Notación científica, prefijos, unidades y conversiones
¿Por qué necesitamos un lenguaje para cantidades enormes y diminutas?
escala · representación · lectura · comparación · ciencia · ingeniería
Antes de aprender reglas para mover la coma decimal o manipular exponentes, necesitamos comprender qué problema resuelve la notación científica.
En esta parte todavía no construiremos formalmente la expresión a×10ⁿ ni estudiaremos sus operaciones.
Primero aprenderemos a reconocer la necesidad de un lenguaje que permita distinguir con claridad las cifras principales de una cantidad y la escala en la que se encuentra.
A lo largo del capítulo encontraremos:
- datos o referencias físicas procedentes de fuentes identificadas;
- valores redondeados utilizados para facilitar una explicación;
- ejemplos hipotéticos construidos para aprender un procedimiento.
Distinguir estos casos evita confundir un ejemplo matemático con una medición experimental.
3.1. El problema comienza antes de aprender una fórmula
FUNDAMENTAL · ●○○○En ciencia y en ingeniería aparecen cantidades situadas en escalas extraordinariamente diferentes.
Consideremos algunas situaciones.
La unidad astronómica, símbolo au, es una unidad de longitud definida exactamente como:
Para reconocer rápidamente su escala podemos redondearla a:
Fuente: International Astronomical Union (2012).
Como referencia de una longitud característica del mundo atómico, el radio de Bohr es aproximadamente:
Esto permite comprender por qué valores del orden de:
aparecen naturalmente al estudiar fenómenos atómicos.
Fuente: Mohr, Newell, Taylor y Tiesinga (2025).
Consideremos el ejemplo hipotético:
Más adelante aprenderemos a expresar esta misma corriente de una manera mucho más compacta.
Consideremos como ejemplo hipotético:
Por ahora no analizaremos el fenómeno físico asociado. Solo observaremos la dificultad de reconocer rápidamente la escala de una cantidad escrita con muchos dígitos.
3.2. Cuando los ceros empiezan a ocultar la información
Para simplificar la referencia astronómica anterior, podemos considerar el valor redondeado:
Ahora observemos:
Ambos números pueden escribirse correctamente en forma decimal.
Sin embargo, en los dos casos debemos recorrer muchos lugares antes de reconocer claramente la escala.
Las largas secuencias de ceros aumentan la posibilidad de omitir un cero, añadir otro o interpretar incorrectamente el tamaño de una cantidad.
Necesitamos una escritura que permita reconocer de inmediato dos elementos.
¿Qué cifras contienen la información numérica esencial?
¿Estamos hablando de unidades, miles, millones, millonésimas o escalas todavía más extremas?
Muchos lugares antes de llegar a la unidad.
Queremos reconocerlas sin depender de contar ceros uno por uno.
Muchos lugares después de la coma decimal.
3.3. Una escritura más compacta puede hacer visible la escala
FUNDAMENTAL · ●○○○Existe una forma de escritura que permite separar explícitamente:
Por ejemplo:
Las dos expresiones representan exactamente el mismo valor:
De manera semejante:
La construcción formal de la notación científica comenzará en la Parte 2.
Tabla 3.1. Una misma cantidad puede representarse de distintas formas
| Situación | Forma decimal | Forma compacta | Carácter del ejemplo |
|---|---|---|---|
| Escala astronómica redondeada | 150.000.000.000 m | 1,5×10¹¹ m | Valor redondeado próximo a 1 au |
| Escala del orden de 10⁻¹⁰ m | 0,0000000001 m | 1×10⁻¹⁰ m | Referencia didáctica de escala |
| Corriente eléctrica pequeña | 0,000025 A | 25×10⁻⁶ A | Ejemplo hipotético |
Nota. Las formas compactas se presentan aquí como una primera aproximación. Su construcción formal se desarrollará en las partes siguientes.
3.4. No buscamos números más pequeños: buscamos representaciones más legibles
Consideremos:
La segunda expresión no representa una distancia menor.
Representa exactamente la misma cantidad física mediante otra forma de escritura.
Propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede describirse cuantitativamente.
Forma elegida para escribir el valor numérico asociado a esa magnitud.
Pensar que la cantidad física cambia porque cambia su escritura.
3.5. Representar, comparar y transformar
Las herramientas de este capítulo responderán a tres necesidades principales.
Escribir una cantidad de manera clara, compacta y adecuada para su propósito.
Reconocer la escala relativa de diferentes cantidades y determinar, cuando sea posible, cuántas veces difieren.
Cambiar de una representación o unidad a otra conservando la cantidad física.
3.6. ¿Por qué este lenguaje es especialmente importante en ingeniería?
INTERMEDIO · ●●○○En ingeniería es habitual trabajar dentro del mismo problema con cantidades situadas en escalas muy diferentes.
En electricidad y electrónica, por ejemplo, encontramos:
Puede encontrarse desde escalas muy pequeñas hasta valores de varios amperios.
Puede abarcar varios órdenes de magnitud.
Muchas aplicaciones utilizan valores muy inferiores a un faradio.
Puede extenderse desde valores bajos hasta millones o miles de millones de hertz.
Escribir todas estas cantidades únicamente mediante largas expansiones decimales dificultaría innecesariamente la lectura de cálculos, tablas, instrumentos y documentos técnicos.
El Sistema Internacional de Unidades proporciona un marco internacionalmente acordado para expresar cantidades, unidades, múltiplos y submúltiplos (Bureau International des Poids et Mesures [BIPM], 2026).
Son parte del lenguaje con el que comunicamos de manera eficiente la escala de las cantidades.
3.7. Un ejemplo eléctrico: la escala importa
INTERMEDIO · ●●○○Retomemos nuestro ejemplo hipotético:
La escritura es correcta.
Sin embargo, si trabajamos repetidamente con corrientes pequeñas, puede ser conveniente una representación que haga visible su escala con mayor rapidez.
Más adelante aprenderemos a escribir:
y:
El prefijo micro, símbolo µ, representa el factor 10⁻⁶ en el Sistema Internacional (BIPM, 2026).
3.8. Una escritura más compacta no significa una medición mejor
Una representación compacta puede ser más cómoda, pero no convierte automáticamente una cantidad en una medición de mayor calidad.
Por ejemplo:
La segunda forma es más compacta.
Sin embargo, reescribir el número no ha producido una nueva observación experimental.
Estos conceptos no son sinónimos. Su significado se estudiará posteriormente.
3.9. Del macrocosmos al nanomundo
INTERMEDIO · ●●○○La utilidad de un lenguaje basado en potencias de diez se hace especialmente visible cuando comparamos escalas muy alejadas.
Podemos estudiar:
- distancias astronómicas;
- longitudes de objetos cotidianos;
- células y microorganismos;
- estructuras nanométricas;
- referencias de escala atómica.
La matemática debe permitirnos recorrer todos estos dominios sin cambiar de lenguaje cada vez que cambia la escala.
distancias muy grandes
metros y kilómetros
células y microorganismos
nanoestructuras
longitudes extremadamente pequeñas
3.10. La pregunta correcta no es solamente «¿cuántos ceros hay?»
Cuando observamos:
es natural intentar contar ceros.
Ese procedimiento puede funcionar en ejercicios sencillos, pero queremos desarrollar una forma más potente de razonamiento.
¿En qué región de las potencias de diez se encuentra?
Esta pregunta sustituirá progresivamente al conteo mecánico de ceros.
¿Qué cifras contienen la información numérica principal?
¿Decimal, científica, de ingeniería o con prefijo SI?
¿La unidad actual facilita la interpretación?
¿Necesito expresar la misma magnitud mediante otra unidad equivalente?
Estas preguntas transforman una técnica mecánica en una herramienta de razonamiento matemático y físico.
3.11. Ruta de aprendizaje del Capítulo 3
El capítulo avanzará progresivamente.
Necesidad de la notación científica, estructura, conversiones y operaciones con potencias de diez.
Órdenes de magnitud, prefijos SI, notación de ingeniería e interpretación de escalas físicas.
Herramientas digitales, magnitudes, unidades, factores de conversión, energía y aplicaciones integradoras.
La secuencia general será:
Tabla 3.2. Preguntas que aprenderemos a responder
| Pregunta | Herramienta principal | Función |
|---|---|---|
| ¿Cómo escribo una cantidad enorme o diminuta de forma compacta? | Notación científica | Representación |
| ¿Cómo reconozco rápidamente su escala? | Potencias de diez y órdenes de magnitud | Interpretación |
| ¿Cómo relaciono una potencia con símbolos como k, m, µ o n? | Prefijos SI | Comunicación científica |
| ¿Cómo adapto una cantidad a escalas habituales en ingeniería? | Notación de ingeniería | Comunicación técnica |
| ¿Cómo paso de una unidad a otra sin cambiar la magnitud física? | Factores de conversión | Transformación |
| ¿Cómo verifico que una conversión tiene sentido? | Unidades y coherencia dimensional | Comprobación |
| ¿Cómo aplico estas herramientas a situaciones físicas? | Modelación e interpretación | Ciencia e ingeniería |
3.12. Objetivos del capítulo
Al finalizar el Capítulo 3, podrás:
- expresar números grandes y pequeños mediante notación científica;
- identificar coeficiente y exponente;
- convertir entre forma decimal y notación científica;
- operar con potencias de diez;
- comparar cantidades situadas en escalas diferentes.
- interpretar prefijos del Sistema Internacional;
- relacionar prefijos con potencias de diez;
- utilizar notación de ingeniería;
- seleccionar representaciones adecuadas según el contexto.
- construir factores de conversión;
- cancelar unidades algebraicamente;
- convertir unidades de longitud, masa, fuerza, potencia y energía;
- comprobar la coherencia dimensional de procedimientos sencillos.
- explicar por qué una representación facilita o dificulta la lectura;
- aplicar herramientas numéricas a física, electrónica e ingeniería;
- distinguir cambio de representación de cambio de magnitud;
- diferenciar dato, supuesto, modelo, cálculo e interpretación;
- justificar resultados dentro del contexto de un problema.
3.13. Comprobación inicial: ¿qué sabemos antes de comenzar?
Estas preguntas permiten activar conocimientos previos y reconocer algunas ideas que volveremos a estudiar con mayor profundidad.
1. ¿Cuál de los siguientes números resulta más difícil de interpretar rápidamente?
a) 25
b) 2.500
c) 0,000000025
d) 18
Explica por qué.
2. Las expresiones:
y
representan exactamente el mismo valor. ¿Qué ventaja de lectura encuentras en la segunda?
3. Una persona afirma:
¿Es necesariamente correcta esta afirmación? ¿Qué información adicional necesitaríamos?
4. Imagina una base de datos científica que contiene simultáneamente valores astronómicos, eléctricos, microscópicos y nanométricos.
¿Qué dificultades aparecerían si todas las cantidades se comunicaran únicamente mediante largas expansiones decimales?
Considera:
- lectura humana;
- comparación de escalas;
- errores de transcripción;
- presentación en tablas;
- uso en herramientas digitales;
- comunicación científica y técnica.
Síntesis de la Parte 1
La ciencia y la ingeniería necesitan describir cantidades que pueden encontrarse en escalas extraordinariamente diferentes.
La escritura decimal es válida, pero no siempre es la forma más clara de comunicar una escala.
es representarlos para poder interpretarlos
También establecimos una distinción que acompañará todo el curso:
Y comenzamos a construir el recorrido:
↓
notación científica
↓
prefijos del Sistema Internacional
↓
notación de ingeniería
↓
factores de conversión
↓
aplicaciones científicas y de ingeniería
Todavía no hemos aprendido las reglas formales. Ya sabemos, sin embargo, por qué necesitamos aprenderlas.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Astronomical Union. (2012). Resolution B2 on the re-definition of the astronomical unit of length. XXVIII General Assembly of the International Astronomical Union.
Mohr, P. J., Newell, D. B., Taylor, B. N., & Tiesinga, E. (2025). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2022. Reviews of Modern Physics, 97, 025002. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.97.025002
Notación científica: coeficiente, potencia de diez, exponente y forma normalizada
Ahora que comprendemos por qué necesitamos una representación compacta, construiremos formalmente expresiones como:
y
Aprenderemos:
- qué significa cada componente;
- qué papel desempeña el exponente;
- por qué un exponente negativo no produce necesariamente un número negativo;
- qué significa que una expresión esté normalizada;
- cómo comprobar que dos escrituras representan exactamente el mismo número.
La Parte 2 continúa en 3.14.
Notación científica
Coeficiente, potencia de diez, exponente y forma normalizada
estructura · equivalencia · escala · exponentes · normalización · interpretación
En la Parte 1 comprendimos por qué necesitamos una representación compacta para cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Ahora construiremos formalmente esa representación.
Nuestro objetivo no será memorizar una regla para mover la coma, sino comprender por qué el coeficiente y la potencia de diez deben cambiar coordinadamente para conservar exactamente el valor.
3.14. De una necesidad práctica a una estructura matemática
FUNDAMENTAL · ●○○○En la Parte 1 observamos cantidades como:
Y anticipamos las representaciones:
La forma general que utilizaremos para un número real distinto de cero es:
donde n es un número entero y:
La condición con valor absoluto permite incluir, con una sola regla, números positivos y negativos.
Para números negativos, el coeficiente también es negativo y cumple:
El cero será estudiado como un caso especial.
3.15. Anatomía de la notación científica
Tomemos:
Podemos identificar tres componentes.
3,72
10
8
3.16. ¿Qué función cumple cada componente?
Contiene las cifras principales de la representación.
Indica que utilizamos potencias asociadas al sistema decimal.
Determina qué potencia de diez interviene.
En:
el coeficiente es 3,72, pero el número completo no vale 3,72.
Debemos considerar:
Por tanto:
3.17. La forma normalizada
INTERMEDIO · ●●○○Una cantidad puede escribirse de muchas maneras utilizando potencias de diez.
Por ejemplo:
Todas representan exactamente el mismo número.
Para seleccionar una forma estándar imponemos:
para todo número real distinto de cero.
Como 350.000 es positivo:
y:
Por ello:
es su forma científica normalizada.
Tabla 3.3. Expresiones equivalentes y normalización
| Expresión | ¿Representa 350.000? | ¿Está normalizada? | Razón |
|---|---|---|---|
| 350×10³ | Sí | No | |350|≥10. |
| 35×10⁴ | Sí | No | |35|≥10. |
| 3,5×10⁵ | Sí | Sí | 1≤|3,5|<10. |
| 0,35×10⁶ | Sí | No | |0,35|<1. |
Nota. Una expresión no normalizada puede ser matemáticamente equivalente y correcta. Lo que no satisface es la convención establecida para la notación científica normalizada.
3.18. ¿Por qué imponemos 1≤|a|<10?
Consideremos:
Sin una regla de normalización podríamos escribir:
Todas representan el mismo valor.
Pero:
es la única cuyo coeficiente cumple:
Cada número real distinto de cero posee una única representación normalizada de la forma:
Más adelante demostraremos formalmente esta unicidad.
3.19. ¿Qué significa una potencia de diez?
FUNDAMENTAL · ●○○○Antes de utilizar reglas operativas necesitamos comprender la estructura de las potencias.
Cada aumento de una unidad en el exponente multiplica la potencia por 10:
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1.000
3.20. Exponente positivo, cero y negativo
La potencia de diez es mayor que 1.
La potencia vale 1.
La potencia representa el recíproco de una potencia positiva.
El signo negativo del exponente no convierte automáticamente el número completo en negativo.
El número sigue siendo positivo.
3.21. ¿Por qué un exponente negativo representa un recíproco?
Para exponentes positivos sabemos que:
Queremos extender esta propiedad de manera coherente a exponentes enteros negativos.
Si n es positivo:
Por tanto, 10⁻ⁿ debe ser el número que, multiplicado por 10ⁿ, produce 1.
Ese número es su recíproco:
Por ejemplo:
El exponente negativo indica una potencia recíproca; no introduce por sí mismo un signo negativo en el número.
3.22. De forma decimal a notación científica
FUNDAMENTAL · ●○○○Queremos representar:
Buscamos primero un coeficiente normalizado:
Ahora preguntamos:
Ese factor es:
Por tanto:
Visualmente, la coma quedó siete posiciones a la izquierda de su posición original.
3.23. Un número decimal entre 0 y 1
Consideremos:
El coeficiente normalizado será:
Como:
tenemos:
Por tanto:
Visualmente, la coma se desplazó cinco posiciones hacia la derecha para obtener 4,72.
La potencia 10⁻⁵ compensa exactamente ese cambio.
exponente positivo
exponente negativo
3.24. «Mover la coma» es una consecuencia, no el fundamento
Es frecuente aprender:
o:
Estas reglas ayudan, pero deben entenderse como consecuencias de una igualdad matemática.
Por ejemplo:
reduce el coeficiente por un factor:
Para conservar el valor debemos compensar:
3.25. Mover la coma no es una operación matemática independiente
Consideremos:
Podemos escribir:
También:
Y:
Por tanto, aquello que visualmente describimos como «mover la coma» puede interpretarse algebraicamente como:
El valor permanece invariante porque cada modificación del coeficiente queda compensada por la potencia correspondiente.
Tabla 3.4. Conversión inicial desde forma decimal
| Forma decimal | Coeficiente normalizado | Exponente | Notación científica |
|---|---|---|---|
| 7.300 | 7,3 | 3 | 7,3×10³ |
| 82.000.000 | 8,2 | 7 | 8,2×10⁷ |
| 0,0064 | 6,4 | −3 | 6,4×10⁻³ |
| 0,00000091 | 9,1 | −7 | 9,1×10⁻⁷ |
| 4,72 | 4,72 | 0 | 4,72×10⁰ |
3.26. De notación científica a forma decimal
FUNDAMENTAL · ●○○○Consideremos:
Como:
entonces:
Con un exponente negativo:
como:
obtenemos:
3.27. Formas equivalentes: cambiar el coeficiente obliga a compensar el exponente
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
El valor es correcto, pero la expresión no está normalizada porque:
Podemos escribir:
Entonces:
Como:
resulta:
Si modificamos el coeficiente por una potencia de diez, debemos modificar el exponente en sentido contrario para conservar el valor.
3.28. Regla general para cambiar el coeficiente sin cambiar el número
Sea:
Tomemos cualquier entero k.
Si multiplicamos el coeficiente por:
debemos disminuir el exponente en k:
Por la propiedad de las potencias:
Por tanto:
De forma equivalente:
Esta identidad explica por qué diferentes pares coeficiente–exponente pueden representar el mismo valor antes de imponer la normalización.
3.29. ¿Qué ocurre con los números negativos?
El signo del número pertenece al coeficiente.
Por ejemplo:
se escribe:
Aquí:
y:
Por tanto:
En:
el signo negativo de −3,2 pertenece al coeficiente.
El signo negativo de −5 pertenece al exponente.
Cumplen funciones matemáticas diferentes.
3.30. El caso especial del cero
AVANZADO · ●●●○Para todo número real distinto de cero buscamos:
con:
El cero no puede cumplir esa condición, porque su coeficiente tendría que ser 0.
Además:
Existen, por tanto, muchas expresiones del tipo:
pero ninguna satisface:
El cero no posee una representación científica normalizada de la misma forma que un número no nulo. Como número matemático puede escribirse simplemente 0.
3.31. La notación E en calculadoras, tablas y software
INTERMEDIO · ●●○○Muchas herramientas digitales utilizan la letra:
para representar una multiplicación por una potencia de diez.
Por ejemplo:
se interpreta como:
Y:
representa:
En este contexto funciona como indicador de una potencia de diez. La apariencia exacta puede variar entre calculadoras, programas y configuraciones regionales.
Tabla 3.5. Interpretación de algunas expresiones digitales
| Pantalla | Interpretación matemática | Forma decimal |
|---|---|---|
| 2.5E+3 | 2,5×10³ | 2.500 |
| 7.2E−4 | 7,2×10⁻⁴ | 0,00072 |
| 1E+6 | 1×10⁶ | 1.000.000 |
| 9.81E+0 | 9,81×10⁰ | 9,81 |
Nota. La presencia del signo +, la cantidad de dígitos del exponente y el separador decimal pueden variar entre interfaces.
3.32. Notación científica no significa automáticamente mayor calidad de medición
Como números matemáticos:
y:
representan exactamente el mismo valor:
Pero si aparecen como resultados de una medición, la cantidad de cifras mostradas puede comunicar información sobre cómo se presenta el resultado.
