?	Covarianzas o coeficientes de correlación cuando sean relevantes.
8	¿Qué cantidad queremos combinar?	Cota B o incertidumbre estándar combinada u₍c₎.
9	¿Qué contribuciones dominan?	Presupuesto interpretado.
10	¿Cómo debe redondearse?	Incertidumbre y valor armonizados.
11	¿Qué se está reportando?	u, u₍c₎, U o B identificada explícitamente.
12	¿La comunicación final es coherente?	Valor, unidad, incertidumbre y contexto claramente expresados.

5.161. Proyecto integrado de circuitos: divisor resistivo

AVANZADO · ●●●○

Consideremos el siguiente escenario didáctico.

Se desea determinar la tensión:

en el resistor R₂ de un divisor resistivo alimentado por una fuente de corriente continua.

Los valores de entrada son:

Para esta demostración se supone que las tres entradas son:

El modelo ideal es:

5.163. Presupuesto de incertidumbre del divisor

Tabla 5.30. Presupuesto de incertidumbre para Vₒ

Entrada	Valor	u(xᵢ)	cᵢ	|cᵢ|u(xᵢ)
Vₛ	12,00 V	0,02 V	0,6667 V/V	0,01333 V
R₁	1,000 kΩ	0,005 kΩ	−2,6667 V/kΩ	0,01333 V
R₂	2,000 kΩ	0,010 kΩ	1,3333 V/kΩ	0,01333 V

En este ejemplo cuidadosamente construido, las tres contribuciones tienen la misma magnitud:

Por tanto, cada una aporta aproximadamente:

No existe aquí una única entrada dominante.

5.164. El presupuesto también sirve para tomar decisiones

Supongamos que se desea reducir:

El presupuesto muestra que las tres contribuciones son semejantes.

Por tanto, mejorar exclusivamente una de ellas no eliminará las otras dos.

5.166. Dos comunicaciones correctas, pero con significados diferentes

La segunda comunicación no es «más correcta».

Responde a una necesidad de reporte distinta.

5.167. Tres familias de problemas integradores

El documento base utiliza tres situaciones que permiten reconocer tres estructuras matemáticas fundamentales.

Tabla 5.31. Tres estructuras de propagación representativas

Situación	Modelo	Estructura dominante
Masa total de líquido	Lₜ=(M₁−m₁)+(M₂−m₂)	Sumas y restas
Altura por semejanza	L=L₁L₂/L₃	Producto y cociente
Péndulo simple	g=4π²LT⁻²	Producto de potencias
Divisor resistivo	Vₒ=VₛR₂/(R₁+R₂)	Expresión mixta → derivadas parciales

5.171. Tres etapas que nunca debemos confundir

INTERMEDIO · ●●○○

5.172. Errores finales que debemos ser capaces de detectar

5.173. Lista de control antes de aceptar un resultado

Control	Verificación
¿Está claramente definido el mensurando?	□ Sí · □ Revisar
¿Las unidades de entrada son coherentes?	□ Sí · □ Revisar
¿El modelo representa adecuadamente el problema?	□ Sí · □ Revisar
¿Se conservaron cifras de guarda?	□ Sí · □ Revisar
¿Cada componente de incertidumbre está correctamente caracterizada?	□ Sí · □ Revisar
¿Se distinguieron límites, u y U?	□ Sí · □ Revisar
¿Se examinaron correlaciones?	□ Sí · □ Revisar
¿La propagación corresponde al modelo?	□ Sí · □ Revisar
¿La aproximación lineal es adecuada?	□ Sí · □ Revisar
¿La incertidumbre está redondeada coherentemente?	□ Sí · □ Revisar
¿Valor e incertidumbre terminan en la misma posición decimal?	□ Sí · □ Revisar
Si se utiliza U, ¿se informa k y el contexto necesario?	□ Sí · □ Revisar

5.174. Evaluación final del Capítulo 5

5.175. Respuestas orientadoras de la evaluación

5.176. Rúbrica de autoevaluación del estudiante

Competencia	Lo logro	Debo practicar
Identifico correctamente cifras significativas.	□	□
Redondeo sin hacerlo prematuramente.	□	□
Distingo posición decimal de precisión metrológica.	□	□
Escribo un modelo de medición.	□	□
Calculo coeficientes de sensibilidad.	□	□
Distingo u, u₍c₎, U y una cota.	□	□
Reconozco cuándo debo considerar correlaciones.	□	□
Selecciono una regla particular solo cuando sus condiciones se cumplen.	□	□
Construyo e interpreto un presupuesto de incertidumbre.	□	□
Comunico un resultado con unidad e incertidumbre coherentes.	□	□

5.177. Cierre del Capítulo 5