Modelo matemático
En el análisis de circuitos, los dispositivos físicos (tales como un diodo o un motor) se representan o modelan matemáticamente mediante elementos de circuito . Es este modelo matemático idealizado el que se utiliza para estudiar su comportamiento.
De ahora en adelante, cuando hablemos de un elemento de circuito , estaremos haciendo alusión a su modelo matemático o elemento ideal (estos son sinónimos en este contexto).
La elección de un modelo matemático particular de un dispositivo físico se basa en datos experimentales y/o en la experiencia del ingeniero.
Elemento General (Compuesto) vs. Elemento Simple (Básico)
Es crucial distinguir entre los distintos niveles de modelado de un circuito:
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Un Elemento General de circuito, también conocido como Elemento Compuesto o Modelo Equivalente , es cualquier dispositivo que puede componerse o modelarse como una interconexión de otros elementos.
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Un Elemento Simple de circuito, cuyo sinónimo más apropiado es Elemento Básico o Elemento Primitivo , es el bloque fundamental que no puede ser subdividido en más elementos de circuito para su análisis.
En resumen: El Elemento General (Compuesto) es el TODO , formado por la combinación de varios Elementos Simples (Básicos) que son la PARTE fundamental.
Un elemento general de circuito puede componerse de más de un elemento simple de circuito, pero un elemento simple de circuito no puede ser subdividido en más elementos.
Clasificación de los elementos simples
Se clasifican de acuerdo a la forma en que se relaciona la corriente que circula a través de ellos, con el voltaje entre sus terminales.
La imagen muestra una tabla que relaciona la tensión (voltaje) y la corriente para tres componentes eléctricos fundamentales: el resistor, el capacitor (condensador) y el inductor (bobina). Vamos a analizar cada uno de ellos.
Resistor
v=R×ii=v/R
Análisis
En un resistor, la relación entre tensión y corriente es estática y lineal, regida por la Ley de Ohm. La tensión (v(t)) aplicada en sus terminales es directamente proporcional a la corriente (i(t)) que lo atraviesa, multiplicada por la resistencia (R), medida en ohmios:
Esto significa que, si el voltaje aumenta, la corriente también lo hace de manera proporcional, siempre que la resistencia permanezca constante. A diferencia de capacitores e inductores, no existe dependencia de la historia pasada de la señal: la relación es instantánea.
Comportamiento tensión-corriente
- La tensión y la corriente están ligadas en el mismo instante de tiempo.
- Un cambio en la tensión provoca un cambio inmediato en la corriente.
- La relación es lineal y no depende de derivadas ni integrales, como ocurre en capacitores o inductores.
Implicación temporal
El resistor es un componente instantáneo, sin memoria. No acumula energía ni depende de condiciones iniciales. Su comportamiento se limita a responder de forma inmediata a cualquier variación de tensión o corriente.
Función en el circuito
El propósito principal del resistor es oponerse al flujo de corriente eléctrica. Al hacerlo, disipa energía en forma de calor, según la potencia:
Por esta razón, se considera un componente pasivo: no almacena energía, solo la transforma en calor. Sus aplicaciones incluyen:
- Limitar la corriente en un circuito.
- Dividir voltajes en redes resistivas.
- Establecer condiciones de polarización en dispositivos electrónicos.
- Convertir energía eléctrica en calor en aplicaciones de calefacción o disipación.
En el dominio de la frecuencia
La impedancia de un resistor es constante e independiente de la frecuencia:
Esto implica que su comportamiento es idéntico tanto en corriente continua (DC) como en corriente alterna (AC), sin variaciones con la frecuencia.
Capacitor (Condensador)
Análisis
En un capacitor, la relación entre tensión y corriente es dinámica, ya que este componente tiene la capacidad de acumular carga eléctrica en sus placas. La corriente (i(t)) que circula por el capacitor es proporcional a la rapidez con la que cambia la tensión (v(t)) en el tiempo, multiplicada por la capacitancia (C) (medida en faradios).
Esto significa que un cambio rápido en la tensión genera una corriente elevada, mientras que una variación lenta produce una corriente pequeña. Si la tensión permanece constante, la corriente es nula.
De manera equivalente, la tensión en el capacitor se obtiene como la integral de la corriente que ha pasado a través de él, dividida por la capacitancia. Esto refleja que el voltaje depende de la historia acumulada de la corriente, incluyendo la condición inicial (v(0)).
Comportamiento tensión-corriente
- La tensión en un capacitor no puede cambiar instantáneamente, ya que está ligada a la carga acumulada en sus placas.
- Si la tensión es constante, la corriente es cero.