- la medición sea más exacta;
- el instrumento tenga mejor resolución;
- la incertidumbre sea menor;
- el resultado esté más cerca del valor de referencia.
Para responder estas preguntas debemos conocer cómo se realizó la medición.
¿Cómo representamos correctamente el número?
¿Qué información experimental justifican las cifras que estamos comunicando?
3.33. Errores frecuentes
representa un número correctamente, pero no está normalizado.
representa 5×10⁻⁴ en este contexto.
no está normalizado porque debe cumplirse |a|<10.
Reconstruir el número es una comprobación más segura.
La calidad de una medición no se deduce únicamente de la apariencia del número.
3.34. Práctica por niveles
1. Escribe en notación científica normalizada:
- 8.500
- 72.000.000
- 0,0046
- 0,00000032
2. Convierte a forma decimal:
- 4,3×10⁵
- 7,25×10⁻³
- 1,08×10⁷
- 9,6×10⁻⁸
3. Normaliza:
- 42×10⁵
- 0,76×10⁹
- 318×10⁻⁷
- 0,0045×10¹²
- −52×10⁻³
4. Demuestra que para todo entero k:
Después explica por qué esta igualdad permite modificar el coeficiente hasta obtener:
3.35. Respuestas breves
a) 8,5×10³
b) 7,2×10⁷
c) 4,6×10⁻³
d) 3,2×10⁻⁷
a) 430.000
b) 0,00725
c) 10.800.000
d) 0,000000096
a) 4,2×10⁶
b) 7,6×10⁸
c) 3,18×10⁻⁵
d) 4,5×10⁹
e) −5,2×10⁻²
3.36. Comprueba lo aprendido
- ¿Cuál es la estructura general de una notación científica normalizada?
- ¿Qué representa el coeficiente?
- ¿Por qué utilizamos base 10?
- ¿Qué información aporta el exponente?
- ¿Qué condición debe cumplir el coeficiente?
- ¿Por qué utilizamos |a| cuando incluimos números negativos?
- ¿Cuánto vale 10⁰?
- ¿Qué significa 10⁻⁴?
- ¿Por qué un exponente negativo no convierte necesariamente el número en negativo?
- Convierte 92.000.000 a notación científica.
- Convierte 0,0000067 a notación científica.
- Convierte 3,25×10⁴ a forma decimal.
- Convierte 8,1×10⁻⁵ a forma decimal.
- ¿Está 23×10⁴ normalizado? Explica.
- Escribe una forma normalizada equivalente a 23×10⁴.
- ¿Está 10×10⁴ normalizado? Explica.
- ¿Qué significa 5.6E−7 en una interfaz que utiliza esa convención?
- ¿Por qué el cero constituye un caso especial?
- ¿Cambiar de forma decimal a científica cambia el valor?
- Explica matemáticamente qué significa la expresión informal «mover la coma».
- ¿Por qué una escritura con más cifras no demuestra por sí sola mayor exactitud experimental?
Síntesis de la Parte 2
Todo número real distinto de cero puede escribirse en notación científica normalizada como:
con 1≤|a|<10 y n entero.
El coeficiente contiene las cifras principales y la potencia de diez determina la escala.
exponente cero → factor 1
exponente negativo → potencia recíproca
Comprendimos además que:
Es una consecuencia visual de modificar el coeficiente mientras una potencia de diez compensa exactamente ese cambio.
Y cuando el número procede de una medición, tampoco debemos confundir su representación con la calidad experimental del resultado.
Referencias
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Marecek, L., Anthony-Smith, M., & Mathis, A. H. (2020). Prealgebra 2e. OpenStax.
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
Conversión entre forma decimal y notación científica
Ya comprendemos la estructura:
En la siguiente parte profundizaremos en el procedimiento:
Y añadiremos algo fundamental:
Aprenderemos a:
- estimar el exponente antes de calcular;
- reconstruir el número original;
- detectar errores de escala;
- normalizar expresiones equivalentes;
- demostrar la unicidad de la representación normalizada para números no nulos.
La Parte 3 continúa en 3.37 · Figura 3.9 · Tabla 3.6 · Demostración 4.
Conversión entre forma decimal y notación científica
Dominar el procedimiento sin perder el significado
estimar · convertir · normalizar · reconstruir · comprobar · interpretar
En la Parte 2 construimos la estructura:
con:
y n entero.
Ahora aprenderemos a convertir números en ambos sentidos:
Pero no reduciremos el procedimiento a contar ceros.
Esta secuencia permite detectar errores antes, durante y después del cálculo.
3.37. Del conocimiento de la estructura al dominio del procedimiento
FUNDAMENTAL · ●○○○Para un número real distinto de cero queremos dominar dos procesos.
Identificamos el coeficiente normalizado y la potencia de diez necesaria.
Reconstruimos el valor mediante la multiplicación por 10ⁿ.
Los dos procesos deben ser inversos.
debe devolver exactamente el número original.
3.38. Procedimiento general: decimal → científica
Para x≠0:
Conserva el signo del número.
Construye a de modo que 1≤|a|<10.
Determina la potencia de diez que relaciona a con x.
Verifica que a×10ⁿ reproduzca exactamente x.
El fundamento matemático consiste en determinar el factor 10ⁿ que hace verdadera la igualdad x=a×10ⁿ.
3.39. Ejemplo guiado: número grande
FUNDAMENTAL · ●○○○Transformemos:
Primero estimamos su escala:
Por tanto esperamos:
El coeficiente normalizado es:
Entonces:
Comprobación:
3.40. Ejemplo guiado: número pequeño
Transformemos:
Observamos:
Por tanto:
El coeficiente es:
Así:
Comprobación:
3.41. ¿Qué ocurre si el valor absoluto ya está entre 1 y 10?
Consideremos:
Ya cumple:
Por tanto:
Como:
el valor permanece exactamente igual.
También:
3.42. Números negativos: el signo pertenece al coeficiente
Transformemos:
Analizamos primero su valor absoluto:
Como:
el exponente es:
El coeficiente conserva el signo del número:
El signo de a indica si el número es positivo o negativo.
El exponente n indica la escala decimal de |x|.
Tabla 3.6. Conversión de forma decimal a notación científica
| Número original | Coeficiente a | Exponente n | Resultado normalizado |
|---|---|---|---|
| 64.000 | 6,4 | 4 | 6,4×10⁴ |
| 5.830.000 | 5,83 | 6 | 5,83×10⁶ |
| 0,072 | 7,2 | −2 | 7,2×10⁻² |
| 0,0000094 | 9,4 | −6 | 9,4×10⁻⁶ |
| −310.000 | −3,1 | 5 | −3,1×10⁵ |
| −0,00072 | −7,2 | −4 | −7,2×10⁻⁴ |
| 8,6 | 8,6 | 0 | 8,6×10⁰ |
3.43. Antes de convertir, estima la escala
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
Antes de efectuar cualquier desplazamiento podemos observar:
Por tanto, si:
con:
necesariamente:
Efectivamente:
Localizar un número positivo entre dos potencias consecutivas de diez permite anticipar el exponente de su forma normalizada.
3.44. La potencia de diez que encierra a x determina su exponente normalizado
Sea:
Supongamos:
Dividimos entre 10ⁿ:
Definimos:
Entonces:
Además:
Por tanto:
Para x<0 aplicamos el mismo razonamiento a:
El signo negativo permanece en el coeficiente.
3.45. Atajo razonado para enteros positivos
Consideremos:
Es un entero positivo con:
Todo entero positivo de seis cifras satisface:
Por tanto:
Así:
Si un entero positivo posee d cifras:
La expresión n=d−1, formulada de esta manera, se aplica a enteros positivos. No debe trasladarse mecánicamente a números entre 0 y 1.
3.46. Atajo razonado para números positivos entre 0 y 1
Consideremos:
La primera cifra distinta de cero es:
Se encuentra en la cuarta posición decimal.
Además:
Por tanto:
Si la primera cifra distinta de cero aparece en la posición decimal k:
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
3.47. Procedimiento inverso: científica → decimal
FUNDAMENTAL · ●○○○Partimos de:
Ahora ya conocemos el coeficiente y el exponente.
Debemos interpretar:
El valor absoluto aumenta respecto del coeficiente.
El número coincide con el coeficiente.
El valor absoluto disminuye respecto del coeficiente.
3.48. Exponente positivo: reconstruir una cantidad grande
Consideremos:
Como:
tenemos:
3.49. Exponente negativo: reconstruir una cantidad pequeña
Consideremos:
Como:
entonces:
Tabla 3.7. Conversión de notación científica a forma decimal
| Notación científica | Potencia de diez | Forma decimal |
|---|---|---|
| 3,8×10³ | 1.000 | 3.800 |
| 7,21×10⁶ | 1.000.000 | 7.210.000 |
| 4,5×10⁻² | 0,01 | 0,045 |
| 8,03×10⁻⁶ | 0,000001 | 0,00000803 |
| −2,7×10⁴ | 10.000 | −27.000 |
| 9,4×10⁰ | 1 | 9,4 |
3.50. Los ceros pueden cumplir una función puramente posicional
Al reconstruir:
obtenemos:
Los ceros permiten colocar correctamente las cifras dentro del sistema decimal.
De manera semejante:
Los ceros anteriores al 4 indican la posición decimal de la primera cifra distinta de cero.
En estos ejemplos los ceros cumplen una función posicional. La interpretación de ceros como cifras significativas, así como su relación con resolución e incertidumbre, requiere información adicional.
3.51. Expresiones equivalentes y forma normalizada
Consideremos:
También podemos escribir:
o:
Las tres expresiones representan:
Pero solamente:
cumple:
3.52. Un número real distinto de cero tiene una forma científica normalizada única
Supongamos:
donde:
Tomando valores absolutos:
Dividimos:
Como:
y:
entonces:
Pero 10m−n es una potencia entera de diez.
La única potencia entera de diez estrictamente comprendida entre 0,1 y 10 es:
Por tanto:
Y entonces:
Así, todo número real distinto de cero posee una única representación científica normalizada.
3.53. La unidad no desaparece al cambiar la representación numérica
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
Podemos reescribir el valor numérico:
Por tanto:
La unidad sigue siendo:
125.000 → 1,25×10⁵
La unidad permanece m.
Cambia coordinadamente el valor numérico y la unidad utilizada para expresar la misma magnitud.
3.54. Tres comprobaciones para detectar un exponente incorrecto
¿Se cumple:
¿El exponente concuerda con el tamaño aproximado del número?
¿a×10ⁿ recupera exactamente el número original?
Consideremos:
El coeficiente 8,2 sí está normalizado.
Pero la escala indica:
Por tanto, un exponente 6 no puede ser correcto.
Además:
Así:
La expresión correcta es:
¿cumple 1≤|a|<10?
¿n es razonable para el tamaño de |x|?
¿a×10ⁿ=x?
Tabla 3.8. Diagnóstico rápido de resultados
| Propuesta | Diagnóstico | Corrección |
|---|---|---|
| 45.000=45×10³ | Igualdad correcta, pero no normalizada. | 4,5×10⁴ |
| 0,006=6×10³ | Exponente con signo y escala incorrectos. | 6×10⁻³ |
| 720.000=7,2×10⁵ | Correcta y normalizada. | No requiere corrección. |
| 3,1×10⁻⁴=0,0031 | Reconstrucción decimal incorrecta. | 0,00031 |
| −85.000=−8,5×10⁴ | Correcta y normalizada. | No requiere corrección. |
3.55. Errores frecuentes
El exponente depende de la posición decimal, no del número total de ceros visibles.
Si x está entre 10⁴ y 10⁵, un exponente 7 debe provocar una revisión.
El signo del coeficiente debe conservar el signo de x.
Modificar a exige modificar n para conservar x.
35×10⁴ es equivalente a 350.000, pero no está normalizado.
La regla se formuló para enteros positivos de d cifras.
La notación científica cambia la representación numérica, no constituye por sí misma una conversión de unidades.
La herramienta calcula; la persona debe juzgar si la escala tiene sentido.
3.56. Práctica por niveles
1. Convierte a notación científica normalizada:
- 63.000
- 5.400.000
- 0,0082
- 0,00000075
- −920.000
Reconstruye cada número para comprobar el resultado.
2. Convierte a forma decimal:
- 7,4×10⁴
- 2,18×10⁷
- 5,6×10⁻³
- 8,02×10⁻⁶
- −3,9×10⁵
3. Predice primero el exponente y convierte después:
- 73.400.000
- 0,000084
- 912
- 0,00307
- −5.800.000.000
Justifica el exponente mediante potencias consecutivas de diez.
4. Para cada x>0 determina n de modo que:
Usa:
- x=6.230
- x=0,00072
- x=89.000.000
- x=0,045
Después calcula:
y verifica que 1≤a<10.
3.57. Respuestas para comprobar el procedimiento
a) 6,3×10⁴
b) 5,4×10⁶
c) 8,2×10⁻³
d) 7,5×10⁻⁷
e) −9,2×10⁵
a) 74.000
b) 21.800.000
c) 0,0056
d) 0,00000802
e) −390.000
a) n=7 → 7,34×10⁷
b) n=−5 → 8,4×10⁻⁵
c) n=2 → 9,12×10²
d) n=−3 → 3,07×10⁻³
e) n=9 → −5,8×10⁹
a) n=3; a=6,23
b) n=−4; a=7,2
c) n=7; a=8,9
d) n=−2; a=4,5
3.58. Síntesis: convertir no es desplazar una coma al azar
En esta parte dominamos los dos sentidos:
Pero la estrategia completa no fue:
sino:
↓
construir el coeficiente
↓
determinar el exponente
↓
normalizar
↓
reconstruir el valor
Para x>0:
identifica el exponente de su forma normalizada.
Para números negativos aplicamos el mismo criterio a:
También demostramos que, para x≠0, la representación científica normalizada es única.
y debe superar las pruebas de normalización, escala y reconstrucción.
Referencias
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Marecek, L., Anthony-Smith, M., & Mathis, A. H. (2020). Prealgebra 2e. OpenStax.
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
Operaciones con potencias de diez y notación científica
Ya sabemos representar una cantidad y reconstruirla.
Ahora aprenderemos a:
Aparecerá una diferencia fundamental:
Las leyes de los exponentes permiten operar directamente con las potencias de diez.
Los términos deben expresarse primero mediante una potencia común.
La pregunta central será:
La Parte 4 continúa en 3.59 · Figura 3.13 · Tabla 3.9 · Demostración 6.
Operaciones con potencias de diez y notación científica
Multiplicar, dividir, elevar, extraer raíces, sumar y restar
propiedades · escala común · normalización · unidades · comprobación
Ya sabemos representar una cantidad mediante:
Ahora aprenderemos a calcular con expresiones de este tipo.
La idea central es que cada operación aritmética trata las potencias de diez de manera diferente.
El objetivo no es memorizar reglas aisladas, sino comprender de qué propiedad algebraica procede cada una.
3.59. Antes de operar: recordemos las leyes de los exponentes
FUNDAMENTAL · ●○○○Las operaciones con notación científica se apoyan en propiedades generales de las potencias.
Para exponentes enteros m y n:
Tabla 3.9. Reglas esenciales de las potencias de diez
| Situación | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | 10ᵐ·10ⁿ=10m+n | 10³·10⁵=10⁸ |
| Cociente | 10ᵐ/10ⁿ=10m−n | 10⁷/10²=10⁵ |
| Potencia de potencia | (10ᵐ)p=10mp | (10³)²=10⁶ |
| Exponente cero | 10⁰=1 | 4,2×10⁰=4,2 |
| Exponente negativo | 10⁻ⁿ=1/10ⁿ, para n>0 | 10⁻³=0,001 |
3.60. ¿Por qué al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes?
Consideremos:
Por definición:
y:
Entonces:
En total aparecen cinco factores iguales a 10:
Por eso: 10ᵐ×10ⁿ=10m+n.
3.61. Multiplicar números en notación científica
FUNDAMENTAL · ●○○○Consideremos:
Agrupamos coeficientes y potencias:
Entonces:
En general:
3.62. Multiplicación cuando el coeficiente final no queda normalizado
Calculemos:
Coeficientes:
Potencias:
Resultado provisional:
La igualdad es correcta, pero la expresión no está normalizada.
Como:
entonces:
ab
m+n
3.63. Multiplicar cuando aparecen exponentes negativos
Consideremos:
Coeficientes:
Exponentes:
Entonces:
Normalizando:
3.64. Dividir números en notación científica
Consideremos:
Dividimos coeficientes:
Y dividimos potencias:
En general, para b≠0:
3.65. ¿Por qué en la división se restan exponentes?
Consideremos:
Podemos escribir:
Cancelamos dos factores comunes.
Entonces:
3.66. División que exige normalización
Calculemos:
Coeficientes:
Exponentes:
Resultado provisional:
Normalizamos:
3.67. Elevar un número en notación científica
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
El exponente 2 afecta a toda la expresión:
Así:
Para p entero positivo:
3.68. Cuando una potencia obliga a normalizar nuevamente
Calculemos:
Tenemos:
Normalizando:
3.69. Raíces cuadradas y potencias de diez
AVANZADO · ●●●○Para trabajar con raíces cuadradas reales, la cantidad situada bajo la raíz debe ser no negativa.
Consideremos:
Como:
y:
obtenemos:
3.70. ¿Qué hacemos si el exponente es impar?
Consideremos:
Podemos reescribir:
Entonces:
Por tanto:
reescribir con exponente par
3.71. Sumar números en notación científica: aparece una regla diferente
Consideremos:
Las dos cantidades comparten el factor:
Aplicamos la propiedad distributiva:
Sumar exponentes corresponde a multiplicar potencias, no a sumar términos.
3.72. ¿Por qué la suma exige una potencia común?
Consideremos:
No podemos sumar directamente:
porque los coeficientes están asociados a potencias de diez diferentes.
3.73. La suma con exponente común proviene de la propiedad distributiva
Consideremos:
Como ambos términos comparten 10ⁿ:
Para una resta:
Si las potencias no coinciden, primero debemos reescribir uno o ambos términos.
3.74. Suma con exponentes diferentes
Consideremos:
Reescribimos:
Entonces:
Por tanto:
3.75. Resta con exponentes diferentes
Calculemos:
Expresamos:
Entonces:
3.76. Podemos escoger diferentes exponentes comunes
Consideremos:
Ambos procedimientos son correctos.
Tabla 3.10. Comportamiento de coeficientes y exponentes según la operación
| Operación | Coeficientes | Potencias de diez | Después |
|---|---|---|---|
| Multiplicación | Se multiplican. | Se suman los exponentes. | Normalizar. |
| División | Se dividen. | Se restan los exponentes. | Normalizar. |
| Potencia entera positiva | Se eleva el coeficiente. | El exponente se multiplica por p. | Normalizar. |
| Raíz cuadrada real | Se extrae la raíz. | Conviene utilizar exponente par. | Reescribir si hace falta. |
| Suma | Se suman después de igualar la escala. | Deben hacerse iguales. | Normalizar. |
| Resta | Se restan después de igualar la escala. | Deben hacerse iguales. | Normalizar. |
3.77. Unidades y números se operan simultáneamente
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos el área de un rectángulo:
Supongamos:
y:
Entonces:
Operamos:
y:
Forma parte de la expresión de la cantidad y debe transformarse coherentemente durante el cálculo.
3.78. Ejemplo eléctrico: potencia a partir de voltaje y corriente
INTERMEDIO · ●●○○En un circuito de corriente continua, la potencia eléctrica puede calcularse mediante:
Consideremos:
e:
Entonces:
Coeficientes:
Exponentes:
Así:
Como:
obtenemos:
No debemos interpretar este ejemplo como si VA y W fueran siempre conceptos equivalentes.
En corriente alterna, el volt-ampere se utiliza habitualmente para expresar potencia aparente, mientras que el watt expresa potencia activa.
3.79. Operaciones combinadas
AVANZADO · ●●●○Consideremos:
Numerador:
Dividimos:
Coeficientes:
Exponentes:
No siempre es necesario normalizar cada resultado intermedio. Puede ser más eficiente conservar una forma equivalente y normalizar al final.
3.80. Calculadora: EXP, EE y E sin perder el control conceptual
Según el dispositivo, una cantidad como:
puede introducirse o mostrarse mediante:
Por ejemplo:
representa:
Antes de aceptar una respuesta debemos revisar:
- signo;
- escala;
- unidad;
- normalización;
- coherencia con el problema.
Operar coeficientes.
Aplicar leyes de exponentes.
Normalizar.
