Linealidad y Superposición

Elemento lineal

Elemento pasivo que tiene una relación lineal de voltaje contra corriente.

Es decir,

Si se multiplica por una constante K a la corriente (dependiente del tiempo) que fluye a través de un elemento, entonces el voltaje entre las terminales de ese elemento se verá a su vez multiplicado por la constante K.

Si v(t) se grafica como una función de i(t), el resultado es una línea recta.

Para un resistor:

Imagen tomada de Fundamentos de Electricidad: Ley de Ohm. electricidadipl.blogspot.com

Las ecuaciones que definen la relación V-I en el inductor y el capacitor también son lineales, al igual que la inductancia mutua.

Fuente dependiente o controlada lineal

Es una fuente dependiente (de corriente o de voltaje), cuya corriente o voltaje de salida es proporcional solo a la primera potencia de alguna corriente o voltaje variable en el circuito, o a la suma de esas cantidades. (K: constante de proporcionalidad)

Tipos de fuentes dependientes o controladas lineales

Circuito lineal

Aquel que se compone únicamente de:

• Fuentes independientes
• Fuentes dependientes lineales
• Elementos lineales (R, L, C)

Respuesta proporcional a la fuente

La multiplicación de todas las fuentes independientes de corriente y de voltaje por una constante K, aumenta todas las respuestas de corriente y voltaje por la  cantidad K, incluyendo a las salidas de las fuentes dependientes de voltaje o de corriente.

Ejemplo 1 respuesta proporcional a la fuente

Observe como al multiplicar la fuente Vs1 por K = 2, se aumenta la respuesta de corriente por la misma constante. Al pasar Vs1 de 10V a 20V, la respuesta de corriente pasa de 2A a 4A.

Ejemplo 2 respuesta proporcional a la fuente

Observe como al multiplicar la fuente Vs1 por K = 2, se aumentan las respuestas de corriente y voltaje por la misma constante.

Funciones de excitación y respuesta

Las fuentes fuerzan a las corrientes a circular por el circuito. Por eso reciben el nombre de funciones de excitación.

Los voltajes que producen se llaman funciones de respuesta o simplemente respuestas.

Tanto las funciones de excitación como las respuestas pueden ser funciones del tiempo.

El principio o teorema de superposición

Establece que la respuesta (una corriente o un voltaje) en cualquier parte de un circuito lineal que tenga más de una fuente independiente, se puede obtener como la suma de las respuestas individuales debidas a cada fuente independiente.

En otras palabras, en cualquier red resistiva lineal que contenga varias fuentes, el voltaje entre terminales o la corriente a través de cualquier resistor o fuente se puede calcular sumando algebraicamente todos los voltajes o corrientes individuales causados por cada fuente independiente, actuando individualmente. Es decir, todas las demás fuentes de voltaje independientes se sustituyen por cortocircuitos, y todas las fuentes de corriente independientes se sustituyen por circuitos abiertos. En cada momento solo hay activa una sola fuente independiente. Las fuentes dependientes permanecen siempre activas.

También pueden dejarse activas dos fuentes y desactivarse las demás. Se tratan entonces estas fuentes como una superfuente.

Una fuente también puede dividirse en varias fuentes. Sin embargo, el circuito más simple se obtiene cuando una fuente está completamente inactiva.

Ejemplo 1 principio de superposición

Ejemplo 2 principio de superposición

Generalmente, si un circuito tiene fuentes dependientes, el principio de superposición no ahorra tiempo.

Ejemplo 3 potencia y superposición.

La potencia no está sujeta a la superposición, pues es una respuesta no lineal  de grado 2.

Ahora, analizamos el circuito aplicando superposición con el fin de verificar si se obtienen los mismos resultados.

Vemos que, aunque la suma de potencias es cero, la suma de potencia de las fuentes no da -4W, y tampoco la potencia del resistor da 4W; por tanto,  la potencia no cumple el principio de superposición.