- Solo existe corriente mientras la tensión está variando, ya sea aumentando o disminuyendo.
Implicación temporal
El capacitor posee una especie de “memoria eléctrica”, pues su estado actual depende de la historia de la corriente que lo ha atravesado. Su rasgo distintivo es oponerse a cambios bruscos de tensión, suavizando transiciones rápidas.
Función en el circuito
El capacitor almacena energía en un campo eléctrico. Sus aplicaciones más comunes incluyen:
- Suavizar fluctuaciones de tensión en fuentes de alimentación.
- Acoplar señales entre etapas de un circuito (permitiendo paso de AC y bloqueando DC).
- Filtrar frecuencias específicas en sistemas de audio y comunicaciones.
- Formar parte de circuitos resonantes junto con inductores.
En el dominio de la frecuencia, su impedancia es:
lo que significa que a bajas frecuencias (incluyendo DC) su impedancia es muy alta, mientras que a altas frecuencias se comporta como un cortocircuito.
Inductor (Bobina)
Análisis
En un inductor, la relación entre tensión y corriente también es dinámica, pero ahora vinculada al cambio de la corriente en el tiempo. La tensión (v(t)) a través del inductor es proporcional a la tasa de variación de la corriente (i(t)), multiplicada por la inductancia (L) (medida en henrios).
Esto implica que si la corriente cambia rápidamente, aparece una tensión elevada; si la corriente es constante, la tensión es cero. De forma equivalente, la corriente en el inductor resulta de la integral del voltaje aplicado, dividida por la inductancia, considerando la condición inicial (i(0)).
Comportamiento tensión-corriente
- La tensión en un inductor aparece únicamente cuando la corriente está cambiando.
- En estado estable con corriente continua, el inductor se comporta como un cortocircuito ideal (sin resistencia).
- La corriente a través de un inductor no puede cambiar instantáneamente, pues está asociada al flujo magnético acumulado.
Implicación temporal
El inductor también posee “memoria”, ya que su corriente actual depende del historial de tensión aplicada. Su característica principal es oponerse a cambios bruscos de corriente, limitando transiciones instantáneas.
Función en el circuito
El inductor almacena energía en un campo magnético. Sus aplicaciones incluyen:
- Filtrar señales de alta frecuencia en fuentes de alimentación y sistemas de audio.
- Formar parte de circuitos resonantes junto con capacitores.
- Suavizar variaciones de corriente en convertidores de energía.
- En estado estable DC, permite el paso de corriente sin oposición significativa.
En el dominio de la frecuencia, su impedancia es:
lo que significa que a bajas frecuencias (incluyendo DC) su impedancia es prácticamente nula, mientras que a altas frecuencias se incrementa, dificultando el paso de señales rápidas.
Conclusión
Esta tabla es fundamental para entender cómo se comportan los elementos pasivos en circuitos eléctricos. Cada componente tiene una relación única entre el voltaje y la corriente, que se basa en leyes físicas específicas: la ley de Ohm para resistores, la relación de carga para capacitores, y la ley de Faraday para inductores. Estas ecuaciones son esenciales para analizar y diseñar circuitos eléctricos y electrónicos.
Fuentes
Fuentes independientes
Son fuentes que no dependen de un voltaje o de una corriente.
Se representan por:
Fuente de tensión independiente
Es una fuente de voltaje independiente completamente de la corriente que pasa a través de esta. La s es por source que significa fuente en inglés.
Fuente de corriente independiente
Es una fuente de corriente independiente completamente de la tensión entre sus terminales.
Ejemplo 1
Si Vs = 50t2 voltios, calcular el voltaje en t=2 segundos.
En t= 2 segundos se tiene la seguridad de que el voltaje valdrá:
INDEPENDIENTEMENTE de la corriente que haya fluido, esté fluyendo o vaya a fluir.
En general, se espera que una fuente entregue potencia a la red, y no que consuma.
Por convención y solo cuando se trate de fuentes, se preferirá dirigir la flecha de corriente entrando por el terminal negativo de la fuente, para indicar que la fuente está ENTREGANDO, SUMINISTRANDO, GENERANDO potencia, aunque puede elegirse cualquier dirección.
Fuentes ideales
En teoría puede obtenerse una potencia infinita de una fuente ideal ya sea de voltaje o de corriente. La fuente ideal podría entregar una cantidad infinita de energía.
Fuente ideal de voltaje
Una fuente ideal de voltaje produce el mismo voltaje finito para cualquier corriente que fluya a través de ella, sin importar lo grande que sea esta corriente.