Igualar potencias.
Operar coeficientes.
Normalizar.
Aplicar la operación a toda la expresión y respetar el dominio matemático.
3.81. Errores frecuentes
Una raíz cuadrada real requiere radicando no negativo.
Un resultado calculado todavía debe interpretarse.
Tabla 3.11. Comprobaciones rápidas después de operar
| Pregunta | Qué permite detectar |
|---|---|
| ¿El coeficiente cumple 1≤|a|<10? | Errores de normalización. |
| ¿El signo tiene sentido? | Errores de signos. |
| ¿La potencia de diez tiene una escala razonable? | Errores de exponente. |
| ¿Las unidades resultantes son coherentes? | Errores dimensionales. |
| ¿Se respetó el dominio matemático? | Problemas con división entre cero o raíces reales. |
| ¿Puedo estimar el resultado? | Errores de uno o varios órdenes de magnitud. |
3.82. Práctica por niveles
1. Multiplica y normaliza:
- (2×10³)(4×10⁵)
- (5×10⁻²)(3×10⁴)
- (6×10⁷)(2×10⁻³)
- (4×10⁻⁵)(5×10⁻²)
2. Divide y normaliza:
- (8×10⁶)/(2×10²)
- (9×10⁻³)/(3×10⁴)
- (4×10⁵)/(8×10⁻²)
3. Suma o resta:
- 3,4×10⁵+2,1×10⁵
- 6,2×10⁶+4,5×10⁵
- 8,4×10⁻³−2,7×10⁻⁴
- 9×10⁴−3,5×10⁴
4. Potencias y raíces:
- (3×10²)²
- (2×10⁻³)³
- √(16×10⁶)
- √(8,1×10⁵)
5. Demuestra:
Después explica por qué:
es falsa en general.
Construye un contraejemplo y determina cuándo sí pueden sumarse directamente los coeficientes.
3.83. Respuestas breves
a) 8×10⁸
b) 1,5×10³
c) 1,2×10⁵
d) 2×10⁻⁶
a) 4×10⁴
b) 3×10⁻⁷
c) 5×10⁶
a) 5,5×10⁵
b) 6,65×10⁶
c) 8,13×10⁻³
d) 5,5×10⁴
a) 9×10⁴
b) 8×10⁻⁹
c) 4×10³
d) 9×10²
mientras que la regla falsa produciría:
Los coeficientes pueden sumarse directamente cuando los términos están expresados con la misma potencia de diez.
3.84. Comprueba lo aprendido
- ¿Por qué se suman exponentes al multiplicar potencias de diez?
- ¿Por qué se restan en la división?
- ¿Cómo se calcula (a×10ᵐ)(b×10ⁿ)?
- ¿Qué condición debe cumplir b en un cociente?
- ¿Qué debe hacerse si el coeficiente final no está normalizado?
- ¿Cómo se calcula (a×10ⁿ)p?
- ¿Qué condición debe cumplir un radicando para tener raíz cuadrada real?
- ¿Qué estrategia puede utilizarse si el exponente es impar?
- ¿Por qué no podemos sumar directamente coeficientes asociados a exponentes diferentes?
- ¿Qué propiedad explica la suma con potencia común?
- ¿Podemos utilizar diferentes exponentes comunes?
- ¿Por qué deben operarse también las unidades?
- ¿Qué significa 1.28E3?
- ¿Qué diferencia existe entre un resultado equivalente y uno normalizado?
- ¿Por qué 10³+10³ no es 10⁶?
- Calcula (5×10⁴)(2×10⁻³).
- Calcula (6×10⁷)/(3×10²).
- Calcula 4×10⁵+7×10⁴.
- Calcula 3×10⁻²−8×10⁻³.
- ¿Por qué W y VA no deben confundirse en corriente alterna?
- ¿Qué comprobaciones conviene realizar después de operar?
16) 1×10²
17) 2×10⁵
18) 4,7×10⁵
19) 2,2×10⁻²
3.85. Síntesis de la Parte 4
La notación científica ya no es solamente una forma compacta de escribir números.
También permite organizar el cálculo separando:
Cada operación utiliza una lógica diferente:
dividir → dividir coeficientes y restar exponentes
elevar → elevar coeficientes y multiplicar exponentes
raíz cuadrada → adaptar el exponente y extraer raíces
sumar/restar → igualar primero las potencias de diez
También aprendimos que:
forman conjuntamente el resultado.
El objetivo no es recordar qué hacer con un exponente, sino comprender por qué debe hacerse.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Ling, S. J., Sanny, J., & Moebs, W. (2016). University Physics Volume 2. OpenStax.
Marecek, L., Anthony-Smith, M., & Mathis, A. H. (2020). Prealgebra 2e. OpenStax.
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
Órdenes de magnitud y comparación de escalas
Ya podemos:
Ahora utilizaremos las potencias de diez para responder una pregunta diferente:
Distinguiremos:
- razón exacta entre dos cantidades;
- diferencia de exponentes;
- orden de magnitud;
- aproximación mediante potencias de diez;
- comparación en escala logarítmica.
La Parte 5 continúa en 3.86 · Figura 3.16 · Tabla 3.12 · Demostración 9.
Órdenes de magnitud y comparación de escalas
De «más grande» a «cuántas veces más grande»
razón · escala · potencia de diez · estimación · logaritmo · comparación
Hasta ahora utilizamos las potencias de diez para representar cantidades y realizar operaciones.
Ahora las utilizaremos para comparar escalas.
Aprenderemos a distinguir tres conceptos relacionados, pero diferentes:
- exponente de la notación científica;
- orden de magnitud;
- razón exacta entre dos cantidades.
Esta distinción nos permitirá comparar cantidades sin confundir una aproximación de escala con una relación numérica exacta.
3.86. «Mayor» no dice cuánto mayor
FUNDAMENTAL · ●○○○Consideremos:
y
Podemos afirmar:
Pero esa afirmación solo indica cuál cantidad es mayor.
Una comparación más informativa consiste en calcular:
Por tanto:
La razón expresa el factor multiplicativo que relaciona las dos cantidades.
3.87. Comparar mediante una razón
Si A y B son cantidades positivas de la misma magnitud física, primero deben expresarse en unidades compatibles.
Después podemos calcular:
Las cantidades son iguales.
A es R veces B.
A es menor que B.
Por ejemplo:
y
Entonces:
No tiene sentido interpretar directamente «cuántas veces» comparando, por ejemplo, una longitud con una masa.
3.88. Las potencias de diez forman una escalera multiplicativa
Consideremos:
Cada paso hacia la derecha multiplica por:
Cada paso hacia la izquierda divide entre:
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1.000
3.89. ¿Qué significa «un orden de magnitud»?
Para un número positivo, su orden de magnitud puede entenderse como la potencia de diez más próxima cuando la comparación se realiza en una escala logarítmica.
Es una descripción aproximada de la escala en la que se encuentra una cantidad.
Las potencias:
representan diferentes órdenes de magnitud.
Pasar de una a la siguiente implica un cambio por un factor 10.
3.90. El exponente científico como indicador de escala
FUNDAMENTAL · ●○○○Si:
está normalizado y x>0:
entonces:
Por ello, el exponente n identifica la región de escala donde se encuentra x.
Por ejemplo:
está entre:
Mientras:
está entre:
El exponente localiza el intervalo de escala; el orden de magnitud selecciona la potencia de diez más próxima.
Tabla 3.12. Exponente científico como indicador de intervalo de escala
| Cantidad | Forma científica | Exponente | Intervalo |
|---|---|---|---|
| 72.000 | 7,2×10⁴ | 4 | 10⁴≤x<10⁵ |
| 5.300.000 | 5,3×10⁶ | 6 | 10⁶≤x<10⁷ |
| 0,0064 | 6,4×10⁻³ | −3 | 10⁻³≤x<10⁻² |
| 0,00000082 | 8,2×10⁻⁷ | −7 | 10⁻⁷≤x<10⁻⁶ |
3.91. El exponente y el orden de magnitud pueden ser diferentes
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
El exponente científico es:
Por tanto:
Sin embargo, 9.900 está mucho más cerca, multiplicativamente, de:
que de:
Exponente científico: identifica el intervalo entre dos potencias consecutivas.
Orden de magnitud: identifica la potencia de diez más próxima.
3.92. Orden de magnitud como potencia de diez más próxima
AVANZADO · ●●●○Sea:
con:
Queremos decidir si x está más cerca, en sentido multiplicativo, de:
o de:
La respuesta depende del coeficiente a.
3.93. ¿Dónde está la frontera entre 10ⁿ y 10ⁿ⁺¹?
Sea:
con:
El factor que separa x de la potencia inferior es:
El factor que separa la potencia superior de x es:
En la frontera ambos factores son iguales:
Entonces:
Como a>0:
Por tanto:
Si a=√10, ambas potencias se encuentran a la misma distancia multiplicativa.
1≤a<√10
orden de magnitud: 10ⁿ
≈3,1623
√10<a<10
orden de magnitud: 10ⁿ⁺¹
3.94. Dos conceptos que debemos mantener separados
Si:
n identifica el intervalo 10ⁿ≤x<10ⁿ⁺¹.
Es la potencia de diez más próxima.
Puede ser 10ⁿ o 10ⁿ⁺¹, según el valor del coeficiente.
Por ejemplo:
Su exponente científico es:
Pero:
Por tanto, su orden de magnitud es:
Llamaremos orden de magnitud a la potencia de diez más próxima. Cuando nos refiramos únicamente a n, hablaremos de exponente científico o de intervalo de escala.
Tabla 3.13. Exponente científico y orden de magnitud
| Cantidad | Exponente científico | Coeficiente | Orden de magnitud |
|---|---|---|---|
| 1,4×10³ | 3 | 1,4 | 10³ |
| 3×10³ | 3 | 3 | 10³ |
| 4×10³ | 3 | 4 | 10⁴ |
| 9,5×10³ | 3 | 9,5 | 10⁴ |
| 2×10⁻⁵ | −5 | 2 | 10⁻⁵ |
| 8×10⁻⁵ | −5 | 8 | 10⁻⁴ |
3.95. Comparar dos cantidades escritas en notación científica
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
y
Como:
sabemos inmediatamente que A>B.
Para saber cuántas veces mayor:
Entonces:
3.96. La diferencia de exponentes no determina la razón exacta
Consideremos:
y
La diferencia de exponentes es:
Pero:
Si:
y:
la razón también depende del cociente a/b.
3.97. Diferencia y separación entre escalas
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●Para dos cantidades positivas y compatibles A y B, podemos definir:
A está en una escala mayor que B.
A está en una escala menor que B.
Si queremos saber únicamente cuántos órdenes separan ambas cantidades:
Si:
entonces:
y:
3.98. Separación de escalas a partir de las formas científicas
Sean:
y:
Entonces:
Aplicamos logaritmo decimal:
Por tanto:
Y:
La diferencia de exponentes constituye solo una parte de la comparación; los coeficientes aportan el resto.
3.99. Una separación que no es un número entero de órdenes
Supongamos:
Como:
tenemos:
Y:
Por tanto:
A es 2.000 veces B.
A se encuentra aproximadamente 3,30 órdenes de magnitud por encima de B.
3.100. Factores conocidos y separaciones exactas
1 orden
2 órdenes
3 órdenes
6 órdenes
Por ejemplo:
y
Entonces:
Además:
3.101. Estimar antes de calcular exactamente
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
Antes de completar el cálculo observamos:
El producto de coeficientes es:
Por tanto:
Como:
la potencia de diez más próxima es:
Antes del cálculo anticipamos la escala probable.
Después verificamos si el resultado pertenece a una región coherente.
3.102. Estimaciones de orden de magnitud
AVANZADO · ●●●○Consideremos:
El producto de coeficientes es:
Por tanto:
El exponente científico del resultado es:
Sin embargo:
Por ello, la potencia de diez más próxima es:
La cantidad:
tiene exponente científico 11, pero orden de magnitud 10¹² bajo el criterio de la potencia de diez más próxima.
Estar cerca de la frontera √10 hace especialmente importante distinguir ambos conceptos.
3.103. Aplicación eléctrica: comparar dos niveles de voltaje
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos dos diferencias de potencial hipotéticas:
y
Como expresan la misma magnitud y utilizan la misma unidad:
Los coeficientes se cancelan:
Además:
Por tanto:
3.104. Una cantidad mucho menor puede ser despreciable… o no
AVANZADO · ●●●○Consideremos:
y
Entonces:
También:
La contribución relativa de B respecto de A es:
En porcentaje:
En algunos modelos esa contribución podría ignorarse.
Pero no siempre.
La posibilidad de despreciar una contribución depende de:
- la finalidad del cálculo;
- la tolerancia permitida;
- la incertidumbre de los datos;
- la sensibilidad del sistema;
- las consecuencias de la decisión.
Una contribución del 0,01 % puede ser irrelevante en un problema y crítica en otro.
Tabla 3.14. Diferencia de escala y contribución relativa
| A | B | B/A | B respecto de A |
|---|---|---|---|
| 10⁶ | 10⁵ | 10⁻¹ | 10 % |
| 10⁶ | 10⁴ | 10⁻² | 1 % |
| 10⁶ | 10³ | 10⁻³ | 0,1 % |
| 10⁶ | 10² | 10⁻⁴ | 0,01 % |
Nota. La tabla utiliza coeficientes iguales a 1. Con otros coeficientes, la contribución relativa debe calcularse explícitamente.
3.105. ¿Por qué aparecen escalas logarítmicas?
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●En una escala lineal, distancias iguales representan diferencias aditivas iguales.
Por ejemplo:
Pero cuando una variable recorre muchos órdenes de magnitud, puede resultar más útil representar factores multiplicativos iguales mediante distancias iguales.
En una escala logarítmica decimal:
las potencias sucesivas pueden representarse con separaciones iguales porque:
3.106. El logaritmo transforma razones en diferencias
Sean:
y:
Se cumple:
Así, una razón multiplicativa:
se transforma en una diferencia:
Si:
entonces:
Esta propiedad explica por qué los logaritmos resultan especialmente útiles para comparar escalas multiplicativas.
Distancias iguales representan diferencias iguales.
Distancias iguales representan factores 10 iguales.
3.107. Errores frecuentes
No informa el factor que separa ambas cantidades.
La razón completa contiene (a/b)×10ᵐ⁻ⁿ.
El orden de magnitud requiere identificar la potencia de diez más próxima.
Dos órdenes corresponden a un factor 10²=100.
Para interpretar «cuántas veces», las cantidades deben ser comparables.
Primero deben expresarse en unidades compatibles.
Δ puede ser negativo; D=|Δ| no.
La importancia depende de su contribución relativa y del contexto.
10³ y 10⁴ están separados por un factor 10.
El orden de magnitud describe aproximadamente una escala.
3.108. Práctica por niveles
1. Indica cuántas veces mayor es la primera cantidad:
- 10⁵ frente a 10³
- 10⁷ frente a 10²
- 10⁻² frente a 10⁻⁵
- 10³ frente a 10⁻³
2. Calcula la razón:
- (6×10⁶)/(3×10³)
- (8×10⁻²)/(2×10⁻⁵)
- (4,5×10⁷)/(9×10⁴)
- (3×10⁻³)/(6×10⁻⁶)
3. Para cada cantidad determina:
- el exponente de su notación científica;
- su orden de magnitud.
a) 2,1×10⁴
b) 4,8×10⁴
c) 9,2×10⁻⁶
d) 3×10⁻⁶
4. Sean:
y
Calcula:
- A/B;
- la diferencia m−n entre exponentes científicos;
- Δ=log₁₀(A/B);
- D=|Δ|;
- explica por qué m−n y Δ no son iguales.
3.109. Respuestas breves
a) 100 veces
b) 100.000 veces
c) 1.000 veces
d) 1.000.000 veces
a) 2×10³=2.000
b) 4×10³=4.000
c) 5×10²=500
d) 5×10²=500
a) exponente 4; orden 10⁴
b) exponente 4; orden 10⁵
c) exponente −6; orden 10⁻⁵
d) exponente −6; orden 10⁻⁶
Diferencia de exponentes:
Diferencia logarítmica:
Separación:
El factor 3,5 aporta aproximadamente 0,5441 órdenes adicionales a la diferencia de exponentes.
3.110. Comprueba lo aprendido
- ¿Qué información aporta la razón A/B?
- ¿Qué condiciones deben cumplirse para interpretar una razón como «cuántas veces»?
- ¿Qué significa que A sea diez veces B?
- ¿Qué factor corresponde a dos órdenes de magnitud?
- ¿Qué factor corresponde a seis órdenes?
- ¿Qué relación existe entre potencias consecutivas de diez?
- ¿Qué indica el exponente de una notación científica normalizada?
- ¿Por qué el exponente científico no siempre coincide con el orden de magnitud?
- ¿Cuál es aproximadamente el valor de √10?
- ¿Por qué √10 aparece como frontera?
- ¿Cuándo el orden de a×10ⁿ es 10ⁿ?
- ¿Cuándo es 10ⁿ⁺¹?
- ¿Por qué la diferencia de exponentes no determina la razón exacta?
- Escribe la razón entre a×10ᵐ y b×10ⁿ.
- ¿Qué representa Δ=log₁₀(A/B)?
- ¿Qué diferencia existe entre Δ y D=|Δ|?
- ¿Qué significa una separación de 3,5 órdenes?
- ¿Por qué es útil estimar antes de calcular?
- ¿Cuándo puede ser razonable despreciar una contribución pequeña?
- ¿Por qué esa decisión depende del contexto?
- ¿Qué diferencia existe entre escala lineal y logarítmica?
- Explica por qué los órdenes de magnitud son útiles para comparar escalas.
3.111. Síntesis de la Parte 5
Las potencias de diez no solo sirven para representar y calcular.
También permiten:
La razón:
expresa el factor multiplicativo entre dos cantidades compatibles.
Distinguimos además:
orden de magnitud → potencia de diez más próxima
razón → comparación multiplicativa exacta
La frontera entre dos órdenes consecutivos aparece en:
Para comparar dos escalas positivas con dirección:
Y para expresar únicamente cuántos órdenes las separan:
Comprender una escala significa algo más que reconocer su exponente: significa saber compararla, interpretarla y juzgar su importancia.
Referencias
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Ling, S. J., Sanny, J., & Moebs, W. (2016). University Physics Volume 1. OpenStax.
Urone, P. P., & Hinrichs, R. (2020). Physics. OpenStax.
Sistema Internacional y prefijos SI
Hasta ahora hemos escrito escalas mediante:
En la siguiente parte aprenderemos que muchas de estas potencias poseen nombres y símbolos internacionalmente definidos:
Comprenderemos, por ejemplo, por qué:
Y construiremos la relación:
La Parte 6 continúa en 3.112 · Figura 3.20 · Tabla 3.15 · Demostración 12.
Sistema Internacional y prefijos SI
Nombrar las potencias de diez
múltiplos · submúltiplos · símbolos · factores · unidades · ingeniería
Un prefijo del Sistema Internacional representa un factor multiplicativo exacto.
Por ejemplo:
Comprender esta estructura permite convertir escalas mediante razonamiento matemático, sin depender de reglas mecánicas.
3.112. ¿Por qué poner nombres a ciertas potencias de diez?
FUNDAMENTAL · ●○○○En las partes anteriores aprendimos a trabajar con:
Estas potencias aparecen continuamente en ciencia, tecnología e ingeniería.
El Sistema Internacional asigna nombres y símbolos a determinadas potencias de diez.
kilo · k
mega · M
mili · m
micro · µ
Así:
y:
3.113. El prefijo representa un factor
Consideremos:
El símbolo:
representa:
Por tanto:
De manera semejante:
3.114. Múltiplos y submúltiplos
FUNDAMENTAL · ●○○○Utilizan factores mayores que 1.
Utilizan factores menores que 1.
