Cuando se realiza una medición aislada de una magnitud, la incertidumbre está principalmente asociada con la resolución (apreciación) del instrumento utilizado. Por ejemplo, supongamos que se mide el ancho l de una hoja A4 utilizando una regla escolar de 30 cm de longitud. Luego de la medición podremos decir que l = 210,0 ± 0,5 mm, teniendo en cuenta el valor de la mínima división de escala de la regla (1mm) y nuestra capacidad visual.
Sin embargo, cuando se realizan mediciones múltiples, se observa que el resultado no toma siempre el mismo valor. Por el contrario, se observan fluctuaciones dentro de un rango varias veces mayor a la resolución del instrumento. En este caso ya no puede suponerse que la incertidumbre de la medición está relacionada con la incertidumbre de tipo instrumental.
Este tipo de fluctuaciones pueden estar asociadas al procedimiento con el que se realiza la medición, al propio experimentador, y a fluctuaciones intrínsecas del sistema bajo estudio.
En el caso del ejemplo, el traslado sucesivo de la regla produce fluctuaciones por exceso y defecto al azar con respecto a un valor central. Las fluctuaciones al azar dan lugar a lo que se conoce como incertidumbre estadística.
El tratamiento practico de las incertidumbres debidas a las fluctuaciones se basa rigurosamente en la teoría de probabilidades. Sin embargo, los aspectos esenciales pueden comprenderse recurriendo a un análisis intuitivo.
Supongamos que una magnitud x (por ejemplo, una longitud) tiene un valor verdadero desconocido, µ. Cada vez que medimos la magnitud obtenemos un valor xi.
Luego de n mediciones ya podemos construir un histograma.
Si en este punto nos preguntamos, antes de realizar la medición n + 1, en qué intervalo de clase podría caer la medición n+1 con mayor probabilidad, seguro elegiremos el intervalo de clase con mayor altura de barra.
Más aún, si nos preguntamos en qué intervalos de clase van a caer las próximas 100 mediciones, es decir, cómo se distribuirán, seguro diremos que lo harán de acuerdo a las frecuencias relativas correspondientes a cada intervalo. Estas frecuencias, que han sido obtenidas a partir de los datos experimentales, nos permiten predecir con qué probabilidad el resultado de una medición podrá caer en alguno de los intervalos posibles.
Más formalmente, lo que estamos diciendo es que si el intervalo de clase i tiene límites xi y xi+1, entonces la probabilidad de que la próxima medición caiga dentro de este intervalo está dada por su frecuencia relativa hi:
donde hi es la frecuencia relativa correspondiente al intervalo de clase i.
La teoría de probabilidades indica que el símbolo ≈ se convierte en el símbolo = cuando el número de mediciones es infinito, es decir:
Claramente, es imposible en condiciones reales que esto ocurra (un número de mediciones infinito). Sin embargo, en muchísimos casos la teoría de probabilidades permite encontrar expresiones matemáticas para la probabilidad de que un evento azaroso ocurra (por ejemplo, el resultado de una medición, tirar un dado, una moneda, etc.), basándose en hipótesis adecuadas y sin necesidad de realizar infinitos experimentos aleatorios.
Como dijimos, cuando n crece las frecuencias relativas tienden a las probabilidades, es decir:
Distribución Normal o de Gauss
Se mide n veces una magnitud, cuyo valor verdadero desconocido es µ. Por distintos factores de perturbación, cada vez que medimos se obtiene un valor xi, el cual es probablemente distinto al anterior y, además, probablemente distinto a µ.
En primer lugar, si los factores de perturbación no existieran, el resultado de cada medición seria µ. En segundo lugar, asumamos que la perturbación puede ocurrir con igual probabilidad en cualquiera de los dos sentidos, es decir:
Finalmente, consideremos que es más probable que xi caiga cerca de µ que lejos. La magnitud de los alejamientos observados dependerá de cuán importante sea el nivel de la perturbación.
Variable aleatoria continua: es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango. Por ejemplo, el peso de una persona podría ser 80,5; 80,52; 80,525; dependiendo de la precisión de la báscula.
Muchos fenómenos se distribuyen normalmente, por ejemplo, peso, talla, presión arterial o temperatura. Esto significa que, si uno toma al azar un número suficientemente grande de casos y construye una curva de frecuencias con alguna variable continua, se obtendrá una curva de características particulares, llamada distribución normal. Es la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.
Bajo las hipótesis anteriores (y algunas más) es posible proponer una Ley de Probabilidad para los alejamientos que sufre el resultado de una medición con respecto al valor verdadero µ debido a fluctuaciones al azar que perturban la medición. Esta distribución, llamada Distribución Normal o de Gauss, o función de densidad tiene la siguiente expresión:
La gráfica de la distribución normal tiene la forma de una campana, por este motivo también es conocida como la campana de Gauss.