Una fuente de voltaje independiente es una fuente ideal de voltaje que representa una aproximación aceptable de una fuente práctica de voltaje, y no representa con exactitud ningún dispositivo físico real.
Una batería de automóvil tiene un voltaje de 12 voltios, que permanecen casi constantes mientras las corriente no exceda unos pocos amperios, digamos 10 amperios. Después de los 10 amperios, el voltaje comienza a caer por debajo de los 12 voltios.
Esta corriente puede fluir en cualquier dirección.
Si la corriente es positiva y entra por la terminal positiva de la fuente, entonces la potencia es positiva y la fuente está consumiendo energía. Es decir se está cargando a través de un cargador de batería.
Satisface la convención pasiva
Si la corriente es positiva y entra por la terminal negativa de la fuente, entonces la potencia es negativa y la fuente está generando o suministrando energía a las luces del auto. Es decir se está descargando.
No satisface la convención pasiva
Un contacto o tomacorriente doméstico también se aproxima a una fuente independiente de voltaje que suministra un voltaje dado por:
Válida para corrientes menores que 20 Amperios. Para corrientes superiores el voltaje comienza a decaer.
Fuente ideal de corriente
Una fuente ideal de corriente produce la misma corriente finita para cualquier voltaje entre sus terminales, sin importar lo grande que sea este voltaje.
Una fuente de corriente independiente es una fuente ideal de corriente que representa una aproximación aceptable de una fuente práctica de corriente y no representa con exactitud ningún dispositivo físico real.
Fuentes de DC o CC
A una fuente independiente de voltaje que tiene un voltaje CONSTANTE entre sus terminales, se le llama fuente independiente de voltaje de corriente directa o continua, y se representa por:
A una fuente independiente de corriente a través de la cual fluye una corriente CONSTANTE, se le llama fuente independiente de corriente de corriente directa o continua, y se representa por:
Fuentes dependientes o controladas
Su valor está determinado por un voltaje o corriente presente en cualquier otro lugar del circuito.
Fuentes como estas aparecerán en los modelos eléctricos equivalentes de transistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados.
Elementos activos
Son elementos que tienen la capacidad de entregar potencia a algún dispositivo externo.
Elementos pasivos
Son elementos que solo son capaces de recibir potencia. Se verá más adelante que algunos elementos pasivos pueden almacenar cantidades finitas de energía y luego devolverla a un circuito externo.
Ejemplos de elementos pasivos: resistor, inductor, capacitor, inductancia mutua.
Red
Es la interconexión de dos o más elementos simples de circuito.
Circuito eléctrico
Es una red que tiene por lo menos una trayectoria cerrada.
Todo circuito es una red, pues cuenta con dos o más elementos simples de circuito interconectados.
Toda red no es un circuito, pues no tiene por lo menos una trayectoria cerrada.
Red activa
Red que contiene por lo menos un elemento activo, como una fuente.
Red pasiva
Red que no contiene ningún elemento activo.
Los elementos pasivos pueden combinarse en redes y circuitos que representan dispositivos reales como el transistor, el amplificador, etc.
El transistor
Esto muestra la estructura física real de un transistor bipolar (BJT) visto desde arriba y en corte transversal, tal como se fabrica dentro de un chip de silicio.
⭐ ¿Qué estás viendo realmente en la imagen?
Es el interior físico de un transistor NPN. Nada de símbolos ni modelos: esto es el transistor “de carne y hueso”.
La imagen muestra capas de silicio dopadas y contactos metálicos que forman las tres regiones del transistor:
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Emisor (E)
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Base (B)
-
Colector (C)
Y cómo están conectadas físicamente dentro del material semiconductor.
⭐ Desglose por partes
🔵 1. La gran región inferior: el colector (C)
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Está marcada como n+ (muy dopada con fósforo).
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Esa dopación fuerte reduce resistencia y permite que el colector reciba electrones con facilidad.
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Abajo tiene un contacto metálico (el rectángulo negro) que hace de terminal colector.
Es como la “base física” del transistor.
🟡 2. La región intermedia: el sustrato tipo n
-
Es silicio tipo n, con fósforo pero menos dopado que el colector n+.
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Sirve como la región de paso donde los electrones se desplazan desde el emisor hacia el colector.
Puedes pensarla como el “corredor” donde viajan los portadores.
🔴 3. La región P (la base real del transistor)
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En el dibujo está en amarillo.
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Dopada con boro, que produce agujeros (tipo p).
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Esta región es extremadamente delgada; ese grosor controla la amplificación.
La base física del transistor es mucho más pequeña de lo que parece en los símbolos esquemáticos.