Por ejemplo:
Mientras:
3.115. Los prefijos más frecuentes en ingeniería
En electricidad, electrónica y otras ramas de la ingeniería aparece con gran frecuencia la secuencia:
Sus factores son:
tera
10¹²giga
10⁹mega
10⁶kilo
10³sin prefijo
10⁰mili
10⁻³micro
10⁻⁶nano
10⁻⁹pico
10⁻¹²Tabla 3.15. Prefijos SI desde 10⁻³⁰ hasta 10³⁰
| Factor | Prefijo | Símbolo | Tipo |
|---|---|---|---|
| 10³⁰ | quetta | Q | Múltiplo |
| 10²⁷ | ronna | R | Múltiplo |
| 10²⁴ | yotta | Y | Múltiplo |
| 10²¹ | zetta | Z | Múltiplo |
| 10¹⁸ | exa | E | Múltiplo |
| 10¹⁵ | peta | P | Múltiplo |
| 10¹² | tera | T | Múltiplo |
| 10⁹ | giga | G | Múltiplo |
| 10⁶ | mega | M | Múltiplo |
| 10³ | kilo | k | Múltiplo |
| 10² | hecto | h | Múltiplo |
| 10¹ | deca | da | Múltiplo |
| 10⁰ | sin prefijo | — | Unidad |
| 10⁻¹ | deci | d | Submúltiplo |
| 10⁻² | centi | c | Submúltiplo |
| 10⁻³ | mili | m | Submúltiplo |
| 10⁻⁶ | micro | µ | Submúltiplo |
| 10⁻⁹ | nano | n | Submúltiplo |
| 10⁻¹² | pico | p | Submúltiplo |
| 10⁻¹⁵ | femto | f | Submúltiplo |
| 10⁻¹⁸ | atto | a | Submúltiplo |
| 10⁻²¹ | zepto | z | Submúltiplo |
| 10⁻²⁴ | yocto | y | Submúltiplo |
| 10⁻²⁷ | ronto | r | Submúltiplo |
| 10⁻³⁰ | quecto | q | Submúltiplo |
3.116. No todos los prefijos están separados por tres exponentes
En la secuencia:
cada paso equivale a:
Lo mismo ocurre en:
Sin embargo, cerca de la unidad encontramos también:
Es especialmente útil para muchos prefijos empleados en ingeniería, pero no describe todos los prefijos del SI.
3.117. Los símbolos distinguen mayúsculas y minúsculas
INTERMEDIO · ●●○○Comparemos:
y:
Por tanto:
mientras:
La razón es:
Cambiar una minúscula por una mayúscula puede modificar el valor en nueve órdenes de magnitud.
3.118. El prefijo y la unidad forman un solo símbolo
Consideremos:
El primer:
representa:
mientras el segundo:
es el símbolo de metro.
Así:
kilómetro
micrómetro
nanómetro
El símbolo del prefijo se coloca inmediatamente delante del símbolo de la unidad, sin espacio entre ambos.
3.119. ¿Por qué 1 µm = 1.000 nm?
Sabemos:
Y:
Calculamos:
Entonces:
Por tanto:
La conversión surge directamente de comparar las potencias de diez de ambos prefijos.
3.120. De una unidad con prefijo a la unidad sin prefijo
FUNDAMENTAL · ●○○○Transformemos:
a metros.
Como:
entonces:
3.121. Ejemplo con un submúltiplo
Transformemos:
a metros.
Como:
tenemos:
3.122. Micro y nano
Para:
utilizamos:
Entonces:
En forma decimal:
Ahora consideremos:
Como:
tenemos:
Normalizando:
3.123. De la unidad sin prefijo a una unidad con prefijo
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
En notación científica:
No existe un prefijo SI correspondiente a 10⁻⁵.
Pero podemos escribir:
Como:
obtenemos:
3.124. ¿Por qué aparece 25 y no 2,5?
La forma científica normalizada es:
Pero el prefijo micro corresponde a:
Por tanto:
En notación científica normalizada:
Una cantidad expresada mediante un prefijo SI no tiene que cumplir esa condición.
3.125. Comparar prefijos mediante exponentes
Supongamos que queremos pasar de:
a:
La diferencia entre exponentes es:
Por tanto:
Por ejemplo:
Tabla 3.16. Relaciones útiles entre prefijos habituales en ingeniería
| Conversión | Factor | Ejemplo |
|---|---|---|
| mega → kilo | ×1.000 | 1 MW=1.000 kW |
| kilo → unidad | ×1.000 | 1 kΩ=1.000 Ω |
| unidad → mili | ×1.000 | 1 A=1.000 mA |
| mili → micro | ×1.000 | 1 mA=1.000 µA |
| micro → nano | ×1.000 | 1 µF=1.000 nF |
| nano → pico | ×1.000 | 1 nF=1.000 pF |
3.126. Regla general para convertir entre dos prefijos
Supongamos que el prefijo inicial representa:
y el prefijo final:
Si:
representa la misma cantidad que:
entonces:
Dividiendo entre 10ᵇ:
Esta relación evita memorizar una regla diferente para cada par de prefijos.
3.127. Ejemplo eléctrico: megaohmios, kiloohmios y ohmios
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
Como:
entonces:
Por tanto:
Además:
3.128. Ejemplo eléctrico: capacitancia
Consideremos:
Como:
obtenemos:
Y:
Entonces:
3.129. Elegir un prefijo conveniente
Consideremos:
Podemos escribir:
o:
o:
Las tres formas representan la misma capacitancia.
- evitar largas cadenas de ceros;
- utilizar una escala habitual en el campo de aplicación;
- facilitar la lectura;
- facilitar la comparación con valores cercanos.
3.130. El prefijo no cambia la dimensión física
INTERMEDIO · ●●○○Comparemos:
y:
Ambas unidades expresan:
De igual manera:
expresan:
No transforma una longitud en una masa ni una corriente en un voltaje.
3.131. Cuando la unidad está elevada al cuadrado, el prefijo también queda elevado
AVANZADO · ●●●○Sabemos:
Entonces:
Sustituyendo:
Por tanto:
No debemos elevar únicamente la unidad y dejar sin modificar el factor correspondiente al prefijo.
3.132. Regla general para unidades prefijadas elevadas a potencias
Supongamos que un prefijo representa:
Una unidad prefijada puede representarse como:
Si elevamos toda la unidad a una potencia entera positiva r:
Aplicando la potencia de un producto:
Por tanto:
Por ejemplo:
3.133. Reglas de escritura del Sistema Internacional
No «5 kms».
Debe utilizarse el símbolo internacionalmente definido.
Puede aparecer un punto únicamente si coincide con el final de una oración.
lleva un espacio entre el número y el símbolo de unidad.
Pero:
no lleva espacio entre el prefijo µ y la unidad A.
3.134. Dos precauciones avanzadas
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●Un prefijo ya representa directamente una potencia de diez.
No debemos escribir combinaciones como:
Debe seleccionarse un único prefijo adecuado.
El kilogramo, símbolo kg, es la unidad base de masa del SI.
Para formar múltiplos y submúltiplos decimales de masa, los prefijos se unen a:
Por ejemplo:
No se añaden nuevos prefijos delante de kg.
Tabla 3.17. Ejemplos frecuentes en electricidad y electrónica
| Expresión | Equivalencia | Magnitud |
|---|---|---|
| 12 kV | 12×10³ V | Diferencia de potencial |
| 25 MW | 25×10⁶ W | Potencia |
| 330 mA | 330×10⁻³ A | Corriente eléctrica |
| 47 µF | 47×10⁻⁶ F | Capacitancia |
| 220 nF | 220×10⁻⁹ F | Capacitancia |
| 4,7 kΩ | 4,7×10³ Ω | Resistencia eléctrica |
| 2,2 MΩ | 2,2×10⁶ Ω | Resistencia eléctrica |
| 100 MHz | 100×10⁶ Hz | Frecuencia |
3.135. Errores frecuentes
Compara siempre los exponentes.
No «5 kms».
A, mA y µA siguen expresando corriente eléctrica.
El espacio va antes de µA, no entre µ y A.
Los prefijos compuestos no se utilizan.
3.136. Práctica por niveles
1. Sustituye cada prefijo por su potencia de diez:
- 5 km
- 12 mA
- 8 µF
- 470 nF
- 2,5 MW
2. Convierte:
- 3 km a m
- 450 mA a A
- 0,006 A a mA
- 2,5 µF a nF
- 8.200 Ω a kΩ
- 3,6 MW a kW
3. Expresa cada cantidad con un prefijo conveniente:
- 0,000000033 F
- 4.700.000 Ω
- 0,0025 A
- 125.000 V
- 0,00000000082 m
4. Convierte correctamente:
- 25 cm² a m²
- 8 mm² a m²
- 12 cm³ a m³
- 3 km² a m²
Explica por qué el exponente también afecta al factor del prefijo.
3.137. Respuestas breves
a) 5×10³ m
b) 12×10⁻³ A
c) 8×10⁻⁶ F
d) 470×10⁻⁹ F
e) 2,5×10⁶ W
a) 3.000 m
b) 0,450 A
c) 6 mA
d) 2.500 nF
e) 8,2 kΩ
f) 3.600 kW
a) 33 nF
b) 4,7 MΩ
c) 2,5 mA
d) 125 kV
e) 0,82 nm = 820 pm
a) 25 cm² = 25×(10⁻² m)² = 2,5×10⁻³ m²
b) 8 mm² = 8×(10⁻³ m)² = 8×10⁻⁶ m²
c) 12 cm³ = 12×(10⁻² m)³ = 1,2×10⁻⁵ m³
d) 3 km² = 3×(10³ m)² = 3×10⁶ m²
3.138. Comprueba lo aprendido
- ¿Qué representa un prefijo SI?
- ¿Qué diferencia existe entre múltiplo y submúltiplo?
- ¿Qué significa kilo?
- ¿Qué significa mili?
- ¿Qué significa micro?
- ¿Qué diferencia existe entre m y M?
- ¿Cuántas veces mayor es mega que kilo?
- ¿Cuántas veces mayor es micro que nano?
- ¿Cuántos nanómetros hay en un micrómetro?
- ¿Cuántos microamperios hay en un miliamperio?
- ¿Por qué 25 µA equivale a 25×10⁻⁶ A?
- ¿Qué diferencia existe entre cambiar de prefijo y cambiar de magnitud?
- ¿Por qué 1 MW y 1 mW representan escalas muy diferentes?
- ¿Qué relación existe entre notación científica y prefijos SI?
- ¿Por qué 1 cm² no equivale a 10⁻² m²?
- ¿Cuánto vale 1 cm³ en m³?
- ¿Por qué no se utilizan prefijos compuestos?
- ¿Por qué el kilogramo constituye un caso especial?
- ¿Qué criterios permiten escoger un prefijo conveniente?
- ¿Dónde debe colocarse el espacio en 25 µA?
- ¿Por qué los símbolos de unidad no se pluralizan?
- Explica por qué un prefijo debe entenderse como un factor.
3.139. Síntesis de la Parte 6
En las primeras partes aprendimos a representar escalas mediante potencias de diez.
Ahora podemos nombrar muchas de esas potencias:
mega ↔ 10⁶
giga ↔ 10⁹
mili ↔ 10⁻³
micro ↔ 10⁻⁶
nano ↔ 10⁻⁹
El principio esencial es:
Por ello:
4,7 kΩ = 4,7×10³ Ω
47 nF = 47×10⁻⁹ F
Una conversión entre dos prefijos puede calcularse mediante:
Y cuando una unidad prefijada está elevada a una potencia:
La escritura correcta también forma parte del lenguaje científico:
mayúsculas y minúsculas correctas
espacio entre número y unidad
sin plural en el símbolo
sin prefijos compuestos
Ya podemos reconocer una potencia de diez, nombrarla y convertirla mediante prefijos.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
General Conference on Weights and Measures. (2022). Resolution 3 of the 27th CGPM: On the extension of the range of SI prefixes. https://doi.org/10.59161/CGPM2022RES3E
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Notación de ingeniería: hacer coincidir exponentes y prefijos
La notación científica normalizada exige:
Sin embargo, muchos de los prefijos más utilizados en ingeniería aparecen separados por:
Esto conduce a una nueva representación:
donde los exponentes se eligen como múltiplos de tres:
Así comprenderemos por qué:
La Parte 7 continúa en 3.140 · Figura 3.24 · Tabla 3.18 · Demostración 15.
Notación de ingeniería
Hacer coincidir exponentes y prefijos
múltiplos de tres · coeficiente · prefijos SI · electrónica · representación
La notación científica permite escribir:
Pero el exponente:
no corresponde directamente a uno de los prefijos más utilizados en ingeniería.
Podemos representar exactamente la misma longitud como:
Y como:
obtenemos:
La notación de ingeniería organiza los exponentes para relacionarlos directamente con muchos prefijos del Sistema Internacional.
3.140. ¿Por qué aparece otra notación?
FUNDAMENTAL · ●○○○En notación científica:
La expresión está correctamente normalizada porque:
Sin embargo:
no coincide con uno de los exponentes asociados a prefijos como mili, micro o nano.
Por ejemplo:
Podemos reescribir:
Ahora:
corresponde directamente al prefijo:
3.141. Definición de notación de ingeniería
Un número real distinto de cero está escrito en notación de ingeniería normalizada cuando tiene la forma:
donde k es un número entero y:
Como:
siempre es múltiplo de tres, los exponentes posibles incluyen:
Puede tener una, dos o tres cifras antes de la coma decimal.
Debe ser múltiplo entero de 3.
3.142. ¿Por qué múltiplos de tres?
En la Parte 6 estudiamos:
Todos estos exponentes son múltiplos de tres:
Tabla 3.18. Exponentes de ingeniería y prefijos asociados
| Exponente | Factor | Prefijo | Símbolo |
|---|---|---|---|
| 12 | 10¹² | tera | T |
| 9 | 10⁹ | giga | G |
| 6 | 10⁶ | mega | M |
| 3 | 10³ | kilo | k |
| 0 | 10⁰ | sin prefijo | — |
| −3 | 10⁻³ | mili | m |
| −6 | 10⁻⁶ | micro | µ |
| −9 | 10⁻⁹ | nano | n |
| −12 | 10⁻¹² | pico | p |
3.143. Notación científica y notación de ingeniería no son rivales
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos:
En notación científica:
En notación de ingeniería:
Las dos expresiones son correctas.
Facilita la identificación de un coeficiente normalizado entre 1 y 10.
El exponente 3 corresponde directamente al prefijo kilo.
La notación científica suele ser especialmente útil para analizar escalas matemáticas. La notación de ingeniería facilita la relación con numerosos prefijos SI.
3.144. La condición del coeficiente cambia
En notación científica:
Por ello:
no está normalizado científicamente.
Su forma científica normalizada es:
Pero:
sí está normalizado en notación de ingeniería porque:
y:
es múltiplo de tres.
Tabla 3.19. Comparación entre notación científica y notación de ingeniería
| Característica | Notación científica | Notación de ingeniería |
|---|---|---|
| Forma general | a×10ⁿ | a×103k |
| Coeficiente | 1≤|a|<10 | 1≤|a|<1.000 |
| Exponente | Cualquier entero | Múltiplo de tres |
| Relación directa con prefijos habituales | No siempre | Sí |
| Ejemplo | 4,8×10⁻² W | 48×10⁻³ W |
| Con prefijo SI | — | 48 mW |
3.145. De forma decimal a notación de ingeniería
FUNDAMENTAL · ●○○○Convertiremos:
Su notación científica es:
Pero:
no es múltiplo de tres.
Elegimos:
Para conservar el valor:
Así:
Como:
obtenemos:
3.146. Segundo ejemplo: una longitud pequeña
Consideremos:
Su notación científica es:
El exponente:
no es múltiplo de tres.
Elegimos:
Entonces:
3.147. El procedimiento general
Escribir la cantidad mediante una potencia de diez.
Elegir un exponente múltiplo de tres.
Ajustar el coeficiente para conservar exactamente el valor.
Sustituir la potencia por un prefijo SI cuando sea conveniente.
3.148. ¿Por qué podemos cambiar el exponente sin cambiar el número?
Partimos de:
Queremos utilizar otro exponente e.
Como:
podemos escribir:
Agrupando:
Por ejemplo:
El cambio del exponente queda compensado exactamente por el cambio del coeficiente.
3.149. Cómo elegir el exponente correcto
INTERMEDIO · ●●○○Supongamos que tenemos una forma científica:
Queremos elegir un exponente de ingeniería:
Debe cumplir dos condiciones:
- e debe ser múltiplo de tres;
- el nuevo coeficiente debe satisfacer 1≤|a′|<1.000.
La regla es seleccionar el mayor múltiplo de tres que sea menor o igual que n.
Para:
el exponente adecuado es:
no −3. El objetivo es que el nuevo coeficiente permanezca dentro del intervalo 1≤|a′|<1.000.
3.150. Ejemplo con un número grande
Consideremos:
El exponente científico es:
El múltiplo de tres adecuado es:
Entonces:
Como:
obtenemos:
3.151. Ejemplo con un número extremadamente pequeño
Consideremos:
El exponente:
no es múltiplo de tres.
Elegimos:
Entonces:
Como:
resulta:
pico
nano
micro
mili
unidad
kilo
mega
giga
3.152. Regla rápida según la diferencia de exponentes
AVANZADO · ●●●○Sea:
una notación científica normalizada.
Una vez seleccionado el exponente de ingeniería e, la diferencia:
solo puede valer:
El exponente ya es múltiplo de tres.
Multiplicamos el coeficiente por 10.
Multiplicamos el coeficiente por 100.
3.153. Fórmula general del exponente de ingeniería
Sea un número real distinto de cero escrito científicamente como:
con:
Queremos obtener el mayor múltiplo de tres que no supere n.
Utilizamos la función piso:
Entonces:
El nuevo coeficiente será:
Como:
y:
obtenemos:
Por tanto:
cumple las condiciones de la notación de ingeniería normalizada.
3.154. ¿Es única la forma de ingeniería normalizada?
Consideremos:
Podemos escribir:
También podemos escribir:
Ambos exponentes son múltiplos de tres.
Pero:
no cumple:
Por tanto, la forma de ingeniería normalizada es:
3.155. Unicidad de la notación de ingeniería normalizada
Supongamos que un mismo número no nulo pudiera escribirse de dos maneras normalizadas:
con:
y:
Al tomar valores absolutos y dividir:
Como |a| y |b| pertenecen al intervalo [1,1.000):
Pero:
solo puede tomar, dentro de ese intervalo, el valor:
Por tanto:
Y entonces:
Como ambas representaciones corresponden al mismo número, también tienen el mismo signo:
Por ello, todo número real distinto de cero posee una única notación de ingeniería normalizada.
3.156. El caso especial del cero
Podemos escribir:
Por tanto, el cero no determina un exponente de ingeniería único.
Normalmente escribiremos simplemente 0, acompañado de la unidad correspondiente cuando el contexto físico lo requiera.
3.157. De notación de ingeniería a prefijo SI
FUNDAMENTAL · ●○○○Cuando el exponente tiene un prefijo SI correspondiente, la transformación es directa.
El valor de la cantidad no cambia.
3.158. Aplicación: resistencia eléctrica
Consideremos:
El exponente:
ya es múltiplo de tres.
Por tanto, la forma científica también cumple las condiciones de ingeniería.
Como:
podemos escribir:
3.159. Aplicación: corriente eléctrica
Consideremos:
El exponente científico es:
El exponente de ingeniería apropiado es:
Entonces:
Como:
obtenemos:
3.160. Aplicación: frecuencia
Una frecuencia de:
ya posee un exponente múltiplo de tres.
Por tanto:
En cambio:
se transforma en:
Entonces:
3.161. ¿Qué representación conviene utilizar?
INTERMEDIO · ●●○○No existe una representación única que sea la mejor para todos los propósitos.
Consideremos:
Correcta, pero poco cómoda para reconocer rápidamente la escala.
Muy útil para cálculos y análisis de órdenes de magnitud.
Muy práctica para comunicar un valor en electrónica.
Cálculo matemático, diseño, instrumentos, tablas, documentación técnica y comunicación pueden favorecer formas diferentes.
Tabla 3.20. Una misma cantidad en varias representaciones
| Forma decimal | Científica | Ingeniería | Prefijo SI |
|---|---|---|---|
| 12.000 V | 1,2×10⁴ V | 12×10³ V | 12 kV |
| 0,048 W | 4,8×10⁻² W | 48×10⁻³ W | 48 mW |
| 0,000025 A | 2,5×10⁻⁵ A | 25×10⁻⁶ A | 25 µA |
| 0,000000220 F | 2,20×10⁻⁷ F | 220×10⁻⁹ F | 220 nF |
| 47.000 Ω | 4,7×10⁴ Ω | 47×10³ Ω | 47 kΩ |
| 2.450.000.000 Hz | 2,45×10⁹ Hz | 2,45×10⁹ Hz | 2,45 GHz |
3.162. Errores frecuentes
no es científica normalizada, pero sí es ingeniería normalizada.
está en notación científica, pero no en ingeniería normalizada.
