Teoría de errores. Fórmula general de propagación de errores. Medidas indirectas
En la mayoría de los casos el resultado que se busca con la realización de un experimento se obtiene indirectamente, es decir, a partir de las medidas de distintas magnitudes que están relacionadas mediante una ley física. Por ejemplo, el periodo de oscilación de un péndulo simple sigue la ley:
donde L es la longitud del péndulo, de forma que midiendo T y L podemos deducir el valor de g. Eligiendo una población suficiente y realizando el cálculo de errores sobre las magnitudes medidas, debemos poder saber el error que afecta al valor de g determinado mediante nuestro experimento.
Medidas indirectas: Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas de otras magnitudes.
- Conocemos:
- Calculamos:
• ¿Cuál es el error asociado a la función q?
Propagación de errores: Conjunto de reglas que permiten asignar un error a q, conocidas las incertidumbres de x e y. Al hecho de que el resultado final se vea afectado por los errores cometidos en las medidas de las magnitudes usadas para calcularlo se le denomina propagación de errores. Este error propagado se halla mediante cálculo diferencial.
Propagación de errores en sumas y diferencias
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes.
Ejemplo:
En un experimento se introduce líquido en dos matraces y se quiere hallar la masa total del líquido.
Se conocen:
- m1 = Masa del matraz 1 vacío = 72 ± 1 g
- m2= Masa del matraz 2 vacío = 97 ± 1 g
- L1 = Masa del líquido 1
- L2 = Masa del líquido 2
- M1= Masa del matraz 1 + Masa líquido 1
- M1 = m1+ L1 = 540 ± 10 g
- M2 = Masa del matraz 2 + Masa líquido 2
- M2 = m2 + L2= 940 ± 20 g
- Lt = Masa total de líquido
- Lt =L1+L2
- L1=M1-m1
- L2=M2-m2
- Lt =(M1-m1)+(M2-m2) =
- Lt=(540±10g)-(72±1g) + (940±20g)-(97±1g)=
- Lt=(540-72+940-97)±(10±1±20±1)=1311±32g
Propagación de errores en productos
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos.
Propagación de errores en cocientes
El error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos.
Error del producto de una constante por una magnitud
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igual al producto de la constante por el error absoluto de la magnitud.
Error de una potencia
El error relativo de una potencia es el producto del exponente por el error relativo de la magnitud.
Error en funciones de una variable
Error en funciones de varias variables
Una función de varias variables f (x, y, z, …), deseamos conocer en qué medida el valor de la función f (es decir, la ley física que estemos estudiando) se ve afectado por las variaciones (errores) en la determinación exacta de las variables que intervienen en dicha función.
Las reglas para el cálculo de errores que hemos visto se pueden deducir de una fórmula más general que nos permite resolver casos más complicados.
Teniendo en cuenta que los errores cometidos en las distintas variables no pueden hacer disminuir los errores en el resto, debemos tomar los valores absolutos para las derivadas parciales.
Esta expresión supone que f es una función continua y derivable en inmediaciones del valor exacto de f.
Se llama deltaq al error absoluto asociado con la estimación de f, concebido como una pequeña desviación de la magnitud f, respecto a su valor de referencia, VR, y producido por los correspondientes errores deltax y deltay.
Los errores parciales son siempre cantidades que suman al error total. Equivale a calcular el incremento de la función a partir de sus variables siempre y cuando el error en estas variables sea pequeño.
Fórmula general para la propagación de errores Medidas independientes
Si los errores son independientes y aleatorios, entonces el error de q es la suma en cuadratura.
RESUMEN
Ejemplo 1:
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3.
Por semejanza:
Ejemplo 2:
El periodo de oscilación de un péndulo simple sigue la ley:
Se ve, por tanto, que el error relativo es la suma de los errores relativos de las magnitudes medidas, multiplicados por el exponente con el que esa magnitud interviene en la ley física que se estudia.
Referencias
https://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdf
http://www.av8n.com/physics/uncertainty.htm
http://www.incertitudes.fr/book.pdf
http://bdigital.unal.edu.co/12697/108/3353962.2005.Parte%2019.pdf
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