Inductancia

Introducción a la bobina

Una bobina es un elemento pasivo capaz de almacenar y entregar cantidades finitas de energía en forma de campo magnético. También recibe el nombre de inductor.

A diferencia de una fuente ideal, las bobinas no pueden suministrar una cantidad ilimitada de energía (o una potencia promedio finita sobre un intervalo de tiempo de duración infinita, tema que veremos en el capítulo de potencia promedio).

Historia de la bobina

Desarrollo histórico del campo magnético. En el siglo XIX el danés Hans Christian Oesterd (1777-1851) tomó una brújula y la acercó a un conductor por el cual circulaba una corriente y demostró que un conductor con corriente produce un campo magnético, haciendo ver que el movimiento de la aguja de la brújula se veía afectado en presencia de un conductor con corriente.

Poco después el francés André-Marie Ampere (1775-1836) realizó mediciones cuidadosas y demostró que el campo magnético B está relacionado linealmente con la corriente I que lo produce.

20 años después el inglés Michael Faraday (1791-1867) y el estadounidense Joseph Henry (1797-1878), en forma separada demostraron que un campo magnético variable puede inducir un voltaje en un circuito cercano.

Y también demostraron que:

Símbolo, ecuación de la bobina y unidad de inductancia

Interpretación gráfica de la ecuación de la bobina

Efecto de una subida y caída más rápida de corriente en una bobina

Análisis de la ecuación  y estudio de la bobina

1. El voltaje es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente con respecto al tiempo.
2. La derivada de una constante es cero. Si la corriente a través de un inductor es constante (corriente continua) entonces el voltaje es cero, independiente de la magnitud de la corriente.
3. La bobina se comporta como un cortocircuito en corriente continua.
4. Un cambio brusco (súbito, abrupto o discontinuo) en la corriente del inductor (de un valor finito a otro valor finito, por ejemplo de 0 a 1) corresponde a una rapidez de cambio (di/dt) INFINITA en la corriente del inductor.
5. Un cambio brusco en la corriente del inductor está asociado con un voltaje infinito (voltaje impulsivo). Un cambio abrupto en la corriente causará picos de voltaje infinito. Se requieren picos de voltaje infinitos para producir cambios abruptos de la corriente. Si se desea producir un cambio brusco en la corriente del inductor se debe aplicar un voltaje infinito.
6. Un voltaje infinito no hace parte del mundo real.
7. Un cambio abrupto en la corriente de un inductor requiere un cambio abrupto en la energía almacenada.
8. Un cambio abrupto en la energía almacenada requiere una potencia infinita en ese instante.
9. Una potencia infinita no hace parte del mundo real.
10. Para evitar voltajes y potencias infinitas, la corriente en el inductor nunca puede cambiar bruscamente de un valor a otro.
11. Si se intenta abrir o poner en circuito abierto (desconectar) un inductor a través del cual circula una corriente (provocar un cambio abrupto en la corriente, por ejemplo de 1 a 0) puede aparecer un arco (una potencia infinita) en el interruptor. La energía almacenada en el inductor se disipa al ionizar el aire que hay en la trayectoria del arco.En los sistemas de encendido de los automóviles, la corriente en la bobina se interrumpe  (cambo abrupto) por el distribuidor y el arco (potencia infinita) aparece en la bujía.
12. Una disminución de los intervalos producirá una magnitud de voltaje proporcionalmente mayor, pero solo dentro del intervalo donde la corriente aumenta o disminuye.
13. Una disminución de los intervalos no afecta la energía almacenada en el inductor.
14. La energía se almacena en el campo magnético alrededor de la bobina.
15. Siempre que la corriente sea variable en el tiempo (no sea cero o constante) independiente de su dirección o signo, habrá energía almacenada en el inductor.
16. Una bobina física debe fabricarse con alambre real, por lo que siempre habrá una resistencia asociada a ella. Entonces la energía ya no se podrá almacenar y recuperar sin pérdidas.
17. Se asocia un resistor en serie con la bobina para representar la resistencia del alambre de la bobina.
18. La energía convertida en calor  por el resistor en serie se representa en porcentaje respecto a la energía máxima almacenada en la bobina.

Ejemplo 1 Circuitos RL en Corriente Continua

Para el circuito de la figura calcule i1, i2, i3.

Las bobinas se comportan como un cortocircuito. Por tanto tenemos el circuito equivalente en corriente continua.

La bobina L2 pone en cortocircuito la resistencia R3 de 12 ohmios.

La bobina L4 pone en cortocircuito la resistencia R5 de 8 ohmios. Por tanto la corriente i2 es cero.

Resolveremos usando análisis general de nodos.

Se ha asignado  Va con la polaridad indicada para satisfacer la convención pasiva de signos respecto a i3.

Nodo 2: supernodo

LCK en nodo V1: suma de corrientes que SALEN igual a cero.

Multiplicamos por 100:

Ejemplo 2 Respuesta de una bobina en función de la corriente aplicada

La corriente en el inductor de 40 mH se muestra como una función del tiempo.

Calcular voltaje en la bobina en t = 1 ms, t = 2 ms y t = 5 ms.

Graficar voltaje como una función del tiempo.

Relaciones integrales para la bobina

La corriente como una integral indefinida:

Ejemplo 3 Relaciones integrales de la bobina

Hallar la corriente  con la condición i (t = -π/2)=1 A

Ejemplo 4 Resolver un circuito RL

El resistor de 0,1 ohmios representa la resistencia del alambre de la bobina. En un inductor ideal puede recuperarse toda la energía almacenada. Pero en una bobina física se presentan pérdidas de energía que se convierte en calor a través del resistor.

Hallar:

1.      Vr (t)

2.      VL(t)

3.      PL (t)

4.      Pr (t)

5.      WL (t)

6.      WL max

7.      WL (t =?)= WL max

8.      WL (t = 6) = ?

9.      Wr (t = 6) = ?

10.  %Wr

Solución:

t= 3 segundos corresponde a la carga de la bobina en el primer cuarto de ciclo.

Esta es la energía convertida en calor por el resistor en serie durante el intervalo de 6 segundos, en que la bobina se carga y descarga.

Para bobinas de alrededor de 100 uH debería esperarse una cantidad próxima al 2 o 3%. Este tema se relaciona con el factor de calidad Q de la bobina.

Ejemplo 5 Respuesta de una bobina

Calcule v (t) en t = 10 ms si:

Ejemplo 6 Respuesta en una bobina

Calcule v (t) en 10 ms si la energía almacenada en el inductor es 0,4t y la corriente es tal que  i(0,01)<0.

 Ejemplo 7 Respuesta en una bobina

Obtener la corriente en t = 10 ms