Para:
la forma de ingeniería es 250×10⁻⁶, no 0,25×10⁻³.
Son representaciones complementarias, útiles para objetivos diferentes.
no está normalizado en ingeniería.
3.163. Práctica por niveles
1. Convierte a notación de ingeniería:
- 0,036 A
- 45.000 V
- 0,00000068 F
- 8.200.000 Hz
- 0,0000047 m
2. Convierte primero a notación de ingeniería y después a prefijo SI:
- 3,3×10⁴ Ω
- 5,6×10⁻⁵ A
- 7,2×10⁸ Hz
- 4,7×10⁻¹¹ F
- 1,25×10⁵ V
3. Decide cuáles expresiones están correctamente escritas en notación de ingeniería normalizada:
- 47×10³
- 4,7×10⁴
- 850×10⁻⁶
- 0,85×10⁻³
- 999,5×10⁶
- 1.250×10³
Corrige las que no cumplan las condiciones.
4. Sea:
una notación científica normalizada.
Utiliza:
para obtener la forma de ingeniería de:
- 6,2×10⁸
- 4,5×10⁴
- 8,1×10⁻²
- 2,7×10⁻⁷
- 5,3×10⁻¹³
3.164. Respuestas breves
a) 36×10⁻³ A
b) 45×10³ V
c) 680×10⁻⁹ F
d) 8,2×10⁶ Hz
e) 4,7×10⁻⁶ m
a) 33×10³ Ω = 33 kΩ
b) 56×10⁻⁶ A = 56 µA
c) 720×10⁶ Hz = 720 MHz
d) 47×10⁻¹² F = 47 pF
e) 125×10³ V = 125 kV
a) correcta
b) no → 47×10³
c) correcta
d) no → 850×10⁻⁶
e) correcta
f) no → 1,25×10⁶
a) 620×10⁶
b) 45×10³
c) 81×10⁻³
d) 270×10⁻⁹
e) 530×10⁻¹⁵
3.165. Síntesis de la Parte 7
La notación de ingeniería organiza las potencias de diez para hacerlas compatibles con numerosos prefijos del Sistema Internacional.
Su estructura normalizada es:
con 1≤|a|<1.000.
Mientras la notación científica privilegia:
la notación de ingeniería privilegia:
Esto construye la cadena:
↓
notación científica
↓
notación de ingeniería
↓
prefijo SI
Por ejemplo:
La transformación puede resumirse como:
La magnitud física no cambia: cambia la forma en que hacemos visible y comunicamos su escala.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
Del macrocosmos al nanomundo: escalas físicas reales
Ya poseemos un lenguaje capaz de expresar cantidades como:
Ahora utilizaremos ese lenguaje para recorrer escalas físicas reales:
La pregunta cambia.
Ya no será solamente:
También preguntaremos:
Conectaremos:
La Parte 8 continúa en 3.166 · Figura 3.28 · Tabla 3.21 · Demostración 18.
Del macrocosmos al nanomundo
Comprender físicamente las escalas
astronomía · escala humana · micromundo · nanomundo · órdenes de magnitud
Una potencia de diez no es únicamente una forma abreviada de escribir un número.
También puede ayudarnos a reconocer la escala física en la que se encuentra una magnitud.
En esta parte utilizaremos el lenguaje construido hasta ahora para recorrer longitudes que van desde escalas astronómicas hasta escalas microscópicas, nanométricas y atómicas.
El objetivo no será únicamente escribir números: aprenderemos a relacionarlos con el mundo físico que representan.
3.166. Un universo de escalas
FUNDAMENTAL · ●○○○Los objetos y estructuras que estudiamos en ciencia no poseen todos dimensiones semejantes.
Escalas extraordinariamente grandes.
Escalas cercanas al metro.
Escalas principalmente micrométricas.
Escalas nanométricas.
Entre algunas de estas dimensiones existen diferencias de millones, miles de millones e incluso cantidades muchísimo mayores.
La notación científica, los órdenes de magnitud y los prefijos nos proporcionan un lenguaje común.
3.167. Una escala no es una caja rígida
Expresiones como:
son útiles para organizar nuestra comprensión.
Pero sus límites no deben imaginarse como paredes absolutas de la naturaleza.
Un objeto puede situarse cerca del límite entre dos categorías.
También puede presentar dimensiones diferentes: longitud, diámetro, ancho o espesor.
Es mejor pensar en un continuo de tamaños que en compartimentos totalmente separados.
3.168. El metro como referencia común
Una forma poderosa de comparar longitudes consiste en expresarlas mediante una misma unidad.
Utilizaremos el metro:
La secuencia:
muestra cómo pasamos desde kilómetros hasta nanómetros utilizando el mismo patrón matemático.
10³ m
gran escala10⁰ m
escala humana10⁻³ m
milimétrica10⁻⁶ m
micrométrica10⁻⁹ m
nanométrica3.169. El macrocosmos: Tierra, Sol y escalas astronómicas
INTERMEDIO · ●●○○Tomemos como primera referencia un diámetro aproximado de la Tierra de:
En notación científica:
Para el diámetro del Sol utilizaremos aproximadamente:
o:
Antes incluso de calcular una razón exacta, los exponentes nos indican que estamos ante dimensiones de escalas diferentes.
Tabla 3.21. Algunos referentes de escalas astronómicas
| Objeto o distancia | Valor aproximado | Representación destacada |
|---|---|---|
| Diámetro de la Tierra | 12.742 km | 1,2742×10⁴ km |
| Diámetro del Sol | 1.392.000 km | 1,392×10⁶ km |
| Distancia aproximada al centro de la Vía Láctea | 27.000 años luz | 2,7×10⁴ años luz |
| Diámetro aproximado del universo observable | ≈93.000 millones de años luz | ≈9,3×10¹⁰ años luz |
Nota. Son valores aproximados de referencia. Diferentes definiciones geométricas o modelos pueden producir valores ligeramente diferentes.
3.170. ¿Cuántas veces mayor es aproximadamente el diámetro del Sol?
Utilizamos:
y:
Calculamos:
El cociente de coeficientes es aproximadamente:
Por tanto:
Con estos valores de referencia, el diámetro del Sol es aproximadamente 109 veces el diámetro de la Tierra.
3.171. No comparemos exponentes si las unidades son diferentes
En la tabla anterior aparecen cantidades expresadas en:
y otras en:
No sería correcto decidir cuál es mayor comparando únicamente los exponentes numéricos.
Para realizar una comparación cuantitativa directa, primero debemos expresar las longitudes en unidades iguales o compatibles.
3.172. Del mundo visible al micromundo
FUNDAMENTAL · ●○○○Al disminuir la escala encontramos estructuras que ya no podemos observar con detalle a simple vista.
Como referencia pedagógica, podemos situar una amplia región microscópica entre:
y
Como:
y:
el factor entre ambos extremos es:
3.173. ¿Por qué en un milímetro hay 1.000 micrómetros?
Partimos de:
y:
Calculamos la razón:
Entonces:
Por tanto:
El resultado expresa la relación entre dos unidades de longitud, no entre dos objetos particulares.
3.174. Ejemplos del micromundo
Observemos algunos referentes aproximados.
Tabla 3.22. Ejemplos de dimensiones microscópicas
| Objeto | Dimensión aproximada | Escala útil |
|---|---|---|
| Glóbulo rojo | ≈7 µm de diámetro | micrométrica |
| Algunas células | pueden superar 100 µm | decenas o centenas de µm |
| Bacterias | ≈0,5 µm a 5 µm | micrométrica |
| Escherichia coli | ≈2 µm de longitud | micrométrica |
| Protozoos | desde pocos hasta varios cientos de µm | micrométrica amplia |
| Cabello humano | ≈17 µm a 180 µm de diámetro | decenas o centenas de µm |
| Polen | ≈10 µm a más de 100 µm | decenas o centenas de µm |
Nota. Son órdenes de tamaño y rangos aproximados. Las dimensiones reales dependen de la especie, el tipo de célula, la muestra y la dimensión considerada.
≈0,5–5 µm
≈7 µm
≈10–100+ µm
≈17–180 µm
3.175. El mismo valor puede resultar más claro con un prefijo adecuado
Consideremos una bacteria cuya longitud aproximada sea:
Podemos escribir:
Y en forma decimal:
Las tres expresiones representan la misma longitud.
Pero:
hace visible de inmediato que nos encontramos en una escala micrométrica.
3.176. Tres exponentes separan el micrómetro del nanómetro
Sabemos:
y:
La diferencia entre los exponentes es:
Por tanto:
El nanómetro es una unidad 1.000 veces menor que el micrómetro.
Por eso, al expresar la misma longitud en nanómetros, el valor numérico será 1.000 veces mayor.
3.177. El nanomundo
INTERMEDIO · ●●○○Como referencia pedagógica, muchas estructuras de interés nanotecnológico se encuentran en una región aproximada del orden de:
a
Recordemos:
Comparado con un metro:
Estamos trabajando con dimensiones mil millones de veces menores que un metro.
Tabla 3.23. Algunos referentes del nanomundo
| Objeto o estructura | Dimensión aproximada | Observación |
|---|---|---|
| Doble hélice del ADN | ≈2 nm de diámetro | ≈2×10⁻⁹ m |
| Virus | ≈20 nm a 300 nm | Existe una gran diversidad de tamaños. |
| Nanopartículas | ≈1 nm a 100 nm | Rango orientativo de interés nanométrico. |
| Nanotubos de carbono | diámetro del orden de nm | su longitud puede alcanzar varios µm |
Nota. Los intervalos son aproximados. La denominación de una escala no implica que todos los objetos asociados deban quedar contenidos dentro de un mismo intervalo rígido.
3.178. Las fronteras de escala son aproximadas
AVANZADO · ●●●○Acabamos de utilizar como referencia:
para visualizar una región nanométrica.
Sin embargo, algunos virus pueden alcanzar dimensiones superiores:
Esto no constituye una contradicción.
Palabras como micromundo y nanomundo son categorías útiles para organizar escalas.
La realidad física forma un continuo y no está obligada a respetar fronteras pedagógicas exactas.
3.179. Un mismo objeto puede pertenecer a varias escalas según qué midamos
Un nanotubo de carbono proporciona un buen ejemplo.
Su diámetro puede encontrarse en el orden de:
mientras su longitud puede alcanzar:
Por tanto, preguntar solamente:
puede resultar insuficiente.
3.180. El ADN como referencia nanométrica
Una referencia muy útil es el diámetro aproximado de la doble hélice del ADN:
En metros:
En forma decimal:
La segunda forma hace visible la escala nanométrica de manera inmediata.
3.181. Más allá del nanómetro: una referencia atómica
AVANZADO · ●●●○Para visualizar una escala todavía menor, consideremos una longitud de referencia del orden de:
Comparémosla con:
La razón es:
Por tanto:
Así comenzamos a entrar en escalas características del mundo atómico.
3.182. Una travesía de más de veinte órdenes de magnitud
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●Tomemos como referencia astronómica aproximada:
Este valor es una aproximación muy cercana a una unidad astronómica.
Comparemos ahora con una longitud de:
La razón entre ambas escalas es:
3.183. Comparación entre una escala astronómica y una escala atómica
Calculamos:
Dividimos los coeficientes:
Restamos los exponentes:
Entonces:
Es decir:
como factor aproximado entre ambas longitudes de referencia. La comparación muestra por qué una larga escritura decimal resulta poco práctica para recorrer escalas tan diferentes.
3.184. ¿Por qué los exponentes son más informativos que una larga sucesión de ceros?
Comparemos:
con:
En la segunda expresión podemos identificar inmediatamente:
El exponente permite situar rápidamente la longitud dentro de una jerarquía de escalas.
3.185. Tamaño físico y representación no son lo mismo
Una estructura no se vuelve más pequeña porque escribamos:
en lugar de:
La longitud física representada es la misma.
Todos estos elementos están relacionados, pero cumplen funciones conceptuales diferentes.
Una expresión matemática describe una propiedad seleccionada del objeto; no sustituye al objeto físico.
3.186. Comparar correctamente exige una magnitud común
Comparemos:
y:
Expresamos ambas cantidades en metros:
Ahora sí podemos calcular:
3.187. Del objeto a la escala: una estrategia general
¿Qué propiedad o dimensión estamos estudiando?
¿En qué unidad está expresada?
¿Qué potencia de diez caracteriza su escala?
¿Con qué otras dimensiones puede compararse?
planetas · estrellas · grandes distancias
objetos cotidianos
células · bacterias
ADN · nanoestructuras
orden de 10⁻¹⁰ m
3.188. Errores frecuentes
10⁴ km y 10⁴ años luz no representan longitudes semejantes por compartir el mismo exponente.
Micromundo y nanomundo son categorías orientativas.
Una razón exacta también depende de los coeficientes.
Longitud, ancho, diámetro y espesor pueden encontrarse en escalas diferentes.
Cambiar de metros a nanómetros no cambia el objeto ni su dimensión física.
Una ilustración puede organizar ideas sin reproducir proporciones físicas exactas.
Muchos tamaños biológicos y astronómicos son referentes aproximados o intervalos.
3.189. Práctica por niveles
1. Expresa en metros:
- 7 µm
- 2 nm
- 25 mm
- 500 nm
2. Calcula las razones:
- 1 mm / 1 µm
- 1 µm / 1 nm
- 7 µm / 2 µm
- 100 nm / 2 nm
3. Ordena de mayor a menor:
- 7 µm
- 300 nm
- 2 nm
- 0,5 µm
- 100 µm
Expresa primero todas las longitudes en una unidad común.
4. Compara:
con
- Calcula la razón entre ambas longitudes.
- Determina la diferencia entre los exponentes 11 y −9.
- Explica por qué la razón completa también depende de los coeficientes.
- Interpreta físicamente una diferencia de escala tan grande.
3.190. Respuestas breves
a) 7×10⁻⁶ m
b) 2×10⁻⁹ m
c) 2,5×10⁻² m
d) 5×10⁻⁷ m
a) 1.000
b) 1.000
c) 3,5
d) 50
100 µm > 7 µm > 0,5 µm > 300 nm > 2 nm.
Ejercicio 4La razón es:
La diferencia entre los exponentes es:
Sin embargo, la razón completa es 7,48×10¹⁹ porque también interviene el cociente 1,496/2.
3.191. Síntesis de la Parte 8
En esta parte dejamos de observar las potencias de diez como símbolos aislados y comenzamos a relacionarlas con dimensiones físicas.
↓
escala macroscópica
↓
escala micrométrica
↓
escala nanométrica
↓
escala atómica
Aprendimos:
1 µm=10⁻⁶ m
1 nm=10⁻⁹ m
y, por tanto:
1 µm=1.000 nm
También comprobamos que una comparación correcta exige:
Pero la idea más importante es conceptual:
no constituye una frontera rígida de la realidad
Y debemos mantener separados:
↓
dimensión estudiada
↓
valor y unidad
↓
representación matemática
Potencias de diez, prefijos y órdenes de magnitud se convierten así en herramientas para interpretar el mundo físico.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
Cooper, G. M. (2000). The cell: A molecular approach (2nd ed.). Sinauer Associates. National Center for Biotechnology Information Bookshelf.
International Astronomical Union. (2012). Resolution B2 on the re-definition of the astronomical unit of length.
Lynch, E. C. (1990). Peripheral blood smear. En H. K. Walker, W. D. Hall, & J. W. Hurst (Eds.), Clinical methods: The history, physical, and laboratory examinations (3rd ed.). Butterworths.
National Aeronautics and Space Administration. (2016). Hubble’s journey to the center of our galaxy. NASA Science.
National Aeronautics and Space Administration. Why study the Sun? Basic facts about the Sun. Goddard Space Flight Center.
Seeman, N. C. (2005). The challenge of structural control on the nanoscale: Bottom-up self-assembly of nucleic acids in 3D. Journal of Structural Biology, 152(1), 3–9.
Herramientas digitales: calculadora, Excel y representación numérica
Ya podemos reconocer, transformar, interpretar y comparar escalas manualmente.
Pero en ciencia e ingeniería podemos trabajar con cientos, miles o millones de valores.
Entonces aparece una nueva pregunta:
Estudiaremos expresiones como:
Y distinguiremos cuidadosamente:
Esta diferencia será especialmente importante cuando posteriormente estudiemos medición, cifras significativas, redondeo e incertidumbre.
La Parte 9 continúa en 3.192 · Figura 3.32 · Tabla 3.24 · Demostración 21.
Herramientas digitales y representación numérica
Calculadora, Excel y números que cambian de apariencia sin cambiar de significado
notación E · formato científico · ingeniería · visualización · redondeo · comprobación
Una herramienta digital puede mostrar un mismo número de diferentes maneras.
Por ejemplo, el número:
puede aparecer en una pantalla como:
que representa una cantidad del orden de:
La apariencia puede cambiar sin que por ello cambie automáticamente el valor con el que trabaja la herramienta.
3.192. La pantalla no introduce una nueva matemática
FUNDAMENTAL · ●○○○Una calculadora puede mostrar:
y una hoja de cálculo puede presentar una escritura semejante.
Debemos leerla como:
Por tanto:
La expresión E+06 indica que el número precedente se multiplica por 10 elevado a 6.
3.193. Cómo leer la notación E
La forma:
significa:
Y:
significa:
coeficiente
×10 elevado a
exponente +6
3.194. ¿Por qué 4,56E−03 representa 0,00456?
Interpretamos:
Sabemos:
Entonces:
Por tanto:
La notación E no modifica ninguna propiedad matemática: solamente proporciona otra forma de escribir una potencia de diez.
Tabla 3.24. Lectura de expresiones digitales
| Pantalla | Notación matemática | Forma decimal |
|---|---|---|
| 2.50E+03 | 2,50×10³ | 2.500 |
| 7.20E−04 | 7,20×10⁻⁴ | 0,00072 |
| 1.00E+06 | 1×10⁶ | 1.000.000 |
| 9.81E+00 | 9,81×10⁰ | 9,81 |
| 3.30E−09 | 3,30×10⁻⁹ | 0,00000000330 |
3.195. Introducir notación científica en una calculadora
FUNDAMENTAL · ●○○○Muchas calculadoras científicas incluyen una tecla identificada mediante símbolos como:
o:
Para introducir:
en muchos modelos se utiliza una secuencia equivalente a:
La tecla EXP o EE ya representa la parte correspondiente a la potencia de diez.
La secuencia exacta depende del fabricante y del modelo de calculadora.
3.196. La calculadora debe verificar nuestro razonamiento, no sustituirlo
Supongamos que calculamos:
Antes de utilizar la calculadora podemos anticipar:
y:
Entonces:
Si la calculadora muestra:
la pantalla coincide con nuestra predicción.
Una entrada incorrecta puede producir un resultado perfectamente calculado para un problema que nosotros no queríamos resolver.
3.197. En Excel, valor y formato son niveles diferentes
INTERMEDIO · ●●○○Supongamos que una celda contiene el valor:
Podemos aplicar un formato para que aparezca, por ejemplo, como:
o con más cifras visibles:
según el formato seleccionado.
Por sí solo, no equivale a sustituir el valor numérico de la celda por la forma redondeada que vemos en pantalla.
3.198. Cómo activar la notación científica en Excel
Una ruta habitual en Excel de escritorio es:
Seleccionar las celdas.
Abrir Formato de celdas.
Seleccionar la categoría Científica.
Elegir los decimales visibles.
Por ejemplo:
puede mostrarse aproximadamente como:
cuando se seleccionan dos decimales.
3.199. Mostrar dos decimales no significa conocer dos decimales
Esta distinción será fundamental cuando estudiemos medición.
Supongamos que un programa muestra:
Eso nos informa acerca de la representación visible.
Pero no nos informa por sí solo:
3.200. Redondeo visual y valor mostrado
Consideremos:
Si un formato científico muestra dos decimales en el coeficiente, puede aparecer:
La forma visible:
corresponde exactamente a:
Por tanto, el texto visible constituye una representación redondeada del valor inicial.
de
3.201. ¿Cuánto puede diferir una representación redondeada?
Supongamos una cantidad:
Si el coeficiente a se redondea a q posiciones decimales, el error máximo de redondeo del coeficiente, bajo la regla habitual al valor más cercano, es:
Al multiplicar por 10ⁿ, la máxima diferencia asociada a ese redondeo será:
Por ejemplo, si:
y mostramos:
decimales, la diferencia máxima por ese redondeo puede alcanzar:
Por eso una pequeña variación en el coeficiente visible puede representar una diferencia absoluta grande cuando la potencia de diez también es grande.