🔵 4. La pequeña región n (el emisor)
-
Sobre la base P se forma una región n fuertemente dopada.
-
Es el emisor, encargado de inyectar electrones hacia la base.
-
Está conectada al terminal E.
Está súper dopado para lanzar muchos electrones (por eso el emisor tiene la mayor corriente).
⚫ 5. Los contactos metálicos (B, E, B)
Son las zonas negras encima:
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Dos contactos de base (B), a los lados.
-
Un contacto de emisor (E), en el centro.
En los transistores reales, la base suele tener dos contactos para disminuir la resistencia interna de la base física (que es muy delgada y posee alta resistencia).
⚪ 6. La capa superior: silicio dopado superficialmente
-
Aparece como “silicio + un poco de fósforo”.
-
Funciona como región tipo n superficial para mejorar la conexión y reducir resistencia.
⭐ ¿Qué muestra conceptualmente?
Esta imagen te dice:
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El simbólico transistor NPN no tiene nada que ver con lo simple que parece; por dentro es un conjunto de capas muy delgadas de material dopado.
-
La base física es extremadamente delgada, para permitir que la mayoría de electrones inyectados desde el emisor lleguen al colector.
-
Los contactos metálicos no tocan directamente el material dopado; se colocan sobre regiones conductivas específicas.
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El colector es la región más grande porque debe disipar calor y soportar voltajes mayores.
Modelo A: apropiado para representar un transistor si solo se necesita conocer su comportamiento a frecuencias que no sean ni extremadamente altas ni extremadamente bajas.
La imagen muestra el Modelo A de un transistor bipolar, una aproximación muy usada cuando queremos estudiar su comportamiento en señales pequeñas dentro de un rango de frecuencias típico de trabajo: aproximadamente desde unos pocos cientos de hertz hasta unos cuantos megahercios (en la práctica, algo como 10 Hz a 1–10 MHz, dependiendo del transistor). En ese tramo, los efectos capacitivos internos todavía no dominan por completo, pero tampoco estamos en un régimen tan bajo como para que las no linealidades de DC nos molesten demasiado.
A la izquierda aparece el transistor real con sus terminales: base (B), colector (C) y emisor (E). La figura central muestra cómo se reemplaza ese dispositivo por su equivalente simplificado:
-
r π: una resistencia entre base y emisor.
Modela cómo responde la entrada del transistor cuando la señal aplica un pequeño cambio de tensión entre la base y el emisor. -
Fuente de corriente controlada gₘ·Vₓ entre colector y emisor.
Aquí, Vₓ es la tensión entre base y emisor.
Esta fuente representa que la corriente de colector no es “caprichosa”, sino que depende directamente de ese voltaje de entrada multiplicado por la transconductancia gₘ.
La figura de la derecha simplemente reacomoda visualmente estos mismos elementos para que se vea más claro cómo el transistor se comporta internamente en este modelo.
En resumen, la imagen ilustra un transistor reemplazado por una resistencia de entrada y una fuente de corriente controlada, válido para análisis de pequeña señal dentro de un rango de frecuencias moderado, donde la simplicidad del modelo todavía ofrece gran precisión sin necesidad de recurrir a modelos más pesados.
¿Por qué la resistencia se llama rπ?
El símbolo π no es un adorno ni un capricho de los ingenieros.
Viene directamente del nombre del modelo híbrido-π, que es la familia de modelos de pequeña señal de donde sale este circuito equivalente.
Este modelo se llama “híbrido-π” porque la disposición de sus elementos internos se parece a la forma de la letra π: una resistencia entre los “brazos” (base-emisor) y una fuente de corriente vertical hacia el colector. Cuando apareció este modelo en la literatura clásica de semiconductores (años 60–70), los autores usaron la letra π para referirse a ese tipo de configuración.
Así que:
-
rπ = resistencia de entrada del modelo híbrido-π (entre base y emisor).
-
No tiene nada que ver con el número π = 3.1416…
-
El símbolo quedó estándar desde entonces y se usa en todos los libros.
En pocas palabras: se llama rπ porque pertenece al modelo híbrido-π, no por ninguna propiedad matemática especial.
¿Por qué se llama “modelo híbrido-π”?
Se llama híbrido porque combina dos tipos de parámetros diferentes en un mismo modelo:
parámetros híbridos provenientes del modelo h original y elementos adicionales que provienen del modelo π basado en la resistencia de entrada y la transconductancia.