Sus características son las siguientes:
- La distribución normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución.
- La distribución de Gauss corresponde a una variable continua x
- Es una distribución simétrica alrededor de µ. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.
- Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden a infinito. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.
- En el centro o pico de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda y son iguales.
- La distribución de Gauss depende de dos parámetros: la media µ y la desviación estándar σ. Es decir, las características de la distribución normal están totalmente dadas por los valores de su media µ y su desviación estándar σ.
- El ancho de la distribución depende del valor del parámetro σ, el cual a su vez depende de cuán importantes son las perturbaciones. Si se asume que una medición está afectada por fluctuaciones al azar que están bien modeladas por la distribución de Gauss, es posible sacar conclusiones muy útiles a partir de los datos experimentales. Recordemos que el objetivo por el cual tomamos las n mediciones es obtener una estimación del valor de la magnitud sin perturbación (µ).
Para indicar que una variable aleatoria sigue una distribución normal de media µ y desviación estándar σ usaremos la expresión:
- Al ser x una variable aleatoria continua,
- El área total bajo la curva representa el 100% de los casos.
Es decir,
Veamos la demostración:
Debemos calcular el determinante de la matriz jacobiana J
El integrando interno en r no depende de theta.
Dijimos que la distribución de probabilidades de un experimento aleatorio se puede estimar a partir del histograma obtenido con n muy grande. ¿Qué ocurre con los otros parámetros que se obtienen de una muestra de tamaño n, a medida que n aumenta? Es decir, ¿cuál es la expresión de la media aritmética y de la desviación estándar cuando las frecuencias relativas se convierten en probabilidades?
Las expresiones anteriores son válidas para cualquier Ley de Probabilidad, y no sólo para la distribución normal.
Uso de la ley de Gauss y la Distribución normal estándar
¿Cómo se utiliza la ley de Gauss para estimar la probabilidad de que la próxima medición caiga dentro del intervalo de clase i?
Hay que realizar la integral:
Si bien cualquier valor de p(x) puede calcularse con facilidad, no ocurre así con su integral, pues p(x) no tiene primitiva P(x). Una función P(x) es una primitiva de p(x) si se cumple que:
Por ese motivo está tabulada la integral de la distribución gaussiana normalizada o estándar, P(z).
La distribución normal estándar: se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) y una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ.
Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución normal estándar, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar.
Primero, convertimos la distribución real o no estándar en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado z, o estadístico z que será la distancia entre un valor cualquiera x y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.
z se distribuye según una distribución normal de media 0 y desviación estándar 1,
De esta manera, un valor z mide la distancia entre un valor especificado de x y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes.
¿Cómo se utiliza la tabla de áreas bajo la curva?
Ejemplo 1
Supongamos que una magnitud presenta fluctuaciones estadísticas de acuerdo a la distribución normal:
¿En qué intervalo caerá el 90% de las mediciones?
Tenemos que encontrar a qué valor de z corresponde el valor
Esto ocurre para:
por lo tanto:
Ejemplo 2
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Es decir, que aproximadamente el 68,26% de los valores de x están a menos de una desviación típica de la media.
Ejemplo 3
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Es decir, que aproximadamente el 95,44% de los valores de x están a menos de dos desviaciones típicas de la media.
Ejemplo 4
Si x es una variable aleatoria de una distribución normal, hallar
Es decir, que aproximadamente el 99,74% de los valores de x están a menos de tres desviaciones típicas de la media.
Ejemplo 5
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
Como junio tiene 30 días, entonces:
Por tanto, se espera que hay 13 días en los cuales la temperatura este entre 21 y 27 grados.
Ejemplo 6
La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación típica es de 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan:
Por tanto, se estima que 476 estudiantes tienen pesos comprendidos entre 60 Kg. y 75 Kg.
Por tanto, no hay probabilidad de hallar estudiantes con más de 90 kg.
Por tanto, se estima que 11 estudiantes tienen un peso menor de 64 kg
Como la distribución normal es continua, al tomar valores puntuales la probabilidad de ocurrencia para ese valor es 0.
Incertidumbre
Cotas o límites para ∆x: cada vez que realizamos una medición directa o indirecta, no obtenemos el verdadero valor µ de la magnitud de interés, sino un valor cercano Xmedia. Dado que µ es desconocido, también es desconocido el error ∆x.
Más aún, si la medición se repite es posible que Xmedia tome un valor distinto que en la medición anterior. Sin embargo, casi siempre es posible estimar cotas o límites para ∆x, no necesariamente iguales, aunque en general se consideran iguales:
Por ejemplo,
Si te sirvió, comenta y comparte:
Me gusta esto:
Me gusta Cargando...
Lecturas Recomendadas
Debe estar conectado para enviar un comentario.