3.202. Una presentación de ingeniería en Excel
INTERMEDIO · ●●○○Excel dispone de un formato científico incorporado.
Cuando necesitamos una presentación semejante a la notación de ingeniería, podemos utilizar un formato científico personalizado con varias posiciones antes del separador decimal.
Por ejemplo, según la configuración regional, puede utilizarse una estructura semejante a:
o, en sistemas que emplean punto decimal:
Excel puede utilizar coma o punto como separador decimal según el sistema.
Por eso conviene adaptar el código de formato a la configuración real de la hoja de cálculo.
3.203. ¿Qué busca el formato ##0,00E+00?
Una presentación científica típica de:
puede ser:
En ingeniería preferimos organizar la misma cantidad como:
Al utilizar tres posiciones antes del separador decimal, el formato puede producir visualizaciones semejantes a:
lo que hace visible la secuencia:
Los exponentes múltiplos de tres pueden relacionarse directamente con muchos de los prefijos SI utilizados en ingeniería.
3.204. La cantidad de decimales visibles puede configurarse
Podemos utilizar variantes como:
para mostrar tres decimales;
para mostrar uno;
y:
para no mostrar posiciones decimales.
Debe elegirse según el propósito: lectura, comparación, tabla técnica o informe.
Añadir cifras únicamente para que el resultado «parezca más científico» no añade información al dato.
3.205. La conexión directa con los prefijos SI
Una ventaja de la notación de ingeniería es la correspondencia:
kilo · k
mega · M
giga · G
mili · m
micro · µ
nano · n
3.206. Ejemplo aplicado: una resistencia de 47.000 Ω
FUNDAMENTAL · ●○○○Consideremos:
En notación científica:
Una hoja de cálculo puede mostrar:
En notación de ingeniería:
Una visualización de ingeniería puede mostrar:
Y mediante un prefijo SI:
La resistencia representada es la misma en las cuatro escrituras.
Tabla 3.25. Comparación de representaciones digitales
| Número | Formato científico | Presentación de ingeniería |
|---|---|---|
| 12.345 | 1,23E+04 | 12,35E+03 |
| 0,00456 | 4,56E−03 | 4,56E−03 |
| 1.234.567 | 1,23E+06 | 1,23E+06 |
| 47.000 Ω | 4,70E+04 Ω | 47,00E+03 Ω |
Nota. Las cifras visibles dependen del formato y del número de decimales seleccionado.
3.207. ¿Por qué a veces científica e ingeniería se ven iguales?
Consideremos:
Su notación científica aproximada con dos decimales puede escribirse:
Como:
ya es múltiplo de tres, esta representación también satisface la estructura exponencial de la notación de ingeniería.
La notación científica y la de ingeniería pueden coincidir cuando el exponente científico ya es múltiplo de tres.
3.208. El peligro de leer E como si fuera una operación ordinaria
Consideremos:
No significa:
Tampoco significa:
En este contexto significa:
La E utilizada en esta notación digital no representa el número e de Euler.
3.209. Cuando una pantalla revela un posible error de escala
Supongamos que, por el contexto físico, esperábamos una corriente aproximadamente del orden de:
Pero la calculadora muestra:
La pantalla podría corresponder correctamente a las teclas que introdujimos.
Sin embargo, el resultado debe despertar inmediatamente una sospecha.
La diferencia entre:
y:
es de:
en los exponentes.
Debemos revisar:
- los datos introducidos;
- el signo del exponente;
- las unidades;
- la operación;
- la escala esperada.
3.210. Herramientas digitales para grandes conjuntos de datos
INTERMEDIO · ●●○○Cuando una tabla contiene cientos o miles de cantidades, la representación científica puede hacer las columnas más legibles.
Consideremos:
En formato científico:
La estructura común:
facilita reconocer y comparar las escalas.
3.211. Valor matemático, representación interna y visualización
AVANZADO · ●●●○En un sistema digital conviene distinguir al menos tres niveles.
El número ideal que deseamos representar.
La codificación finita que utiliza el sistema digital para trabajar con el número.
Los caracteres que aparecen en la pantalla o en la celda.
El formato afecta principalmente la visualización.
La representación interna, por su parte, también posee limitaciones propias de los sistemas numéricos digitales.
3.212. Los computadores trabajan con representaciones finitas
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●Un computador no dispone de infinitas posiciones para representar cada número.
Utiliza representaciones finitas.
Algunos valores pueden representarse exactamente dentro de un determinado sistema; otros requieren una aproximación.
En ciertos cálculos digitales pueden aparecer pequeñas diferencias numéricas asociadas a la representación interna.
Este fenómeno no debe confundirse con la incertidumbre de una medición física.
Excel trabaja con una precisión numérica finita. Por ello, en cantidades con muchos dígitos, además del formato visible debemos considerar las limitaciones propias de la representación interna.
3.213. Error numérico e incertidumbre experimental no son lo mismo
Conviene separar desde ahora dos problemas conceptualmente diferentes.
Un sistema digital puede aproximar determinados números por las limitaciones de su representación interna.
Una medición puede estar limitada por el instrumento, el procedimiento, el ambiente, el modelo y otras fuentes.
Ambos fenómenos pueden coexistir, pero tienen causas diferentes y requieren análisis diferentes.
3.214. El formato puede ocultar diferencias entre dos números
Consideremos:
y:
Si una pantalla muestra solamente dos decimales científicos, ambos pueden aparecer como:
Sin embargo:
Por tanto:
Una representación redondeada puede ocultar diferencias que continúan existiendo en los datos.
Tabla 3.26. Niveles que no debemos confundir
| Nivel | Pregunta | Ejemplo |
|---|---|---|
| Magnitud física | ¿Qué propiedad estamos describiendo? | resistencia eléctrica |
| Valor numérico | ¿Qué número utilizamos? | 47.000 |
| Unidad | ¿En qué unidad se expresa? | Ω |
| Representación matemática | ¿Cómo escribimos la cantidad? | 4,7×10⁴ Ω |
| Representación digital | ¿Cómo la muestra el programa? | 4,70E+04 Ω |
| Representación de ingeniería | ¿Cómo hacemos visible la escala asociada al prefijo? | 47 kΩ |
3.215. Errores frecuentes
En este contexto E indica una potencia decimal.
Son usos matemáticos diferentes.
Cambiar el formato no mejora una medición.
Una pantalla puede redondear la presentación.
Coma y punto pueden cambiar según la configuración del sistema.
En notación de ingeniería, el exponente debe ser múltiplo de tres.
La herramienta puede calcular correctamente una entrada que nosotros introdujimos mal.
Son operaciones conceptualmente diferentes.
Tienen causas diferentes.
El formato puede ocultar cifras que continúan interviniendo en el cálculo.
3.216. Práctica por niveles
1. Interpreta las siguientes pantallas:
- 3.20E+04
- 6.50E−03
- 1.00E+09
- 8.40E−07
2. Escribe una forma científica y una forma de ingeniería:
- 47.000
- 0,025
- 12.345
- 0,00000082
3. Una celda contiene:
pero se muestra como:
- ¿Qué número representa exactamente la visualización 8,77E+06?
- ¿Cuál es la diferencia entre ese número visible y 8.765.432?
- ¿Significa esa diferencia que Excel haya necesariamente reemplazado el valor original?
4. Dos valores distintos aparecen en pantalla como:
Explica cómo pueden ser diferentes aunque su representación visible sea idéntica.
Relaciona tu explicación con:
- redondeo;
- cantidad de cifras visibles;
- valor almacenado;
- formato de presentación.
Ejercicio 1
a) 3,20×10⁴=32.000
b) 6,50×10⁻³=0,0065
c) 1×10⁹=1.000.000.000
d) 8,40×10⁻⁷=0,00000084
Ejercicio 2
a) 4,7×10⁴; 47×10³
b) 2,5×10⁻²; 25×10⁻³
c) 1,2345×10⁴; 12,345×10³
d) 8,2×10⁻⁷; 820×10⁻⁹
Ejercicio 3
8,77E+06 representa 8.770.000.
Diferencia respecto de 8.765.432:
4.568.
El hecho de que la pantalla muestre 8.770.000 no implica por sí solo que el valor original de la celda haya sido reemplazado.
Ejercicio 4
Diferentes valores pueden redondearse
al mismo texto visible
cuando el formato presenta
un número limitado de cifras.
3.217. Síntesis de la Parte 9
Las herramientas digitales no reemplazan las ideas matemáticas estudiadas.
Las representan mediante otras convenciones.
Una hoja de cálculo puede mostrar una cantidad mediante notación científica:
o mediante una presentación de ingeniería:
Pero la enseñanza más importante consiste en distinguir:
↓
valor numérico
↓
representación interna
↓
formato mostrado
Una pantalla puede:
Eso no significa automáticamente que:
haya mejorado la medición,
o hayan aparecido nuevos datos.
Esta distinción será esencial cuando estudiemos medición, resolución, cifras significativas, redondeo e incertidumbre.
Referencias
Institute of Electrical and Electronics Engineers. (2019). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE Std 754-2019).
Microsoft. (s. f.). Display numbers in scientific (exponential) notation. Microsoft Support.
Microsoft. (s. f.). Review guidelines for customizing a number format. Microsoft Support.
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology.
Magnitudes, unidades y factores de conversión
Hasta ahora hemos cambiado principalmente la representación numérica:
En la siguiente parte aparecerá un problema diferente.
Una misma longitud puede expresarse en:
Entonces ya no bastará con reorganizar una potencia de diez.
Necesitaremos una equivalencia entre unidades.
Y construiremos una herramienta fundamental:
que permitirá cambiar la unidad utilizada sin cambiar la magnitud física representada.
La Parte 10 continúa en 3.218 · Figura 3.36 · Tabla 3.27 · Demostración 24.
Magnitudes, unidades y factores de conversión
Cambiar la unidad sin cambiar la cantidad física
equivalencia · factor de conversión · cancelación · coherencia dimensional · verificación
Una misma cantidad física puede expresarse mediante valores numéricos diferentes cuando utilizamos unidades diferentes.
Los números:
son diferentes.
Las unidades:
también son diferentes.
Sin embargo, la longitud física representada es exactamente la misma.
3.218. Una misma magnitud puede tener muchas unidades
FUNDAMENTAL · ●○○○Una longitud puede expresarse en:
Una masa puede expresarse en:
Y una energía puede expresarse mediante unidades como:
La existencia de diferentes unidades no significa que existan diferentes fenómenos físicos.
3.219. Magnitud, valor numérico y unidad
Consideremos:
Podemos distinguir tres elementos.
longitud
Si convertimos:
el valor numérico cambia:
y la unidad cambia:
Pero la longitud física representada permanece igual.
longitud
3.220. Unidad inicial y unidad final
Antes de realizar una conversión debemos identificar dos extremos.
Es la unidad en la que la cantidad está expresada al comenzar.
Es la unidad en la que deseamos expresar la cantidad al terminar.
Por ejemplo:
Entonces:
y:
3.221. Para convertir necesitamos una equivalencia
No podemos convertir unidades arbitrariamente.
Necesitamos conocer una relación válida entre ellas.
Por ejemplo:
Esta igualdad conecta:
Tabla 3.27. Algunas equivalencias útiles
| Magnitud | Equivalencia | Carácter |
|---|---|---|
| Longitud | 1 pulgada = 0,0254 m | Exacta |
| Longitud | 1 pie = 0,3048 m | Exacta |
| Masa | 1 libra avoirdupois = 0,45359237 kg | Exacta |
| Energía | 1 calIT = 4,1868 J | Definida exactamente |
| Energía | 1 BtuIT ≈ 1.055,056 J | Valor mostrado redondeado |
| Energía | 1 kWh = 3,6×10⁶ J | Exacta |
Existen diferentes calorías y diferentes unidades térmicas británicas. En los ejemplos de esta parte utilizaremos:
Especificar la variante evita atribuir una única equivalencia a nombres que históricamente han tenido más de una definición.
3.222. Del signo igual al factor de conversión
INTERMEDIO · ●●○○De:
podemos construir:
y también:
Estas dos razones pueden utilizarse como:
3.223. ¿Por qué un factor de conversión es igual a 1?
Partimos de:
Dividimos ambos miembros entre:
Obtenemos:
Por tanto:
Del mismo modo:
Podemos multiplicar una cantidad por cualquiera de estas razones correctamente orientadas porque:
Cambian el valor numérico y la unidad empleados para expresar la cantidad, pero no la cantidad física.
3.224. Dos factores correctos, pero solo uno sirve en cada dirección
De:
podemos construir:
y:
Ambos representan la unidad.
Pero si queremos convertir:
debemos utilizar:
Si queremos:
utilizamos:
La unidad pie se coloca abajo para cancelar la unidad inicial.
La unidad metro se coloca abajo para cancelar la unidad inicial.
3.225. La cancelación de unidades
FUNDAMENTAL · ●○○○Convirtamos:
a metros.
Utilizamos:
La unidad pulgada aparece una vez en el numerador y otra en el denominador:
Se cancela.
Queda:
Entonces:
3.226. Las unidades participan en el álgebra
La cancelación anterior no es una decoración añadida al cálculo.
Las unidades participan en la estructura algebraica de la operación.
Si la unidad que deseamos eliminar no desaparece algebraicamente, debemos revisar la orientación del factor de conversión.
3.227. Ejemplo: cinco pies a metros
Queremos:
Conocemos:
Construimos:
Entonces:
Cancelamos pies:
3.228. El proceso inverso
Convirtamos ahora:
Necesitamos colocar metros en el denominador:
Entonces:
Se cancelan metros:
Resultado:
3.229. Convertir y regresar debe recuperar la cantidad inicial
Sea:
Supongamos la equivalencia:
Convertimos de U a V:
Ahora regresamos:
Cancelamos c y V:
Por tanto:
Esta propiedad constituye una excelente comprobación, especialmente cuando la equivalencia utilizada es exacta y no hemos redondeado prematuramente.
3.230. Conversión de masa: libras a kilogramos
INTERMEDIO · ●●○○Utilicemos:
Convirtamos:
Construimos:
Entonces:
Se cancelan las libras:
3.231. Equivalencia exacta, valor aproximado y redondeo
AVANZADO · ●●●○No todas las equivalencias que vemos escritas tienen el mismo carácter.
Puede estar establecida por definición.
Esta igualdad es exacta.
Podemos utilizar una equivalencia mostrando únicamente algunas cifras.
En ese caso el número escrito es una aproximación de una relación más precisa.
El número de decimales de un factor de conversión no determina por sí mismo la incertidumbre de la cantidad física que estamos convirtiendo.
3.232. Conversión en una sola etapa
Una conversión es directa cuando conocemos una equivalencia que conecta:
En estos casos basta un solo factor de conversión.
3.233. Cuando no existe una equivalencia directa: utilizar una unidad intermedia
Supongamos que deseamos convertir entre dos unidades A y C, pero solo conocemos:
y:
Podemos construir la ruta:
La unidad B funciona como:
inicio
puente
destino
3.234. Ejemplo de dos etapas: calorías IT a Btu IT pasando por joules
AVANZADO · ●●●○Utilicemos:
y, con las cifras mostradas:
Para convertir:
recorremos:
Construimos:
Se cancelan:
Queda aproximadamente:
3.235. ¿Por qué varios factores de conversión siguen conservando la cantidad?
Supongamos que una misma cantidad satisface equivalencias entre tres unidades U, V y W.
Podemos construir un factor:
con el valor numérico correspondiente, de modo que:
Y otro:
Entonces:
La unidad intermedia V se cancela.
Esta es la base matemática del método de factores de conversión.
3.236. El análisis de unidades como detector de errores
Supongamos que queremos convertir:
Pero escribimos:
Las unidades resultantes serían:
Esa expresión no produce metros.
Las unidades revelan que el factor fue colocado en la orientación equivocada.
3.237. Las unidades no son etiquetas que se colocan al final
Un procedimiento peligroso consiste en realizar toda la aritmética sin unidades y decidir al final qué símbolo escribir.
El procedimiento seguro conserva las unidades durante todo el desarrollo.
3.238. Conversión de unidades y análisis dimensional no son la misma pregunta
AVANZADO · ●●●○La conversión pregunta:
El análisis dimensional pregunta, entre otras cosas:
Por ejemplo:
es dimensionalmente coherente porque:
En ambas tratamos unidades o dimensiones de forma algebraica, pero responden a preguntas distintas.
3.239. Una ecuación puede ser dimensionalmente coherente y aun así ser incorrecta
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●La coherencia dimensional es una condición necesaria para una ecuación física válida, pero no es suficiente para demostrar que la ecuación sea correcta.
Por ejemplo:
tiene dimensiones de longitud.
Pero:
también tiene dimensiones de longitud.
El análisis dimensional no puede decidir, por sí solo, cuál de las dos relaciones describe correctamente una situación física determinada.
Tabla 3.28. Preguntas de comprobación durante una conversión
| Pregunta | Qué permite verificar |
|---|---|
| ¿Cuál es la magnitud física? | Que no intentemos convertir magnitudes incompatibles. |
| ¿Cuál es la unidad inicial? | Qué unidad debe desaparecer. |
| ¿Cuál es la unidad final? | Qué unidad debe permanecer al terminar. |
| ¿Qué equivalencia conocemos? | Qué puente permite realizar la conversión. |
| ¿Se cancela la unidad inicial? | Si el factor está correctamente orientado. |
| ¿La unidad final es la solicitada? | Si la cadena terminó correctamente. |
| ¿El valor tiene una escala razonable? | Posibles errores numéricos o de orientación. |
3.240. La escala también permite comprobar una conversión
Sabemos aproximadamente:
Entonces:
deberían equivaler aproximadamente a:
El resultado exacto usando la equivalencia definida es:
Es coherente con nuestra estimación.
Si hubiéramos obtenido:
la escala habría indicado inmediatamente un posible error.
3.241. ¿Multiplicar o dividir?
Es frecuente memorizar reglas como:
o:
Estas frases pueden funcionar en algunos casos sencillos, pero se vuelven poco fiables cuando aparecen:
- unidades no decimales;
- varias etapas;
- unidades cuadradas o cúbicas;
- cocientes de unidades;
- magnitudes derivadas.
pregunta «¿qué unidad debo cancelar?»
3.242. Forma algebraica general de una conversión
Supongamos que dos unidades U y V satisfacen la equivalencia:
Entonces:
Si una cantidad se expresa como:
podemos convertirla multiplicando:
Se cancela U:
Por tanto, el nuevo valor numérico es:
El cambio del valor numérico está determinado por la equivalencia entre las unidades, mientras la cantidad física permanece inalterada.
3.243. Errores frecuentes
Un valor numérico aislado no completa la expresión de una cantidad dimensional.
Si la unidad inicial no se cancela, revisa la orientación.
Solo pueden cancelarse factores de la misma unidad.
Se pierde una herramienta fundamental de comprobación.
No existe un factor de conversión entre metros y kilogramos: describen magnitudes diferentes.
Debemos saber qué información contiene el factor que estamos utilizando.
Un número puede calcularse correctamente a partir de un planteamiento incorrecto.
Puede introducir diferencias innecesarias en una cadena de conversiones.
Es una prueba necesaria de consistencia, no una demostración de validez física.
3.244. Práctica por niveles
1. Construye el factor apropiado y resuelve:
- 20 pulgadas → m
- 8 pies → m
- 2 m → pies
- 15 libras → kg
2. Utilizando 1 calIT=4,1868 J:
- ¿qué factor utilizarías para calIT → J?
- ¿qué factor utilizarías para J → calIT?
- convierte 10 calIT → J;
- convierte 41,868 J → calIT.
3. Analiza el procedimiento:
- ¿Qué unidades quedarían?
- ¿Por qué el factor está mal orientado?
- Corrige el procedimiento.
- Calcula el resultado correcto.
4. Utilizando:
y:
convierte:
- 100 calIT → BtuIT;
- 2 BtuIT → calIT.
En cada caso escribe la cadena completa y comprueba que las unidades intermedias se cancelen.
3.245. Respuestas breves
a) 20 pulgadas=0,508 m
b) 8 pies=2,4384 m
c) 2 m≈6,56168 pies
d) 15 libras=6,80388555 kg
a) 4,1868 J / 1 calIT
b) 1 calIT / 4,1868 J
c) 10 calIT=41,868 J
d) 41,868 J=10 calIT
La expresión incorrecta produce:
El factor correcto es:
Entonces:
a) 100 calIT≈0,3968 BtuIT
b) 2 BtuIT≈503,99 calIT
3.246. Síntesis de la Parte 10
Una conversión de unidades no transforma la realidad física.