En los primeros años del análisis de transistores se usaba el modelo híbrido (modelo h), que describía el dispositivo usando cuatro parámetros:
-
hᵢ : impedancia de entrada
-
hᵣ : retroalimentación inversa
-
h_f : ganancia de corriente
-
hₒ : conductancia de salida
El problema: esos parámetros funcionaban bien para DC o bajas frecuencias, pero no servían bien cuando la frecuencia subía, porque no se podía representar de forma clara cómo cambiaba la corriente con la tensión de entrada.
Entonces nació un modelo más práctico:
El modelo híbrido-π
Le llamaron así porque:
-
Toma algunos conceptos del modelo híbrido h (por ejemplo, la relación corriente-voltaje del dispositivo).
-
Introduce una estructura en forma de π, donde la resistencia de entrada está entre base y emisor, y la salida se controla mediante una fuente dependiente conectada hacia el colector.
Es literalmente una mezcla:
híbrido (por combinar parámetros de diferentes naturalezas) + π (por su forma interna).
La clave
El modelo híbrido-π es más conveniente para frecuencias medias y altas porque trabaja directamente con:
-
rπ, resistencia de entrada
-
gₘ, transconductancia
-
rₒ, resistencia de salida (si se incluye)
Todo eso describe al transistor de una forma mucho más eficiente para análisis de AC y amplificadores.
Modelo B: apropiado para aplicaciones de alta frecuencia.
Explicación del Modelo B (modelo híbrido-π extendido para alta frecuencia)
La imagen muestra el Modelo B, una versión más completa del modelo híbrido-π, usado cuando el transistor trabaja en altas frecuencias, típicamente desde varios megahercios hasta cientos de MHz, e incluso más cuando el dispositivo lo permite. En ese rango, los efectos capacitivos internos del transistor ya no se pueden ignorar; influyen directamente en la ganancia y en el comportamiento dinámico del circuito.
En el lado izquierdo aparece el transistor real con sus terminales: base (B), colector (C) y emisor (E). A su derecha está el modelo equivalente de alta frecuencia. Este modelo añade elementos que antes no eran necesarios en frecuencias medias, pero que aquí se vuelven cruciales.
Elementos del modelo y su función
1. rₓ (resistencia de la base extendida)
Es una resistencia en serie con la base.
Representa los efectos resistivos del material semiconductor y las interconexiones internas del transistor.
A frecuencias altas, esta resistencia disipa señal, limita la ganancia y afecta el ancho de banda.
2. rπ (resistencia de entrada entre base y emisor)
La misma del modelo A, pero ahora forma parte de una red más compleja.
Modela cómo la señal de entrada genera la variación de corriente interna.
3. Cπ (capacitancia difusión / entrada: base-emisor)
A bajas y medias frecuencias era despreciable, pero en alta frecuencia se vuelve protagonista.
Esta capacitancia representa la carga almacenada en la unión base-emisor y limita la velocidad con la que el transistor puede cambiar de estado.
Es la razón principal por la que la ganancia cae cuando sube la frecuencia.
4. Cμ (capacitancia Miller / unión base-colector)
Una capacitancia pequeña… pero peligrosamente influyente.
Genera el famoso efecto Miller, que amplifica su impacto dependiendo de la ganancia del circuito.
A altas frecuencias provoca realimentación interna y reduce drásticamente la ganancia y la estabilidad.
5. Fuente de corriente controlada gₘ·Vₓ
Representa el corazón dinámico del transistor:
la corriente de colector depende de la tensión base-emisor.
En alta frecuencia sigue vigente, pero ahora compite con las capacitancias y resistencias por el “control” del comportamiento del transistor.
6. r_d (resistencia de salida o resistencia del colector)
Modela las características internas de la región colectora.
En baja frecuencia a veces se ignora; en alta frecuencia NO, porque afecta el margen de ganancia y la impedancia de salida del transistor.
¿Por qué este modelo es necesario?
Porque en alta frecuencia cada pequeño efecto interno del transistor —capacitancias, resistencias distribuidas, retroalimentaciones— empieza a modificar de manera seria:
-
la ganancia,
-
la fase,
-
el ancho de banda,
-
la estabilidad.
El Modelo A se queda corto.
El Modelo B añade las piezas que explican por qué la ganancia cae, por qué aparece realimentación y dónde están las limitaciones físicas del dispositivo.
Resumen directo
El Modelo B es una versión más completa del híbrido-π que incorpora efectos resistivos y capacitivos reales del transistor, necesarios para entender con precisión su comportamiento desde varios MHz hacia arriba.
Es el modelo que se usa para diseñar amplificadores de RF, análisis de ganancia en banda ancha, osciladores y etapas de alta velocidad.
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