Transforma la forma de expresar una cantidad.
↕
distintos valores numéricos + distintas unidades
El mecanismo central es el:
que nace de una equivalencia:
y permite construir:
1 pulgada / 0,0254 m = 1
La orientación adecuada se decide mediante una pregunta:
Así construimos la ruta general:
↓
unidad inicial
↓
equivalencia
↓
factor de conversión
↓
cancelación de unidades
↓
unidad final
↓
verificación
La comprobación no termina cuando aparece un número.
Las unidades dejan de ser simples etiquetas y se convierten en herramientas algebraicas para razonar.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
Conversiones de longitud, masa, fuerza y potencia
Ya conocemos el método general.
Ahora lo aplicaremos a diferentes magnitudes físicas:
Aparecerán relaciones como:
Y surgirá una distinción especialmente importante:
Comprender esta diferencia permitirá evitar errores cuando se combinan unidades del Sistema Internacional con unidades de otros sistemas.
La Parte 11 continúa en 3.247 · Figura 3.40 · Tabla 3.29 · Demostración 28.
Conversiones de longitud, masa, fuerza y potencia
Una misma estrategia aplicada a magnitudes físicas diferentes
longitud · masa · fuerza · potencia · unidades derivadas · análisis dimensional
El método de factores de conversión es general:
Pero que el procedimiento sea general no significa que todas las unidades describan la misma magnitud física.
Antes de convertir debemos preguntarnos:
m · pie · pulgada
kg · lb
N · lbf
W · J/s · hp
3.247. Cuatro magnitudes, un mismo método
FUNDAMENTAL · ●○○○El procedimiento de conversión no depende de que trabajemos con metros, kilogramos, newtons o watts.
Su estructura permanece:
Lo que cambia en cada problema es:
- la magnitud física;
- las unidades involucradas;
- la equivalencia necesaria.
Tabla 3.29. Equivalencias centrales de esta parte
| Magnitud | Equivalencia utilizada | Observación |
|---|---|---|
| Longitud | 1 pulgada = 0,0254 m | Exacta |
| Longitud | 1 pie = 0,3048 m | Exacta |
| Masa | 1 lb = 0,45359237 kg | Libra avoirdupois |
| Fuerza | 1 lbf ≈ 4,448222 N | Por tanto, 1 N ≈ 0,224809 lbf |
| Fuerza | 1 N = 1 kg·m/s² | Unidad derivada del SI |
| Potencia | 1 W = 1 J/s | Unidad derivada del SI |
| Potencia | 1 W ≈ 0,737562 lbf·pie/s | Conversión mecánica |
| Potencia | 1 hp ≈ 745,6999 W | Horsepower mecánico de 550 lbf·pie/s |
En esta parte utilizaremos específicamente el horsepower mecánico, símbolo hp, equivalente a 550 lbf·pie/s. No debe confundirse con el caballo de vapor métrico.
3.248. Longitud: pulgadas a metros
Convertiremos:
a metros.
Utilizamos:
Factor:
Entonces:
Se cancela la unidad pulgada:
3.249. Longitud: pies a metros
Convertiremos:
Utilizamos:
Entonces:
Se cancela la unidad pie:
3.250. Convertir primero puede facilitar una comparación
INTERMEDIO · ●●○○Supongamos que tenemos:
y:
Comparar solamente:
con:
no permite decidir cuál longitud es mayor, porque las unidades son diferentes.
Convertimos ambas a metros:
y:
Ahora podemos comparar:
Por tanto, 5 pies representan una longitud mayor que 10 pulgadas.
3.251. Masa: libras a kilogramos
FUNDAMENTAL · ●○○○Para la libra avoirdupois:
Convertiremos:
Construimos:
Se cancelan las libras:
3.252. Masa y fuerza no son la misma magnitud
INTERMEDIO · ●●○○Aquí aparece una distinción fundamental.
Es una propiedad física asociada, entre otros aspectos, con la inercia de un cuerpo.
En el SI se expresa mediante:
Es una interacción física que puede modificar el estado de movimiento de un cuerpo.
En el SI se expresa mediante:
El uso histórico de la palabra «libra» en ambos nombres no convierte masa y fuerza en la misma magnitud.
kilogramo · libra avoirdupois
newton · libra-fuerza
3.253. El newton es una unidad derivada
INTERMEDIO · ●●○○En el Sistema Internacional:
Esta expresión conecta la fuerza con las unidades de:
masa
longitud
tiempo
Por tanto:
3.254. La unidad newton refleja la estructura de F=ma
Consideremos:
La masa se expresa en:
La aceleración se expresa en:
Por tanto:
A esta combinación de unidades se le asigna el nombre:
Es decir:
El símbolo N permite escribir de forma compacta una estructura de unidades más extensa.
3.255. Fuerza: newtons a libras-fuerza
Utilizaremos:
Convertiremos:
Factor:
Entonces:
Se cancelan los newtons:
3.256. Conversión inversa: libras-fuerza a newtons
Podemos partir de:
Si deseamos convertir:
utilizamos:
Entonces:
Se cancela lbf:
3.257. No podemos convertir masa directamente en fuerza cambiando solamente la unidad
AVANZADO · ●●●○Supongamos que conocemos:
No podemos escribir:
como si kilogramo y newton fueran unidades alternativas de la misma magnitud.
Para relacionar masa y fuerza necesitamos además una relación física.
Por ejemplo:
En una conversión:
En una relación física:
Tabla 3.30. Conversión de unidad frente a relación física
| Situación | Ejemplo | Qué ocurre |
|---|---|---|
| Conversión | 20 N → lbf | La magnitud continúa siendo fuerza. |
| Conversión | 10 lb → kg | La magnitud continúa siendo masa. |
| Relación física | F=ma | Relaciona fuerza, masa y aceleración. |
| Relación física | P=E/t | Relaciona potencia, energía y tiempo. |
3.258. Potencia: rapidez de transferencia de energía
INTERMEDIO · ●●○○En el SI:
Esto significa que el watt puede interpretarse como:
Por tanto:
Cantidad transferida o transformada.
Ritmo al que se transfiere o transforma energía.
3.259. ¿Qué significa físicamente una potencia de 100 W?
Como:
entonces:
Esto indica una tasa de transferencia o transformación de energía de:
por cada:
El watt no representa una cantidad acumulada de energía; representa energía por unidad de tiempo.
3.260. Watts a libra-fuerza·pie por segundo
Utilizaremos:
Convertiremos:
Entonces:
Se cancelan watts:
3.261. La unidad compuesta debe conservarse completa
En:
la unidad completa contiene:
- una unidad de fuerza: lbf;
- una unidad de longitud: pie;
- una unidad de tiempo en el denominador: s.
No debemos eliminar o modificar una parte de la unidad compuesta solo porque visualmente resulte conveniente.
debe interpretarse como una estructura completa de potencia.
3.262. Horsepower mecánico y watt
Para el horsepower mecánico:
Esto corresponde aproximadamente a:
Convertiremos:
Entonces:
Resultado:
En notación científica:
Y mediante el prefijo kilo:
Cuando se utiliza una unidad no perteneciente al SI, conviene identificar con precisión cuál definición se está empleando.
3.263. Una conversión puede activar contenidos anteriores del capítulo
El resultado:
puede representarse aproximadamente como:
y después como:
En una sola situación utilizamos:
3.264. El watt también puede expresarse mediante unidades mecánicas del SI
Sabemos:
Y:
Entonces:
Como:
sustituimos:
Por tanto:
Una unidad derivada puede desplegarse hasta las unidades base que intervienen en su estructura.
3.265. Una jerarquía de unidades derivadas
AVANZADO · ●●●○Podemos construir la cadena:
Sustituyendo:
y finalmente:
Tabla 3.31. Estructura de algunas unidades derivadas
| Magnitud | Unidad | Expresión equivalente |
|---|---|---|
| Fuerza | N | kg·m/s² |
| Energía o trabajo | J | N·m |
| Potencia | W | J/s |
| Potencia | W | N·m/s |
| Potencia | W | kg·m²/s³ |
3.266. Una unidad puede contener una estructura física compleja
Cuando escribimos:
vemos un único símbolo.
Pero:
A su vez:
Y:
Un símbolo derivado puede condensar una estructura algebraica mucho más extensa.
3.267. ¿Cuándo utilizamos = y cuándo ≈?
AVANZADO · ●●●○Consideremos:
Aquí utilizamos:
porque la relación define exactamente la unidad watt dentro del SI.
En cambio:
muestra un valor redondeado de la conversión.
El símbolo ≈ informa al lector de que el número escrito es una aproximación.
3.268. No agreguemos precisión que los datos no justifican
Supongamos que utilizamos:
Si elegimos deliberadamente esa aproximación, no tiene sentido presentar después una larga sucesión de cifras como si el cálculo hubiese creado nueva información.
La presentación final debe ser coherente con los datos y equivalencias utilizados.
3.269. Comprobación mediante estimación
Para:
podemos utilizar mentalmente:
Entonces:
Nuestro resultado:
es coherente.
Si obtuviéramos:
la diferencia de escala revelaría inmediatamente un error.
¿sigue siendo la misma?
¿se cancelaron correctamente?
¿el valor es razonable?
¿el resultado tiene sentido físico?
3.270. La magnitud permanece aunque la unidad cambie
Consideremos una fuerza F.
Podemos expresarla en:
o en:
El valor numérico cambia porque ambas unidades poseen escalas diferentes.
Sin embargo, la magnitud física continúa siendo:
De forma general:
representa una sola cantidad física escrita de dos maneras equivalentes.
Una conversión válida modifica la representación, no la naturaleza física de la magnitud.
3.271. Errores frecuentes
lb representa aquí masa; lbf representa fuerza.
Masa y fuerza son magnitudes diferentes.
J expresa energía; W expresa potencia.
El denominador es esencial para expresar potencia.
lbf·pie/s debe tratarse como una estructura completa.
Una aproximación numérica no debe presentarse silenciosamente como igualdad exacta.
Un número aislado no constituye una respuesta física completa.
Un error de factor puede producir un resultado absurdo.
Son unidades de potencia diferentes.
Convertir N a lbf no es lo mismo que calcular una fuerza mediante F=ma.
3.272. Práctica por niveles
1. Convierte:
- 25 pulgadas → m
- 12 pies → m
- 20 lb → kg
- 50 N → lbf
2. Convierte:
- 200 W → lbf·pie/s
- 3 hp mecánicos → W
- 3 hp mecánicos → kW
Mantén las unidades durante todo el procedimiento.
3. Decide si cada procedimiento es una conversión o una relación entre magnitudes:
- 20 N → lbf
- 10 kg → fuerza utilizando F=ma
- 1.000 J → kJ
- E/t → potencia
- 5 pies → metros
4. Partiendo de:
demuestra paso a paso:
Explica después qué información proporciona esta igualdad y qué información no proporciona acerca del funcionamiento de un dispositivo eléctrico real.
3.273. Respuestas breves
a) 25 pulgadas=0,635 m
b) 12 pies=3,6576 m
c) 20 lb=9,0718474 kg
d) 50 N≈11,2404 lbf
a) 200 W≈147,5124 lbf·pie/s
b) 3 hp≈2.237,10 W
c) 3 hp≈2,23710 kW
a) conversión de unidades
b) relación física
c) conversión de unidades
d) relación física
e) conversión de unidades
Esta igualdad describe la estructura dimensional de la potencia en unidades del SI. No indica, por sí sola, cómo funciona un dispositivo, cuál es su eficiencia, qué voltaje utiliza ni qué corriente circula por él.
3.274. Comprueba lo aprendido
- ¿Qué permanece constante durante una conversión de unidades?
- ¿Qué diferencia existe entre masa y fuerza?
- ¿Por qué kg y N no son unidades intercambiables?
- ¿Qué diferencia existe entre lb y lbf?
- ¿Cómo se expresa un newton mediante kg, m y s?
- ¿Cuántas libras-fuerza representa aproximadamente 1 N?
- ¿Cuánto representan aproximadamente 20 N en lbf?
- ¿Qué significa 1 W=1 J/s?
- ¿Por qué energía y potencia no son sinónimos?
- ¿Qué significa lbf·pie/s?
- ¿Cuánto representan aproximadamente 100 W en esa unidad?
- ¿Qué definición de horsepower utilizamos en esta parte?
- ¿Por qué conviene especificarla?
- ¿Cuántos watts corresponden aproximadamente a 2 hp mecánicos?
- ¿Cómo puede expresarse ese resultado en kW?
- ¿Por qué una unidad derivada puede desplegarse en otras unidades?
- ¿Cómo se expresa un watt mediante kg, m y s?
- ¿Qué diferencia existe entre = y ≈?
- ¿Qué papel desempeña una estimación en la verificación?
- Explica la diferencia entre convertir una unidad y relacionar magnitudes mediante una ley física.
3.275. Síntesis de la Parte 11
Aplicamos un único método a cuatro familias de magnitudes:
masa
fuerza
potencia
Utilizamos relaciones como:
1 lb=0,45359237 kg
1 N≈0,224809 lbf
1 W=1 J/s
1 hp≈745,6999 W
Pero las distinciones conceptuales son aún más importantes:
energía ≠ potencia
conversión ≠ relación física
También desplegamos unidades derivadas:
J=N·m
W=J/s
W=kg·m²/s³
Una unidad puede entenderse, por tanto, como información condensada acerca de la estructura física de una magnitud.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
National Institute of Standards and Technology. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Energía: el joule como nodo común de conversión
La energía aparece en numerosos contextos:
y puede expresarse mediante unidades como:
En la siguiente parte utilizaremos una estrategia especialmente poderosa:
para construir rutas como:
Así, el joule funcionará como:
También conectaremos este procedimiento con una aplicación especialmente importante:
La Parte 12 continúa en 3.276 · Figura 3.45 · Tabla 3.32 · Demostración 32.
Energía: el joule como nodo común de conversión
Joule · caloría · Btu · kilovatio-hora · libra-fuerza·pie
energía · equivalencias · red de conversiones · potencia · tiempo · electricidad
Una misma cantidad de energía puede expresarse mediante unidades muy diferentes:
No necesitamos memorizar una equivalencia independiente entre cada pareja posible.
Podemos escoger una unidad común:
y construir rutas como:
El joule se convierte así en un nodo común de una red de conversiones.
3.276. Una misma energía puede hablar varios «idiomas»
FUNDAMENTAL · ●○○○La energía aparece en numerosos contextos físicos.
movimiento, trabajo y elevación de cuerpos.
calentamiento y transferencia de energía.
transferencia y consumo energético en sistemas eléctricos.
Por razones históricas y prácticas se utilizan diferentes unidades:
Si todas expresan energía, podemos relacionarlas mediante factores de conversión apropiados.
3.277. ¿Por qué utilizar el joule como unidad común?
Imaginemos cinco unidades diferentes de energía.
Podríamos intentar memorizar directamente:
y muchas otras combinaciones.
Existe una estrategia más organizada:
Basta conocer cómo convertir cada unidad a joules y cómo regresar desde joules a la unidad deseada.
unidad común de energía
Tabla 3.32. Equivalencias fundamentales con el joule
| Unidad | Equivalencia | Interpretación |
|---|---|---|
| lbf·pie | 1 lbf·pie ≈ 1,355818 J | Unidad mecánica de energía o trabajo. |
| calIT | 1 calIT = 4,1868 J | Caloría de la Tabla Internacional. |
| BtuIT | 1 BtuIT ≈ 1.055,056 J | Btu de la Tabla Internacional. |
| kWh | 1 kWh = 3,6×10⁶ J | Unidad de energía muy utilizada en sistemas eléctricos. |
| J | 1 J = 1 J | Nodo común de la red. |
Existen distintas calorías y diferentes definiciones históricas de Btu. En esta parte utilizaremos calIT y BtuIT.
3.278. Joule y newton-metro
INTERMEDIO · ●●○○En el Sistema Internacional:
Esta relación aparece naturalmente cuando una fuerza realiza trabajo durante un desplazamiento.
En una situación sencilla, si la fuerza tiene la misma dirección que el desplazamiento:
Las unidades son:
A esta unidad de energía se le asigna el nombre especial:
N·m también puede aparecer al expresar otras magnitudes, como el momento de una fuerza. Por ello, las unidades no deben interpretarse separadas de la magnitud física que describen.
3.279. ¿Por qué 1 kWh = 3,6×10⁶ J?
Sabemos:
Además:
Y:
Entonces:
Sustituimos:
Se cancelan los segundos:
Multiplicamos:
En notación científica:
El kilovatio-hora es, por tanto, una unidad de energía.
3.280. El kilovatio-hora es energía, no potencia
kilovatio
kilovatio-hora
El primero expresa potencia. El segundo combina potencia y tiempo, por lo que expresa energía.
3.281. Joules a libra-fuerza·pie
Utilizaremos:
Convertiremos:
Construimos:
Se cancelan los joules:
3.282. Calorías IT a joules
FUNDAMENTAL · ●○○○Utilicemos:
Para:
tenemos:
Se cancelan las calorías:
3.283. Btu IT a joules
Utilicemos:
Para:
tenemos:
Cancelamos BtuIT:
3.284. Kilovatios-hora a joules
Supongamos:
Utilizamos:
Entonces:
Se cancela kWh.
En forma decimal:
J
J
J
J
3.285. ¿Por qué convertir en dos etapas?
INTERMEDIO · ●●○○Supongamos que queremos:
No necesitamos memorizar directamente una equivalencia entre ambas unidades.
Podemos utilizar:
y después:
3.286. Estructura general de una conversión mediante un nodo intermedio
Sean A y B dos unidades de una misma magnitud y utilicemos J como unidad intermedia.
Supongamos:
y:
Para convertir x A a B:
Se cancelan:
y:
Queda:
Los dos factores consecutivos construyen un factor efectivo entre A y B.
3.287. Calorías IT a Btu IT mediante joules
Convertiremos:
Primero:
Después:
Los joules se cancelan.
3.288. Btu IT a kilovatios-hora mediante joules
Partimos de:
Luego utilizamos:
Entonces:
Se cancelan los joules.
También podemos escribir:
3.289. Kilovatios-hora a libra-fuerza·pie mediante joules
Partimos de:
Y utilizamos:
Entonces:
Los joules se cancelan.
Tabla 3.33. Red aproximada de conversiones de energía
| 1 unidad inicial | lbf·pie | calIT | BtuIT | kWh | J |
|---|---|---|---|---|---|
| lbf·pie | 1 | ≈0,32383 | ≈0,0012851 | ≈3,7662×10⁻⁷ | ≈1,355818 |
| calIT | ≈3,0880 | 1 | ≈0,0039683 | ≈1,1630×10⁻⁶ | 4,1868 |
| BtuIT | ≈778,17 | ≈251,996 | 1 | ≈2,9307×10⁻⁴ | ≈1.055,056 |
| kWh | ≈2,655×10⁶ | ≈8,5985×10⁵ | ≈3.412,14 | 1 | 3,6×10⁶ |
| J | ≈0,737562 | ≈0,238846 | ≈9,4782×10⁻⁴ | ≈2,7778×10⁻⁷ | 1 |
Nota. Los valores con ≈ están redondeados a partir de las equivalencias fundamentales de la Tabla 3.32. Para cálculos de mayor exigencia conviene conservar suficientes cifras durante el procedimiento y redondear al final.
Cada unidad puede conectarse con las demás a través del joule.
3.290. Convertir y regresar: una comprobación útil
AVANZADO · ●●●○Si convertimos:
deberíamos recuperar el valor inicial, salvo pequeñas diferencias si utilizamos valores previamente redondeados.
Convertir en un sentido y después regresar es una herramienta útil para detectar factores invertidos y errores de escala.
3.291. Los factores inversos deben ser recíprocos
Si:
entonces:
convierte:
Mientras:
convierte:
3.292. De potencia a energía
INTERMEDIO · ●●○○Si un dispositivo opera con potencia constante P durante un intervalo de tiempo t, la energía transferida es:
Si P está en watts y t en segundos:
Si P está en kilowatts y t en horas:
Si la potencia cambia con el tiempo, ya no basta necesariamente con multiplicar un único valor instantáneo de potencia por todo el intervalo.
En cursos posteriores esta situación se expresa mediante la acumulación de la potencia a lo largo del tiempo.
W o kW
s o h
3.293. Computador y bombilla durante una hora
Consideremos, como ejemplo didáctico:
y:
Si ambos operan simultáneamente con esas potencias, la potencia total es:
En kilowatts:
Si funcionan durante una hora:
Por tanto:
El ejemplo supone que las potencias indicadas permanecen constantes durante la hora.
3.294. ¿Cuántos joules son 0,21 kWh?
Utilizamos:
Entonces:
Cancelamos kWh:
En notación científica:
3.295. Un consumo aparentemente pequeño puede acumularse
La expresión:
puede parecer pequeña porque su valor numérico es menor que uno.
Pero si el mismo uso se repite:
Por ejemplo, si el uso del ejemplo anterior se repitiera una vez por día durante 365 días:
Una cantidad pequeña por evento puede producir una cantidad acumulada importante cuando el número de repeticiones es grande.
3.296. La ruta elegida no debería cambiar la energía
AVANZADO · ●●●○Supongamos que queremos convertir:
Una ruta posible es:
Si existiera otra ruta construida a partir de equivalencias coherentes, debería conducir al mismo valor físico.
Si utilizamos factores ya redondeados, rutas distintas pueden producir resultados numéricos ligeramente diferentes. Esto no significa que existan varias energías físicas para el mismo caso.
3.297. Independencia de la ruta cuando las equivalencias son coherentes
Supongamos tres unidades A, B y C de una misma magnitud.
Si:
y:
entonces:
Por tanto, la ruta:
produce el factor total:
Una equivalencia directa coherente:
debe contener exactamente el mismo factor total.
Las unidades cambian durante el recorrido; la cantidad física permanece invariante.
3.298. Relación definida, equivalencia tabulada y resultado redondeado
AVANZADO · ●●●○En una red de conversiones conviene distinguir:
Puede establecer una equivalencia exacta.
Puede mostrarse con un número limitado de cifras.
Puede redondearse nuevamente para comunicarlo de forma apropiada.
3.299. Errores frecuentes
kW expresa potencia; kWh expresa energía.
La unidad inicial debe cancelarse.
El joule puede utilizarse como nodo intermedio.
J expresa energía; W expresa potencia.
Puede producir pequeñas diferencias de cierre.
1 kWh y 1 J no representan la misma energía.
Aquí usamos calIT.
Aquí usamos BtuIT.
3.300. Práctica por niveles
1. Convierte a joules:
- 10 calIT
- 3 BtuIT
- 0,5 kWh
- 20 lbf·pie
2. Utiliza el joule como unidad intermedia:
- 100 calIT → BtuIT
- 2 BtuIT → calIT
- 0,25 kWh → BtuIT
- 500 J → kWh
3. Energía eléctrica:
Un dispositivo de:
funciona con potencia constante durante:
- Convierte la potencia a kW.
- Calcula la energía en kWh.
- Convierte el resultado a joules.
4. Explica por qué una red de cinco unidades no exige memorizar una equivalencia independiente entre cada par de unidades.
Utiliza el concepto:
y demuestra algebraicamente cómo dos factores de conversión consecutivos construyen una nueva equivalencia.
3.301. Respuestas breves
a) 10 calIT=41,868 J
b) 3 BtuIT≈3.165,17 J
c) 0,5 kWh=1,8×10⁶ J
d) 20 lbf·pie≈27,1164 J
a) 100 calIT≈0,39683 BtuIT
b) 2 BtuIT≈503,99 calIT
c) 0,25 kWh≈853,0 BtuIT
d) 500 J≈1,3889×10⁻⁴ kWh
Potencia:
Energía:
En joules:
Si todas las unidades pueden conectarse con un nodo común, basta dominar las equivalencias de cada unidad con ese nodo. Las conversiones entre dos unidades periféricas se construyen encadenando dos factores.
3.302. Comprueba lo aprendido
- ¿Qué magnitud expresan J, calIT, BtuIT y kWh?
- ¿Por qué puede utilizarse el joule como nodo común?
- ¿Qué significa 1 J=1 N·m?
- ¿Qué diferencia existe entre W y J?
- ¿Qué diferencia existe entre kW y kWh?
- ¿Por qué 1 kWh es una unidad de energía?
- Demuestra que 1 kWh=3,6×10⁶ J.
- ¿Cuál es la equivalencia utilizada entre calIT y joule?
- ¿Cuál es la equivalencia utilizada entre BtuIT y joule?
- ¿Cómo convertirías una calIT a BtuIT utilizando joules?
- ¿Qué unidades se cancelan durante esa conversión?
- ¿Qué ventaja tiene una conversión en dos etapas?
- ¿Por qué una tabla de conversiones puede interpretarse como una red?
- ¿Qué significa realizar una prueba de ida y vuelta?
- ¿Por qué pueden aparecer pequeñas diferencias al regresar?
- ¿Cómo se calcula energía cuando la potencia es constante y conocemos el tiempo?
- ¿Qué energía corresponde a 1 kW durante 1 h?
- ¿Cuántos joules representa esa energía?
- ¿Por qué una cantidad menor que 1 kWh no necesariamente es insignificante?
- Explica por qué cambiar la unidad no cambia la energía física representada.
3.303. Síntesis de la Parte 12
En esta parte construimos una red de unidades de energía:
calIT
BtuIT
kWh
J
En lugar de memorizar todas las relaciones posibles, utilizamos:
Esto permite construir:
BtuIT → J → kWh
kWh → J → lbf·pie
También demostramos:
Y reforzamos una distinción fundamental:
kW ≠ kWh
Para potencia constante:
conecta potencia, tiempo y energía.
La conversión deja de ser una operación aislada y se convierte en una herramienta para analizar sistemas energéticos.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
3.304. Puente hacia la integración final
Aplicación integradora, proyecto final y puente hacia la medición
Ya sabemos:
y acabamos de conectar:
En la Parte 13 utilizaremos las herramientas construidas durante todo el capítulo para analizar una situación completa de consumo eléctrico.
El recorrido será:
Pero aparecerá finalmente una pregunta nueva.
Supongamos que un instrumento indica:
¿Significa esto que el valor de la magnitud es conocido exactamente como 12,6 V?
¿Qué limita la medición?
¿Qué significa el último dígito mostrado?
¿Cómo debemos comunicar cuánto sabemos acerca del valor medido?
Estas preguntas abrirán el camino hacia el Capítulo 4: Medición, error e incertidumbre.
Aplicación integradora y cierre del capítulo
Del consumo de un dispositivo a una pregunta sobre cómo conocemos la realidad
potencia · tiempo · energía · costo · escala · modelo · interpretación · medición
Un cálculo adquiere verdadero significado cuando podemos conectar:
En esta parte reuniremos las principales herramientas del capítulo para analizar un escenario de consumo eléctrico.
Pero también aprenderemos algo más profundo:
3.305. El problema integrador
FUNDAMENTAL · ●○○○Consideremos el siguiente escenario didáctico.
En un hogar permanecen encendidos innecesariamente durante una hora diaria:
Queremos responder:
- ¿cuál es la potencia conjunta?
- ¿cuánta energía consumen durante esa hora?
- ¿cuánta energía se acumularía durante un año?
- ¿qué costo correspondería al escenario?
- ¿qué ocurriría si el mismo comportamiento se reprodujera en muchos hogares?
Tabla 3.34. Datos y supuestos del escenario integrador
| Variable | Valor utilizado | Función en el modelo |
|---|---|---|
| Potencia del computador | 200 W | Dato del escenario |
| Potencia de la bombilla | 10 W | Dato del escenario |
| Tiempo innecesario diario | 1 h/día | Supuesto del escenario |
| Días por semana | 7 | Referencia temporal |
| Mes de referencia | 30 días | Convención didáctica |
| Año | 365 días | Convención utilizada en el cálculo anual |
| Precio de referencia del escenario | 847,91 COP/kWh | Dato histórico utilizado únicamente para el ejercicio |
Nota. El precio de energía forma parte del escenario y no debe interpretarse como una tarifa vigente.
3.306. Antes de calcular: hacer visible el modelo
INTERMEDIO · ●●○○Nuestro modelo supone que:
- las potencias indicadas permanecen constantes durante la hora estudiada;
- los dos dispositivos están encendidos simultáneamente;
- la situación se repite diariamente para el cálculo anual;
- el año se modela mediante 365 días.
Es una representación simplificada. Si cambian los supuestos o los datos, puede cambiar el resultado.
3.307. Potencia conjunta
Las dos potencias están expresadas en watts, por lo que pueden sumarse directamente:
Entonces:
En kilowatts:
3.308. Energía consumida durante una hora
Utilizamos:
Como:
y:
obtenemos:
Por tanto:
Este valor representa la energía correspondiente a una hora de funcionamiento conjunto bajo los supuestos del escenario.
3.309. La misma energía expresada en joules
Sabemos:
Entonces:
Se cancela kWh:
Es decir, 756.000 J.
3.310. De un día a un año
Si la situación ocurre una vez cada día:
Durante siete días:
Para un periodo de 30 días:
Durante 365 días:
3.311. Una corrección de coherencia matemática
AVANZADO · ●●●○Cuando diferentes periodos se calculan mediante convenciones distintas, puede aparecer una inconsistencia.
Por ejemplo:
Esto representa:
no un mes de 30 días.
Si después multiplicamos:
el número de días realmente modelado es:
No 365.
Antes de comparar resultados derivados, debemos verificar que proceden del mismo conjunto de supuestos.
3.312. Dos modelos temporales no pueden mezclarse silenciosamente
Modelo A:
Modelo B:
El número de días implícito es:
Por ello:
Los dos resultados no se contradicen matemáticamente.
Corresponden a:
El error aparece si se presentan como si ambos representaran el mismo año.
Tabla 3.35. Energía y costo del escenario individual
| Periodo | Energía | Costo aproximado con 847,91 COP/kWh |
|---|---|---|
| Día | 0,21 kWh | 178,06 COP |
| Semana | 1,47 kWh | 1.246,43 COP |
| 30 días | 6,30 kWh | 5.341,83 COP |
| 365 días | 76,65 kWh | 64.992,30 COP |
Nota. Los costos pertenecen al escenario construido con una tarifa de referencia de 847,91 COP/kWh. Para una aplicación real debe utilizarse una tarifa vigente y documentada.
3.313. El costo también puede analizarse mediante las unidades
Consideremos:
Las unidades de energía se cancelan:
Entonces:
Redondeando para presentar el resultado:
Incluso antes de realizar la multiplicación sabemos que el resultado final debe expresarse en pesos.
3.314. Del hogar a una ciudad: cambiar de escala
INTERMEDIO · ●●○○Consideremos ahora un escenario con:
Este valor se utilizará únicamente como dato del escenario didáctico.
La pregunta es:
3.315. Energía anual del escenario colectivo
Cada hogar representa:
Para:
obtenemos:
Como:
entonces:
Aproximadamente 57,38 GWh/año.
3.316. ¿Por qué cambiar de kWh a GWh?
El número:
es correcto.
Pero:
permite reconocer con mayor rapidez la escala del resultado.
Esta es precisamente una de las funciones de los prefijos estudiados en el capítulo.
3.317. Escalamiento económico
Con la tarifa del escenario:
el costo correspondiente sería:
El resultado es aproximadamente:
Es decir, aproximadamente 48,65 mil millones de pesos por año dentro de este escenario.
El resultado depende directamente del número de hogares, el consumo supuesto y la tarifa empleada.
3.318. Escalar una conducta individual
Sea:
la energía diaria asociada a cada hogar.
Si participan N hogares durante d días:
Para:
y:
las unidades se cancelan:
El resultado es:
El análisis de unidades confirma que el resultado final continúa representando energía.
3.319. Comparar con una escala de generación
AVANZADO · ●●●○Para interpretar la escala del resultado, utilizaremos tres valores de generación anual como referencias del escenario:
- Troneras;
- Guadalupe III;
- Guadalupe IV.
Estos valores se emplean exclusivamente con finalidad didáctica y no se presentan como datos energéticos actuales.
Tabla 3.36. Comparación del escenario de 57,38 GWh/año con referencias de generación
| Central | Energía media de referencia | 57,38 GWh como porcentaje | Energía firme de referencia | 57,38 GWh como porcentaje |
|---|---|---|---|---|
| Troneras | 242 GWh/año | ≈23,7 % | 208 GWh/año | ≈27,6 % |
| Guadalupe III | 1.617 GWh/año | ≈3,5 % | 1.377 GWh/año | ≈4,2 % |
| Guadalupe IV | 1.205 GWh/año | ≈4,8 % | 1.026 GWh/año | ≈5,6 % |
Nota. Los valores se utilizan como referencias dentro del ejercicio y no constituyen un reporte actualizado de generación eléctrica.
3.320. ¿Qué significa realmente esa comparación?
No significa que:
sean «una central eléctrica».
Significa que estamos comparando cantidades de energía anual expresadas en una misma unidad:
Podemos calcular:
Dos cantidades pueden tener la misma dimensión y ser cuantitativamente comparables sin representar el mismo proceso físico.
3.321. Un modelo de «todos los hogares» es deliberadamente extremo
El cálculo anterior supone que:
presentan exactamente:
de consumo evitable.
La realidad puede ser diferente.
- Algunos hogares pueden consumir más.
- Otros pueden consumir menos.
- Otros pueden no utilizar los mismos dispositivos.
- Los tiempos de uso pueden ser diferentes.
La distinción entre dato, supuesto y resultado del modelo debe mantenerse explícita.
3.322. Análisis de sensibilidad
PROFUNDIZACIÓN · ●●●●¿Qué ocurriría si la energía diaria evitable por hogar fuera diferente?
Mantengamos:
y:
Cambiemos solamente:
Tabla 3.37. Sensibilidad del resultado colectivo al valor diario supuesto
| Energía diaria por hogar | Energía anual por hogar | Energía colectiva aproximada |
|---|---|---|
| 0,15 kWh/día | 54,75 kWh/año | 40,98 GWh/año |
| 0,21 kWh/día | 76,65 kWh/año | 57,38 GWh/año |
| 0,25 kWh/día | 91,25 kWh/año | 68,31 GWh/año |
Nota. Solamente cambia una variable. El objetivo es observar cómo responde el resultado del modelo.
potencia · tiempo · hogares · días · precio
energía · costo · comparación
3.323. Diferenciar ahorro energético y ahorro económico
Estas dos cantidades están relacionadas, pero no son la misma magnitud.
Puede ocurrir que:
mientras:
Entonces la energía evitada permanece, pero el resultado económico cambia.
3.324. Comparar tecnologías
AVANZADO · ●●●○El mismo procedimiento permite comparar dos tecnologías que realizan una función semejante pero poseen potencias diferentes.
Si:
la diferencia de potencia es:
Si ambas funcionan durante el mismo tiempo t:
Si el precio de la energía es c:
3.325. Estructura general de un modelo de ahorro
Supongamos dos tecnologías:
y:
Si ambas funcionan durante el mismo tiempo t:
y:
Restamos:
Entonces:
Como:
obtenemos:
Una diferencia pequeña de potencia puede convertirse en una diferencia importante de energía cuando el tiempo acumulado es grande.
3.326. Proyecto integrador: auditoría energética sencilla
INTERMEDIO · ●●○○Selecciona entre tres y cinco dispositivos de un hogar, aula, laboratorio o espacio de trabajo.
Para cada uno registra:
- nombre del dispositivo;
- potencia indicada;
- unidad de potencia;
- tiempo estimado de funcionamiento;
- energía calculada;
- representación conveniente mediante prefijos;
- costo estimado, si dispones de una tarifa documentada;
- posible estrategia para reducir el consumo.
Si lees «60 W» en la placa de un dispositivo, puedes identificarlo como dato de placa.
Si supones «5 horas diarias», debes identificarlo como supuesto.
No presentes ambas clases de información como si hubieran sido obtenidas mediante una medición.
3.327. Producto final del proyecto
El informe debe contener:
¿Qué espacio o conjunto de dispositivos estudiaste?
¿Cuáles fueron observados, consultados o supuestos?
¿Qué relaciones matemáticas utilizaste?
¿Las unidades se conservaron correctamente?
¿Qué representación hace más legible cada cantidad?
¿Qué significan físicamente los resultados?
¿Qué supuestos podrían modificar la conclusión?
¿Qué acción puede respaldarse mediante el análisis?
3.328. Evaluación integradora por niveles
1. Convierte:
- 0,0047 A a notación científica;
- 47.000 Ω a notación de ingeniería;
- 0,00000022 F a una unidad con prefijo conveniente;
- 2,5 kW a watts.
2. Un dispositivo de 750 W funciona con potencia constante durante 4 h.
- Expresa 750 W en kW.
- Calcula la energía en kWh.
- Convierte el resultado a joules.
3. Una instalación posee dos dispositivos:
y
Ambos funcionan simultáneamente durante 6 h.
- Expresa ambas potencias en una unidad común.
- Calcula la potencia total.
- Calcula la energía en kWh.
- Exprésala también en joules.
- Explica qué supuestos contiene el cálculo.
4. Un estudio afirma:
Verifica el cálculo y responde:
- ¿qué supuestos contiene?
- ¿es un dato observado o una proyección?
- ¿qué variables podrían modificar la conclusión?
- ¿qué información adicional necesitarías para utilizarlo en una decisión real?
3.329. Respuestas breves
a) 4,7×10⁻³ A
b) 47×10³ Ω
c) 220 nF
d) 2.500 W
750 W=0,75 kW.
350 W=0,350 kW.
El cálculo supone, entre otras cosas, que ambas potencias permanecen constantes y que los dispositivos funcionan simultáneamente durante seis horas completas.
Ejercicio 4Como: 1 GWh=1.000.000 kWh, el resultado es 54,75 GWh/año. El cálculo es matemáticamente coherente con los supuestos declarados, pero sigue siendo una proyección.
3.330. Errores frecuentes del capítulo
2.500 y 2,5×10³ pueden representar el mismo valor.
Sus condiciones de normalización son diferentes.
k modifica la escala; W identifica la unidad.
Potencia no es energía.
Una conversión modifica coordinadamente ambos.
5 m no son 5 cm.
kg y N describen magnitudes diferentes.
Deben comprobarse unidades, escala y significado.
4 semanas por mes durante 12 meses representan 336 días, no 365.
Una proyección no se convierte en observación por mostrar muchas cifras.
3.331. La ruta completa construida en el capítulo
Comenzamos preguntándonos cómo representar cantidades enormes y diminutas.
Después construimos una secuencia de herramientas.
notación científica
órdenes de magnitud
prefijos SI
notación de ingeniería
potencias de diez
factores de conversión
razones y escalas
energía y consumo
sentido físico
3.332. Lo que ya podemos hacer
3.333. Pero todavía falta una pregunta fundamental
Supongamos ahora que conectamos un voltímetro a un circuito.
La pantalla indica:
Ya sabemos interpretar:
- el número;
- la unidad;
- el prefijo, si existiera;
- la escala;
- la representación utilizada.
Pero aún queda una pregunta:
3.334. El número mostrado no es toda la historia
Una pantalla que indica:
no responde por sí sola:
3.335. De representar a medir
FUNDAMENTAL · ●○○○Este capítulo respondió principalmente:
El siguiente planteará:
Aparecerán conceptos como:
Significa obtener y comunicar un resultado experimental dentro de determinadas condiciones, procedimientos y limitaciones.
Referencias
Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed.). https://doi.org/10.59161/AUEZ1291
International Organization for Standardization. (2022). ISO 80000-1:2022. Quantities and units—Part 1: General (2nd ed.).
Thompson, A., & Taylor, B. N. (2008). Guide for the use of the International System of Units (SI) (NIST Special Publication 811). National Institute of Standards and Technology. https://doi.org/10.6028/NIST.SP.811e2008
3.336. Cierre del Capítulo 3
Hemos aprendido a movernos desde cantidades astronómicas hasta dimensiones nanométricas; desde watts hasta kilovatios-hora; desde una pulgada hasta un metro; desde una caloría hasta un joule.
Pero la verdadera unidad del capítulo no se encuentra en una colección de fórmulas aisladas.
Se encuentra en una idea:
Aprendimos también que una cantidad física debe conservar coherentemente:
unidad
dimensión
escala
significado físico
Y que una aplicación científica completa exige distinguir:
cálculo ≠ interpretación
modelo ≠ realidad
Ahora estamos preparados para formular una pregunta más profunda:
¿qué tan bien conocemos realmente su valor?
Esa pregunta abre el Capítulo 4.
colocar ejmplos relacionado con la electronica